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1、第10章 轴对称问题、空间问题有 限单元法110.1 空间问题简介工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体等。本章简单介绍两类问题：轴对称问题和空 间问题的有限元计算。空间问题的主要困难：（1）离散化不直观；（网格自动生成）（2）未知量的数目剧增。 （对某些问题简 化） （轴对称问题）空间分析的优点：精确。 210.2 轴对称问题（a）压力管道（b）受重力作用的烟囱几何形状，约束条件及作用的载荷都对称于一固定轴。结构所受载荷与约束都对称于它的轴线，则其内部的 应力、应变与位移也必然对称于该轴线。3zrxp取柱面坐标系orz.
2、径向为r，环向为，对称轴为z。位移、应变、应力都与无关，只与r 、z有关。任一点位移只有r、z方向分量：而方向位移分量(1) 建立轴对称问题圆柱坐标系4（2）基本方程位移分量：应力分量：应变分量虚功方程 物理方程：圆柱坐标是正交坐标，物理方程参照直角坐标系 。5zrxp（3）结构离散对于轴对称问题的离散,通常在子午面 roz上进行,其形状常为三角形和四边形,实际 上，子午面上的每个三角形(或四边形)单元 表示的是一个绕z轴一周的三棱(或四棱)环 单元。因此,有限元轴对称问题的离散就是将连续体离散成由有限个圆环组成的离散 体,单元与单元间通过环线(称为节线)相连 接,作用于单元上的载荷,也作用于
3、节线上。如图。实际分析时，考虑到轴对称问题位移 与周向无关，故可只需取一个截面,按平面 情况进行分析。 6rzoi(r z) rmurjuriumwjwiwiim(r z)mmj(r z)jj其中：单元类型：三角形单元（4）单元位移函数利用节线位移，待定系数，可得7（5）应变矩阵（6）刚度矩阵其中 为r的函数，故B的元 素不是常量，与平面三角形单元有区别。当r 0时，f 不存在，即奇异，需近似处理。8（7）轴对称单元的特点1）轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；2）节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；3）单元边界是一回转面；4）应变分量 中出现了 ，即应变不是常量；且应变矩阵在r
4、 0时，存在奇异点，需特殊处理，通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。9实 例封头作为压力容器中的重要受 力部件，用户对其质量、强度、安 全性等有很高的要求。带裙座封头 的结构如图，其优点是可以避免直 接在封头壁上进行焊接，提高了封 头的可靠性，但也增加了成形过程 的难度。1) 如何保证锻件的厚度；2）如何保证成形后的裙座位置 。厚壁封头在热冲压成形过程中 还会出现明显的局部减薄或增厚现 象，严重的会导致封头撕裂、起皱 、模具涨裂等问题。 1010.3 空间问题基本方程:对于实际工程中不能简化的空 间问题，弹性力学是无法求解的， 有限元法是解决此问题的有力工具 。1110.4 四面体单元(1)单
5、元类型：四面体单元节点位移向量(2)位移函数线性位移函数节点1，2，3，4的坐标：(x1,y1,z1), (x4,y4,z4).12利用节点位移可待定系数，并整理为如下形式:这些系数为四面体体积V 各行各元素的代数余子式:其中：13(3)应变矩阵显然B为常量矩阵，故四面体单元 为常应变单元。其中：14(4)刚度矩阵类似平面问题，利用虚功方程可得单元刚阵其中各子块阵为:15第11章 等参数有限元法1611.1 等参数单元矩形单元比三角形有更高的精度，而三角形有较矩形单元更好的边界适应性。实际工程中，往往更希望有单元精度高、边界适应性好 的单元。本章将介绍的等参单元具有此特点。所谓等参单元：即 以
6、规则形状单元（如正四边形、正六面体单元等）的位移函 数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换 所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位 移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元 。借助于等参单元可以对一般任意形状的求解域方便地进行 有限元离散。17任意直边四边形:任意六面体:等参数单元实例18由于工程实际中问题的边界通常很复杂，使用前述的规 则单元(如矩形或正六面体等)难于逼近几何形状不规则的原 始边界(如曲边等)，而只能采用不规则的单元(如任意直四边 形、任意直六面体、或曲四边形、曲六面体)。但是如果直接 研究这些不规则单元的有限元计算格式(如单刚阵)，则
7、非常 困难。问题：能否利用规则单元的结果来研究这些不规则单元 的计算格式？思路：任意直四边形可看成是正四边形(常称为母元)的 变形，由于正四边形（母元）的位移函数、单刚矩阵均已得 到，则可利用正四边形单元的结果研究任意四边形。重点：1）构造任意四边形与母元间的坐标（形状）变换关系;2）利用坐标变换关系和母元的计算公式，推导任意四边 形的单刚矩阵. 19xyz t 3 (1,1)4 (-1,1)2 (1,-1)1 (-1,-1) y =1 =1 =-1 =12 (x2,y2)1 (x1,y1)3 (x3,y3)4 (x4,y4)uvP(x,y )f变换实例:2011.2 平面四边形等参数单元利用
8、任意四边形与母元的坐标值待定系数： 并将其整理为插值函数形式：等参变换为了建立两者的关系，将局部坐标附在任意四边形上， 原点在单元中心，两坐标轴可不正交，但必须使四个角点和 边界限制在-11之间。整体坐标如前图。设变换函数为：21坐标变换式记为：将上述坐标变换式与正四边形单元的位移函数相比较 ，可知，函数形式和阶次完全相同，即任意四边形与正四 边形的变换采用了与正四边形位移函数相同参数变换，故 称这样的单元为等参单元.2211.3 等参数单元形函数注意：不是直线形函数的性质在矩形单元上的变化如图:23-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1-0.500.51直
