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1、第十章 球函数球函数 轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结轴对称问题和勒让德多项式 轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用轴对称拉普拉斯方程的求解10.1 轴对称球函数P194（一）勒让德多项式 P192-193通常约定，用适当的常数乘本征函数，使最高次幂项xl 的系数为 特解利用系数递推公式： l 阶勒让德多项式的具体表达式： l /2表示不超过l /2的最大整数， l为偶数时， l /2= l /2l为奇数时， l /2=( l -1)/2一般表示级数表示勒让德多项式1.
2、定义2. 勒让德多项式的代数表达式3. 勒让德多项式的图象勒 让 德 多 项 式 的 图 象4.勒让德多项式的微分表示证明：把上式求导l 次5.勒让德多项式的积分表示施列夫利积分证明：柯西公式圆心在z=x,半径为勒让德多项式的性质1. 奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x)证明：2. 零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。3. 勒让德多项式的正交性和归一性正交性归一性勒让德多项式的模正交性和归一性可以合写为正交、归一性应用例题广义傅立叶系数为如果函数 f(x) 满足适当的条件，则有4. 勒让德多项式的完备性勒让德多项式可作为广义傅里叶级数展开的基例1：把函数 f(x)=x
3、3 用勒让德多项式展开。完备性应用例题 母函数定义：母函数是拉普拉斯（Laplace）在十九世纪初引进的一种变 换法. 由于取非负整数值的随机变量的概率分布与其母函 数一一对应，因而对于随机变量的许多研究可以化为对应 母函数的研究，而母函数是幂级数，具有良好的性质，便 于处理，所以母函数成为研究整值随机变量的有效工具 . 母函数和递推公式 形式：母函数的推导母函数的应用P225利用母函数勒让德多项式的递推公式（P238-239）rk的系数递推公式（10.1.63）的证明递推公式的应用利用母函数勒让德多项式模的计算例题1：半径为a的球面上电势分布为f = Acos2，确定球内空间 的电势 u 。
4、解：定解问题为定解问题具有轴对称性， 相应的半通解为球内解要求u(0,)有界，半通解化为由边界条件得：勒让德多项式的应用由完备性得：例题2：半径为a的球面上电势分布为 f = Acos2，确定球外空间 的电势 u 。解：定解问题为定解问题具有轴对称性， 相应的半通解为球外解要求u(,)有界，半通解化为由边界条件得：由完备性得：例题3：一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上 电势为 f = cos，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。解：定解问题为定解问题具有轴对称性， 相应的半通解为由边界条件得：例题4：半径为a的导体球面附近的电场分布为 f=Acos，确定球 外空间的电势 u 。
5、解：定解问题为定解问题具有轴对称性， 相应的半通解为球外解要求u(,)有界，半通解化为由边界条件得：由完备性得：例题5：半径为a的球面保持温度分布为 f = Acos，确定球外空间的稳定温度分布 u 。解：定解问题为定解问题具有轴对称性， 相应的半通解为球外解要求u(,)有界，半通解化为由边界条件得：由完备性得：例题6: 半径为a的半球球面上温度分布为 f = A，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。解：定解问题为：P138 研究半无限长弦的振动无限长弦的振动例题7：半径为a的半球球面上电势分布为 f = A，底面电势为零，确定半球内空间的电势 u 。解 ：定解问题为：符号函数，只是
6、表示正负10.2 连带勒让德函数 转动对称稳定问题的求解 连带勒让德函数 连带勒让德函数的性质 连带勒让德函数的应用转动对称稳定问题的求解 定义具体形式代数表达式图象连带勒让德函数该方程是勒让德方程方程变为逐项求导m次的结果(证明见后，略)方程(10.2.3)与自然边界条件构成本征值问题，本征值l(l+1)解为勒让德方程和自然边界条件构成本征值问题，本征值l(l+1)这正是连带勒让德变量代换后的方程证明：用乘积求导的莱布尼茨求导规则说明：1 本征值为l(l+1)，本征函数为连带勒让德函数ml ,即 m=0,1,2,l连带勒让德函数斯刘问题：2 勒让德多项式是l 次多项式，最多求导l 次，lm连
7、带勒让德函数的代数表达式P398 附录五C为z平面上围绕z=x的任一闭合回路连带勒让德函数的积分表达式连带勒让德函数的微分表达式P30 (2.4.7)连带勒让德函数的图象 奇偶性 Plm(-x) = (-1)l+m Plm(x) 正交性正交性公式模正交性应用例题 完备性完备性公式广义傅立叶系数连带勒让德函数的性质正交性连带勒让德函数的正交性和归一性归一性模正交归一性应用例题广义傅立叶系数为如果函数 f (x) 满足适当的条件，则连带勒让德函数的完备性递推公式例题：半径为a的球面上电势分布为 f = Asin2cossin，确 定球内空间的电势 u 。解：定解问题为相应的通解为球内解要求u(0,
8、)有界，解化为由边界条件得由完备性10.3 一般的球函数 非对称稳定问题的求解 球函数的概念 球函数的性质 球函数的应用 球函数的归一化非对称稳定问题的求解n 定义球函数的概念u 一般表达式u 复数形式表达式球函数的具体形式u 正交性u 完备性球函数的性质例题1:半径为a的球面上电势分布为 f = Asin2cos2，确定球内 空间的电势 u 。球函数的应用定解问题的半通解为球内解要求u(0,)有界，半通解化为由边界条件得：由完备性得麻烦！解：定解问题为或由边界条件得m=0，把 以 为基展开：m=2，把 以 为基展开：例题 2：半径为a的球面上电势分布为 f = Asin2cos2，确定 球外空间的电势 u 。解：定解问题为定解问题的半通解为球外解要求u(,)有界，半通解化为由边界条件得：由完备性麻烦！或由边界条件得m=0，把 以 为基展开：m=2，把 以 为基展开： 归一化的球函数正交性完备性球函数的归一化
