二次型习题_

《二次型习题_》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次型习题_（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、二次型习题二次型习题2.证证明：秩等于r的对对称矩阵阵可以表成r个秩等于1的对对称矩阵阵之和.证证: 由题设题设又因为为，存在可逆矩阵阵C使于是3.设设A是一个n级级矩阵阵，证证明：1) A是反对对称矩阵阵当且仅仅当对对任一个n维维向量X，有XAX=0；2)如果A是对对称矩阵阵，且对对任一个n维维向量X有XAX=0，那么A=0.证证: 1）必要性 充分性 取取从而可知 A 反对对称.2） 则由1）知从而反对称，4.如果把实实n级对级对 称矩阵阵按合同分类类，即两个实实n级对级对 称矩阵阵属于同一类类当且仅仅当它们们合同，问问共有几类类？解: 实对实对 称矩阵阵A与B合同充要条件是 存在可逆矩阵

2、阵T与C使考虑对虑对 角矩阵阵D的相应应二次型的合同分类类情况，共计计r+1个合同类类.但秩r又分别别取n，n-1，2,1,0，.故共有.5.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1.证证: 必要性 设1) 若上式右边的两个一次式系数成比例，即.二次型化为秩为1.2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设.二次型化为.二次型化为秩为2，且符号差为0.充分性1）秩为1，则则可经线经线 性替换换X=CY，二次型化为为 .2）秩为2，且符号差为0，则则可经线经线 性替换换X=CY，二次型化为为可表成两个一次齐次式的乘积.总之，.6.设设A是实对实对 称矩阵阵.证证明：当实实数t充分大之后，tE+A是正定矩阵阵.证证: 它的k级顺级顺 序主子式.当t充分大时，为严为严 格主对对角占优优的行列式， 且.8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|0,证明：必存在实n维向量证证: 假设任意实n维向量X，有所有主子式大于或等于0， 故|A|0这这与|A| 0矛盾，故假设设不成立，原命题题成立.2.设实二次型证明：的秩等于矩阵的秩.证证:可知，f 的矩阵为阵为.3.设设A是n级实对级实对 称矩阵阵，证证明：存在一正实实数c使对对任一实实n维维向量X都有证:.可得其中 c=an.