现代设计方法基础(第3章)

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1、 第三章优化设计31 概述1.基本思想现代优化设计方法是从上个世纪60年代发展起来的，其核心内 容是数学规划和计算机技术，优化方法可以从众多设计方案中 找到最完善也是最合理的设计， 可以同时改善设计质量和提高 效率。2.实际效果 1)一级减速器优化。某单位对在各种工程和设备中广泛使用的一级 减速器进行优化设计后，其重量减轻了12%。这对于减速器这样 大批量生产和使用的基本设备来说，其经济效益和社会效益是 非常巨大的。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计31 概述2)桥式起重机箱形主梁优化。某起重机制造厂对其生产的不同规格 的20台桥式起重机箱形主梁进行了优化设计，重量平均减轻

2、了14%， 其中最大的减轻了35%。主梁是桥式起重机的主要组成部分，一般在 几吨甚至十几吨以上。优化设计后，降低的钢材量和能源消耗是显 而易见的。3)柴油机、变矩器和变速箱的匹配对于车辆的性能和油耗来说是非 常重要的。以前，设计人员只能通过经验和试凑的方式进行匹配， 由于涉及的参数太多，无法实现最佳匹配。通过采用现代优化设计 方法对这三者进行了最佳匹配后，车辆的性能大大提高，油耗降低 ，三者的最大效能得到了很好的发挥。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计31 概述3、特点1）优化设计可以自行调整变量2）优化设计可以通过计算机进行快速运算、分析，在多个设计方案中选择最佳设计。现

3、代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计31 概述4.简例3-1-悬臂梁截面设计现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰p d Ml第三章优化设计31 概述5.简例3-2-角支架设计现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰DdbFH第三章优化设计31 概述6.简例3-3-装载机翻斗机构设计现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计3.2 优化设计的数学模型3.2.1 设计变量与设计空间1.设计变量设计变量是表达设计方案的一组基本参数, 设计变量是对设计性 能指标好坏有影响的量；设计变量应在设计过程中选择，且应是 互相独立的参数。 2.设计空间在一个设计问题中，所有的设计

4、变量组成一个设计空间，变量的 个数就是这个空间的维数。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计3.2 优化设计的数学模型第三章优化设计32 优化设计的数学模型322 约束函数1、约束的定义在优化设计中，为了得到可行的设计方案，必须根据实际要求， 对设计变量的取值加以种种限制，这种限制称之为设计约束。 1）边界约束。 2）性能约束。2、可行设计域和不可行设计域 1）可行设计域 2）不可行设计域现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计32 优化设计的数学模型3、内点、外点和边界点 1）内点：若X（）D，且满足gu（x1, x2, xu） 0（u=1，2，。 。m）称为内

5、点或可行设计方案。2）外点：若X（3）不满足gu（x1, x2, xu） 0（u=1，2，。m ），称为外点，或不可行设计方案3）边界点：若gj（X（2）= 0，则称X（2）为边界点，j约束称为起作 用约束 （1jm）。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计32 优化设计的数学模型现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计32 优化设计的数学模型3.2.3目标函数用于评选设计方案好坏的函数，称为目标函数或评价函数，用f(X)表示。在机械设计中，目标函数主要根据设计准则建立，例如：在机构优化中，运动误差，主动力、约束反力的最大值等可以设 定为目标函数。在结构优化中，重

6、量、效率和可靠性等可以设定为目标函数。在产品设计中，成本、价格和寿命等可以设定为目标函数。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计32 优化设计的数学模型3.2.4 优化设计的数学模型1.一般形式 寻找 X =x1 ,x2 , xn Rn 使 f（X）最小或最大 受约束于gu（X） 0 （u = 1，2，m）hv（X）=0 （v = 1，2，p f，区间a,b缩小 为x1,b，如图3-17b。令a= x，x1= x2，f1= f2, 然后计算 xa+0.618(b-a), f2=f(x2)，转4）。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法35

7、1 Powell法1、共轭方向如果从共心出发作一任意向量 ，再过与某等值线的交点作该等值线的切线向量 （图3-18）。可以证明，这时两个向量是共轭的，也就是说等值线上的切线方向与切点和共心的连线方向关于A是共轭的。若沿上述方向迭代两步就可以得到极小点，如果 是n维二次正定函数，同样沿n个共轭方向，n步就可以收敛到最小点。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章优化设计35无约束优化设计方法现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法2、共轭方向法首先确定初始点 ，开始第一轮选代：从初始点 出发，沿三个坐标方向 各进行一次一维极小化得 ，然后构成一个新方向

8、 ，在新方向上求得极小点。 第二轮选代：将原方向中第一个方向抛掉。构成新的方向组 ，从新的初始点出发，沿这三个方向分别再进行一维极小化，再构成新的方向 。沿此方向又可得极小点 ，进行第三轮选代。依此类推，可以证明，此法产生的 三个方向构成了共轭方向。因此对于n维问题来说，n轮以后形成的搜索方向就是互相共轭的。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法3、Powell法（修正的共轭方向法） 1）设立共轭性判别在K轮迭代中，分别计算三个点的目标函数值。 2）新方向的组成将原方向中下标号为 的方向 去掉，同时加入一个刚形成的新方向，但此方向要放在新方向组的最后。现