9、线直线（-1,-1 ）不是平面形函数N1的正确表示2411.4 等参数单元位移函数等参单元位移函数：从坐标变换可知,等参单元位移与母元间位移仅相差坐 标变换式,而母元单元内任意点p的位移函数(2D)：其中：Ni和坐标变换式的形函数相同。2511.5 等参数单元刚度矩阵1）应变计算 注意：应变为位移对x，y的导数，四节点四边形单元计算式:用于二维等参元2）复合求导 利用x，y，z与局部坐标系的 关系，有:26J称为Jacobi矩阵，由坐标变换式确定，当J的逆存在时 ，则形函数对x，y的导数可求，即应变阵可求。273）应变矩阵284）刚度矩阵一般而言，等参单元的刚度积分很难有解析式，必 须进行数值
10、积分，目前普遍采用高斯数值积分法。(略)2911.6 空间六面体单元8 (x5,y5,z5)1234 (x4,y4,z4 )5 (x5,y5,z5)67xzy 2 3(1,-1,1)48(1,1,-1)657八节点六面体单元301)坐标变换（i=1,2,8)其中 ：例 ： 2 3(1,-1,1)48(1,1,-1)65312） 刚度矩阵：3211.7 等参数单元说明等参单元的几点说明：1）等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。2）等参单元存在的充要条件是： 为了保证能进行等参变换(即总体坐标与局部坐标一一 对应)，通常要求总体坐标系下的单元为凸，即不能有内角 大于或等于或接近180度情
11、况。333）等参单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去逼近曲线边界。4）上述等参单元的理论公式可适应三次以上的曲线型等参元，只是阶次提高，单元自由度相应增加，计算更复杂， 积分更困难，实际中，很少超过3次曲线型。5）上述推导要求：保持坐标变换中几何模式阶次与描述单元位移函数中形函数的阶次相同。如取坐标变换的几何模 式阶次较单元的位移函数的阶次高，则称此单元为超单元 ，反之，为亚单元。这两类单元的收敛性也可得到满足。 略6）当然，也可取描述单元几何形状的几何模式不是形函数 的，如p-element.34第12章 薄板有限元法3512.1 薄板弯曲问题力学概念定义的板是指厚度
12、尺寸相对长宽尺寸小很多的 平板，且能承受横向或垂直于板面的载荷。如板不是平板而 为曲的(指一个单元)，则称为壳问题。如作用于板上的载荷 仅为平行于板面的纵向载荷，则称为平面应力问题；如作用 于板上的载荷为垂直于板面的横向载荷，则称为板的弯扭问 题，常简称板的弯曲问题。36xyzt变形 前的 直线变形 后的 直线zxz基本假设（克希霍夫假设）1）直线假设：即变形前垂直于板中面的直线，在弯曲变 形后仍为直线，且垂直于弯 曲后的中面。说明在平行于 中面的面上没有剪应变，即:372）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即 。由于板内各点的扰度与 z坐标无关，只是x，y的函数，即3）中面上正应力远小于其它应力
13、分量假设：平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即 4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，即3812.2 薄板弯曲问题的基本方程1）几何方程分别表示薄板弯曲 曲面在x，y方向的 曲率表示薄板弯曲曲面 在x，y方向的扭率绕x轴转角绕y轴转角392）应力应变关系（HOOK 定律）记为矩阵形式：40xyzt3）内力矩公式单位宽度上垂直x，y轴的横 截面上弯矩、扭矩：4112.3 薄板弯曲的矩形单元mjil节点位移向量和节点力向量 ：用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板中面进行离散，常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节
14、点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角。如图矩形单元。42另两个转角为：位移函数薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y)的选取。注意单元有12个自由度，则43利用12个节点位移值可待定12个系数，整理w(x,y)为插值函数形式：其中，形函数：44单元收敛性分析：1）位移函数 中包含有常量项，反映了刚体位移，如 为挠度常量， 为转角常量。2）位移函数中包含了常量应变项，如形变分量为：表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里的常应变为扰度的二次函数
15、，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其形变是指不同厚度上的。453）相邻单元在公共边界上扰度是连续的但转角不一定连续。设边界ij边 y=-b 则 有位移 四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转 角值唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的 值唯一确定，故连续。如对于绕x轴的转角：四个系数不能通过i，j的两个已知转角值唯一待定；同理， 相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连 续。所以，薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明，当单 元细分，其解完全能收敛真实解。 4612.4 薄板弯曲的矩形单元刚阵刚度矩阵 1）应变矩阵其中：B为x，y的函数，与z无关472）单元刚阵48例题：计算边界支撑方板的最大变形边界条件:1）四边固定：（挠度、法向转 角、切向转角为0)2）四边简支：(挠度、弯矩为0)3）对称边界条件（法向转角为0)XY1234无量纲参数 ：49单单元数 （四分之一板）四边边固定四边简边简 支均布载载荷集中载载荷均布载载荷aba110.001480.005920.00345220.001400.006130.00394440.001300.005800.00403660.001280.007510.00405880.001270.005670.00406级级数解0.001260.005600.0040650
