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1、 第三章优化设计31 概述1.基本思想现代优化设计方法是从上个世纪60年代发展起来的,其核心内 容是数学规划和计算机技术,优化方法可以从众多设计方案中 找到最完善也是最合理的设计, 可以同时改善设计质量和提高 效率。2.实际效果 1)一级减速器优化。某单位对在各种工程和设备中广泛使用的一级 减速器进行优化设计后,其重量减轻了12%。这对于减速器这样 大批量生产和使用的基本设备来说,其经济效益和社会效益是 非常巨大的。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计31 概述2)桥式起重机箱形主梁优化。某起重机制造厂对其生产的不同规格 的20台桥式起重机箱形主梁进行了优化设计,重量平均减轻
2、了14%, 其中最大的减轻了35%。主梁是桥式起重机的主要组成部分,一般在 几吨甚至十几吨以上。优化设计后,降低的钢材量和能源消耗是显 而易见的。3)柴油机、变矩器和变速箱的匹配对于车辆的性能和油耗来说是非 常重要的。以前,设计人员只能通过经验和试凑的方式进行匹配, 由于涉及的参数太多,无法实现最佳匹配。通过采用现代优化设计 方法对这三者进行了最佳匹配后,车辆的性能大大提高,油耗降低 ,三者的最大效能得到了很好的发挥。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计31 概述3、特点1)优化设计可以自行调整变量2)优化设计可以通过计算机进行快速运算、分析,在多个设计方案中选择最佳设计。现
3、代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计31 概述4.简例3-1-悬臂梁截面设计现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰p d Ml第三章优化设计31 概述5.简例3-2-角支架设计现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰DdbFH第三章优化设计31 概述6.简例3-3-装载机翻斗机构设计现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计3.2 优化设计的数学模型3.2.1 设计变量与设计空间1.设计变量设计变量是表达设计方案的一组基本参数, 设计变量是对设计性 能指标好坏有影响的量;设计变量应在设计过程中选择,且应是 互相独立的参数。 2.设计空间在一个设计问题中,所有的设计
4、变量组成一个设计空间,变量的 个数就是这个空间的维数。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计3.2 优化设计的数学模型第三章优化设计32 优化设计的数学模型322 约束函数1、约束的定义在优化设计中,为了得到可行的设计方案,必须根据实际要求, 对设计变量的取值加以种种限制,这种限制称之为设计约束。 1)边界约束。 2)性能约束。2、可行设计域和不可行设计域 1)可行设计域 2)不可行设计域现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计32 优化设计的数学模型3、内点、外点和边界点 1)内点:若X()D,且满足gu(x1, x2, xu) 0(u=1,2,。 。m)称为内
5、点或可行设计方案。2)外点:若X(3)不满足gu(x1, x2, xu) 0(u=1,2,。m ),称为外点,或不可行设计方案3)边界点:若gj(X(2)= 0,则称X(2)为边界点,j约束称为起作 用约束 (1jm)。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计32 优化设计的数学模型现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计32 优化设计的数学模型3.2.3目标函数用于评选设计方案好坏的函数,称为目标函数或评价函数,用f(X)表示。在机械设计中,目标函数主要根据设计准则建立,例如:在机构优化中,运动误差,主动力、约束反力的最大值等可以设 定为目标函数。在结构优化中,重
6、量、效率和可靠性等可以设定为目标函数。在产品设计中,成本、价格和寿命等可以设定为目标函数。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计32 优化设计的数学模型3.2.4 优化设计的数学模型1.一般形式 寻找 X =x1 ,x2 , xn Rn 使 f(X)最小或最大 受约束于gu(X) 0 (u = 1,2,m)hv(X)=0 (v = 1,2,p f,区间a,b缩小 为x1,b,如图3-17b。令a= x,x1= x2,f1= f2, 然后计算 xa+0.618(b-a), f2=f(x2),转4)。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法35
7、1 Powell法1、共轭方向如果从共心出发作一任意向量 ,再过与某等值线的交点作该等值线的切线向量 (图3-18)。可以证明,这时两个向量是共轭的,也就是说等值线上的切线方向与切点和共心的连线方向关于A是共轭的。若沿上述方向迭代两步就可以得到极小点,如果 是n维二次正定函数,同样沿n个共轭方向,n步就可以收敛到最小点。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章优化设计35无约束优化设计方法现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法2、共轭方向法首先确定初始点 ,开始第一轮选代:从初始点 出发,沿三个坐标方向 各进行一次一维极小化得 ,然后构成一个新方向
8、 ,在新方向上求得极小点。 第二轮选代:将原方向中第一个方向抛掉。构成新的方向组 ,从新的初始点出发,沿这三个方向分别再进行一维极小化,再构成新的方向 。沿此方向又可得极小点 ,进行第三轮选代。依此类推,可以证明,此法产生的 三个方向构成了共轭方向。因此对于n维问题来说,n轮以后形成的搜索方向就是互相共轭的。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法3、Powell法(修正的共轭方向法) 1)设立共轭性判别在K轮迭代中,分别计算三个点的目标函数值。 2)新方向的组成将原方向中下标号为 的方向 去掉,同时加入一个刚形成的新方向,但此方向要放在新方向组的最后。现
