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1、第十九讲 电势1。如图，Q、R、r、L已知， 导线联通，求q. 解： 因为导线联 通大小球等势，即2。图中实线代表三根首尾相接的等长绝缘细棒 ，棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成等长的 细导体棒时的电荷分布完全相同点A是abc 的中心，B点和A点相对bc边对称已测得A、 B两点的电势分别为UA和UB现将绝缘棒ab取 走，设这不影响bc、ac棒的电荷分布试求此 时A、B两点的电势各是多少?解： 如图，根据对称性以及电势是标量可知三根棒在A点所 产生的电势均为UA/3， bc棒在B点产生的电势跟bc棒 在A点产生的电势相等，都为UA所以ac、ab棒在B点 所产生的电势为绝缘棒ab取走后，A点的电势B
2、点的电势3。考虑一个原子序数为Z的经典原子模型，忽 略电子问的相互作用设原子中的一个电子 e1在离核r0处做平面匀速圆周运动突然， 由于某个过程，外面的另一电子被俘获进原 子核假定这个俘获过程不影响e1的速度， el仍然留在原子系统中试把描述电子e1 在这种情况下运动的量(能量、轨道参数、周 期)都用r0电子质量m、电子电荷绝对值e及原 子序数Z表达出来，并与原来的运动作比较解： 电子与核之间的作用力是库仑力，它与距离的关系也是 平方反比关系，所以在本题中可以用引力的规律进行处 理 在发生俘获前电子绕核做圆周运动，设其速度为v0，则 有由此求得v0和动能Ek分别为此时电子的电势能为故电子的总能
3、量为电子运动周期为设e1位于A点时另一个电子被俘获，e1的动能和电势能 分别为因而总能量变为，要求Z2，否则E0，电子e1将运动到无穷远而脱离原 子，其后e1将做椭圆运动，且A应位于长轴的一端(近核 点或远核点)，因为e1在此处的速度垂直于电子与核的 连线，设长轴的另一个端点为B，与核距离为rB，l1在B 处速度为vB，则根据面积速度守恒及能量守恒 有：由此两式可得解出rB=r0或rB=Zr0(Z-2)第一个解即为A点，第二个 解为B点，设a、b、c为此椭圆轨 道的半长轴、半短轴 和半焦距，则有，由此可求得e1的运动周期4。如图，q、l、R已知，求接地导体球上 的电量。研究O点5。在一个半径为
4、R的导体球外，有一个半径为r的细圆环 ，圆环的圆心与导体球心的连线长为a(aR)，且与环 面垂直，如图所示已知环上均匀带电，总电量为q， 试问： （1）当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少? （2）当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势 如何? （3）当导体球的电势为V0时，球上总电荷又是多少? （4）情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变 量的大小和方向如何?所以解：1见图，导体是一个等势体，所以导体球接地 (V球=0)时，对于球心点有V球心=V球=0 另一方面，可以直接计算球心点的电势因为所有感 应电荷都分布在球面上，它们到球心的 距离都是R，而圆环上电荷到球心的距离都是 式
5、中q感就是要求的感应电荷总量。由、两式即 得2。导体球不接地时，其电势可通过对球心的电势 计算而求得：式中q面表示分布在球面上所有电荷的代数和，而导 体球体内是不会有电荷分布的由于题给导 体球为电 中性，即q面=0，所以由式得 3。导体球的电势为 V0时，再以球心点考虑 ： 而另一方面，球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷 分别产生的电势的迭加： 导体球的总电荷就是球面上的电荷总量，由、两 式解得 4。对比式和式可知，情况3比情况1只是在导体球 上多了电荷RV0/K，而导体球的电势相应地由零变为V0.可 以设想从情况1出发，把导体球与地断开而维持原来的q感 大小及 分布不变，再把电荷RV0/K均匀地加到球面上，正是它 使球的电势变为V0，即成为情况3.对于球外的圆环来说 ，这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心处的 等量点电荷对它的作用力，这也就是圆环多受到的作用 力.（因原来静电平衡内部E=0，RV0/K再加上去应均匀分）