9、代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰迭代方向判断3点函数第三章 优化设计35无约束优化设计方法352 变尺度法1、多元函数的泰勒展开 现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法2、梯度的概念梯度方向是指函数增长最快的方向，反之，负梯度是函数下 降最快的方向。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法3、梯度法现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计35无约束优化设计方法4、牛顿法现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优

10、化设计35无约束优化设计方法5、变尺度法现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法1 直接解法在这类方法中，直接在可行域中，通过一定的模式比较点的函数值和约束值大小，决定搜索方向。这类方法如网格法、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等，各种方法的特点为：网格法、随机试验法、随机射线法、复合形法等，只用于求解有不等式约束问题，方法直观，容易理解。可行方向法，程序较复杂，适用于大型优化问题。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法2 间接解法 特点是首先将有约束问题转化为一个无约束问题, 然后按无约束问题求解，

11、如：消元法，用某些变换技巧消去约束条件，但实际应用有限。拉格朗日乘子法，将目标函数与约束条件按一定方法构成一个新的目标函数，但常常要解一组线性方程，应用受到限制。惩罚函数法（主要是SUMT法），应用较广泛。乘子法，按一定方式构成新函数，但无病态，且收敛快，近年来该法发展较快。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法361 复合形法1、基本原理第一步，在可行域内产生K个初始点 ，以这K个初 始点为顶点构成一个不规则的多面体。第二步，对复合形调优迭代。利用复合形各顶点函数值大小的关 系，判断目标函数值下降的方向，即丢掉最坏点（目标函数值最 大的点），代之使 下

12、降、又满足 的新点。如此重复，使复合形 不断向最优点移动和收缩，直至达到一定的收敛精度。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法2、 初始复合形的产生可以给定一个点、两个点以至全部点或全部由计算机产生K个点。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰XLXHXGXSXR第三章 优化设计36 约束优化设计方法3、 迭代步骤1）计算K个点的目标函数值，其中最大值对应的点为坏点2）计算除最坏点 外的其余 个顶点的形心 3）若 在可行域内，则从 至 点的方向取一映射点 4）计算 若 ，则 5）若 则 转向4）。否则， 若仍无改进，转向2）。现代设计方法基础，孟宪颐，

13、高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法、复合形法的特点 1）不需要计算导数，也不需要进行一维优化搜索。 2）程序简单，适用性广, 为常用方法之一。 3）当设计变量和约束函数多时，迭代效率较低，所以，采用本方法 时，可按以下规则确定复合形的顶点数：现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰；第三章 优化设计36 约束优化设计方法例36 圆柱形螺旋压缩弹簧的优化设计问题设计一圆柱形螺旋压缩弹簧，要求其质量最轻。弹簧材料为65Mn，最大工作载荷FMAX =40N，最小工作载荷为0，载荷变化频率f = 25Hz，弹簧寿命为104h， 弹簧钢丝直径的取值范围为1-4mm，中径D2的取值范围为

14、10-30mm，工作圈数不应小于4.5圈，弹簧旋绕比不应小于4，弹簧一端固定、一端自由，工作温度为50，弹簧变形量不小于10mm。解：在弹簧的优化设计中，为减小计算规模，多数情况下取弹 簧钢丝直径d、中径D2及工作圈数n为设计变量。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法1）疲劳强度条件 2）刚度条件 3）不发生失稳条件 4）不产生共振条件 5）旋绕比条件 6）设计变量取值条件这个问题是一个三维约束优化问题，有11个不等约束，目标函数和所有的约束条件是设计变量的非线性函数。因此，它属于非线性约束优化问题，这样的问题不能用极值条件精确求解。现代设计方法基础，

15、孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法3.6.2惩罚函数法1、概述惩罚函数法是一种将有约束优化问题转换成无约束优化问题 的计算方法，属于间接算法。其基本思想是用原问题的目标函数 和约束函数构建一个新的目标函数，也就是在新的目标函数中包 含原函数和所有的约束函数，另外再引进一个可变的惩罚因子。 当惩罚因子不断变化时，将得到一系列函数，求解每个新的目标 函数的极值，直至收敛到原问题的最优点。由于每一次都是在求 解无约束优化问题，惩罚函数法也被称作序列无约束极小化技术 （Sequential Unconstrained Minimization Technique），缩写 为SUMT。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法例3.7 转轴优化设计设计一中间固定有重块的转轴，轴以速度转动。为了使轴稳定 转动，要求轴的固有频率高于旋转速度。在这个条件的基础上设 计这根轴使它的质量最小。现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法现代设计方法基础，孟宪颐，高振莉，刘永峰第三章 优化设计36 约束优化设计方法2