9、代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰迭代方向判断3点函数第三章 优化设计35无约束优化设计方法352 变尺度法1、多元函数的泰勒展开 现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法2、梯度的概念梯度方向是指函数增长最快的方向,反之,负梯度是函数下 降最快的方向。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法3、梯度法现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法4、牛顿法现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优
10、化设计35无约束优化设计方法5、变尺度法现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法1 直接解法在这类方法中,直接在可行域中,通过一定的模式比较点的函数值和约束值大小,决定搜索方向。这类方法如网格法、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等,各种方法的特点为:网格法、随机试验法、随机射线法、复合形法等,只用于求解有不等式约束问题,方法直观,容易理解。可行方向法,程序较复杂,适用于大型优化问题。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法2 间接解法 特点是首先将有约束问题转化为一个无约束问题, 然后按无约束问题求解,
11、如:消元法,用某些变换技巧消去约束条件,但实际应用有限。拉格朗日乘子法,将目标函数与约束条件按一定方法构成一个新的目标函数,但常常要解一组线性方程,应用受到限制。惩罚函数法(主要是SUMT法),应用较广泛。乘子法,按一定方式构成新函数,但无病态,且收敛快,近年来该法发展较快。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法361 复合形法1、基本原理第一步,在可行域内产生K个初始点 ,以这K个初 始点为顶点构成一个不规则的多面体。第二步,对复合形调优迭代。利用复合形各顶点函数值大小的关 系,判断目标函数值下降的方向,即丢掉最坏点(目标函数值最 大的点),代之使 下
12、降、又满足 的新点。如此重复,使复合形 不断向最优点移动和收缩,直至达到一定的收敛精度。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法2、 初始复合形的产生可以给定一个点、两个点以至全部点或全部由计算机产生K个点。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰XLXHXGXSXR第三章 优化设计36 约束优化设计方法3、 迭代步骤1)计算K个点的目标函数值,其中最大值对应的点为坏点2)计算除最坏点 外的其余 个顶点的形心 3)若 在可行域内,则从 至 点的方向取一映射点 4)计算 若 ,则 5)若 则 转向4)。否则, 若仍无改进,转向2)。现代设计方法基础,孟宪颐,
13、高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法、复合形法的特点 1)不需要计算导数,也不需要进行一维优化搜索。 2)程序简单,适用性广, 为常用方法之一。 3)当设计变量和约束函数多时,迭代效率较低,所以,采用本方法 时,可按以下规则确定复合形的顶点数:现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰;第三章 优化设计36 约束优化设计方法例36 圆柱形螺旋压缩弹簧的优化设计问题设计一圆柱形螺旋压缩弹簧,要求其质量最轻。弹簧材料为65Mn,最大工作载荷FMAX =40N,最小工作载荷为0,载荷变化频率f = 25Hz,弹簧寿命为104h, 弹簧钢丝直径的取值范围为1-4mm,中径D2的取值范围为
14、10-30mm,工作圈数不应小于4.5圈,弹簧旋绕比不应小于4,弹簧一端固定、一端自由,工作温度为50,弹簧变形量不小于10mm。解:在弹簧的优化设计中,为减小计算规模,多数情况下取弹 簧钢丝直径d、中径D2及工作圈数n为设计变量。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法1)疲劳强度条件 2)刚度条件 3)不发生失稳条件 4)不产生共振条件 5)旋绕比条件 6)设计变量取值条件这个问题是一个三维约束优化问题,有11个不等约束,目标函数和所有的约束条件是设计变量的非线性函数。因此,它属于非线性约束优化问题,这样的问题不能用极值条件精确求解。现代设计方法基础,
15、孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法3.6.2惩罚函数法1、概述惩罚函数法是一种将有约束优化问题转换成无约束优化问题 的计算方法,属于间接算法。其基本思想是用原问题的目标函数 和约束函数构建一个新的目标函数,也就是在新的目标函数中包 含原函数和所有的约束函数,另外再引进一个可变的惩罚因子。 当惩罚因子不断变化时,将得到一系列函数,求解每个新的目标 函数的极值,直至收敛到原问题的最优点。由于每一次都是在求 解无约束优化问题,惩罚函数法也被称作序列无约束极小化技术 (Sequential Unconstrained Minimization Technique),缩写 为SUMT。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法例3.7 转轴优化设计设计一中间固定有重块的转轴,轴以速度转动。为了使轴稳定 转动,要求轴的固有频率高于旋转速度。在这个条件的基础上设 计这根轴使它的质量最小。现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法现代设计方法基础,孟宪颐,高振莉,刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法2