[理学]数学模型-初等模型

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1、李明远 内蒙古财经学院统计与数学学院Email:引引 论论原 型model 指为了某个特定的目的将原 型的某一部分信息简缩、提炼而构造的 原型替代物。Prototype 指人们在现实世界里关 心、研究或者从事生产、管理的实际 对象。在科技领域通常使用系统（ system）、过程(process)等词汇。模 型与模 型物质模型 （形象模型）理想模型 （抽象模型）直观模型、物 理模型思维模型、符号 模型、数学模 型数学模型“数学模型是关于部分现实世界为一定 目的而作的抽象、简化的数学结构。”更简 洁地，也可以认为“数学模型是用数学术语 对部分现实世界的描述。”本德（E.A.Bender）一般地说，

2、数学模型可以描述为：对于现实世界地一个特定对象，为了一个 特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学模型甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺 水航行需要30h，从乙到甲逆水航行需要 50h，问船速、水速各是多少？解方程组用x，y分别代表船速和水速，得方程描述性的 数学模型解释性的 数学模型按照人们对原型的认识过程分为类分人口 模型交通 模型电气系 统模型通信系 统模型机电系 统模型 环境 模型传染病 模型水资源 模型再生资源利 用模型污染 模型生态 模型按照模型的应用领域分为 类分几何 模型代数 模型图论 模型规划论 模型微分方 程模型最

3、优 控制 模型信息 模型随机 模型决策与对策 模型模拟 模型按照建立模型的数学方法分为 类分静态模型 和 动态模型确定性模型 和 随机模型离散模型 和 连续性模型线性模型 和 非线性模型按照模型的特征分为 类分白箱模型灰箱模型黑箱模型按照对模型结构的了解程度分为 类分作 用预报与决策： 生产过程中产品质量指 标的预报、气象预报、人口预报、经济增 长预报等等，都要有预报模型；使经济效 益最大的价格策略、使费用最少的设备维 修方案，都是决策模型的例子。 控制与优化电力、化工生 产过程的最优控制 、零件设计中的参 数优化，要以数学 模型为前提。建立 大系统控制与优化 的数学模型，是迫 切需要和十分棘

4、手 的课题。分析与设计例如描述药 物浓度在人体内 的变化规律以分 析药物的疗效； 建立跨音速流和 激波的数学模型 ，用数值模拟设 计新的飞机翼型 。规划与管理 生产计划、资源配置、运输网络规划 、水库优化调度，以及排队策略、物资管 理等，都可以用数学规划模型解决。局 限技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近折 衷逼真性和可行性 建模时往往需要在模型的逼真性和可行性，“费用”与“效益”之间作出折衷和选择。数学模型的特点折 衷局 限技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近渐近性 稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型

5、。数学模型的特点渐 近折衷局 限技 艺条 理非预制可转移强 健强健性 一个好的模型应该具有下述意义的强健性：当模型假设改变时，可以导出模型结构的相应变化；当观测数据有微小改变时，模型参数也只有相应的微小的变化。数学模型的特点强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理非预制可转移可转移性 一个模型时现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域。在生态、经济、社会等领域内建模就常常借用物理领域中的模型。 数学模型的特点可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理非预制非预制性模型的非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题（Open-end-problem）。在建立新的模型

6、的过程中甚至会伴随折新的数学方法或者 概念的产生。 数学模型的特点非预制可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺条 理条理性从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具有条理性。数学模型的特点条 理非预制可转移强 健渐 近折衷局 限技 艺技艺性从建模的方法无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大。数学模型的特点技 艺条 理非预制可转移强 健渐 近折衷局 限 局限性1.当结论应用于实际问题，就回到的现实世界，那 些被忽视、简化的因素必须考虑，所以结论的通用性 和精确性只是相对的和近似的

7、。2.由于人们认识能力和科学技术发展水平的限制， 还有不少实际问题很难得到有实用价值的数学模型。3.还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模的方 法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程。数学模型的特点开设目的对数学教育而言，既应该让学生掌握 准确快捷的计算方法和严密的逻辑推理， 也需要培养学生用数学工具分析解决实际 问题的意识和能力。传统的数学教学体系 和内容偏重于前者，开设数学建模课程则 是加强后者的一种尝试。另外，开设本课也是为了一年一度的“ 全国大学生数学建模大赛”做一些准备工作 。商人过河 建模示例之 三名商人各带一个随从乘船渡 河，一只小船只能容纳两人，由他 们自己划船。随从们密约，在河

8、的 任何一岸，一旦随从的人数比商人 多，就杀人越货。但是如何乘船渡 河的大权掌握在商人们手中。商人们怎么样才能安全渡河呢?分析：安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每 一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都 要对船上的人员（商人、随从各几人）作出决策， 在保证安全的前提下（两岸的随从数都不比商人数 多），在有限步内使全部人员过河。用状态（变量 ）表示某一岸的人员状况，决策（变量）表示船上 的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许变化范围内（即安全 渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目的 。模型构成 记第 次渡河前此岸的商人数 ，随从数为 . 将二维向量定义

9、为状态。安全渡河条件下的状态集合成为允许状态集合 ，记做 .模型构成 记第 次渡河渡船上的商人数 ，随从数为 . 将二维向量定义为决策。 允许状态集合，记做 .由小船的容量可知因为 为奇数时船从此岸驶向彼岸， 为 偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态 随决策变化的规律是 ，称之 为状态转移律。 这样制订安全渡河方案归结为如下的多步 决策模型：求决策 ，使状态按照转移律，由初始状态 经有限步 到达状态 。模型构成 O 1 2 3 xy321模型求解 在商人和随从人数不大的简单情 况，用图解法比较简便。这里讲述的是一种规格化的方法， 所建立的多步决策模型可以用计算机求 解，从而具有推广的意义。譬如，当

10、商 人和随从人数增加或小船的容量加大时 ，靠逻辑思考就困难了，而用这种模型 则仍可方便的求解。 适当地设置状态和决策，确定状态转移 律，建立多步决策模型，是有效地解决 很广泛的一类问题的方法。评 注设船速和水速为常数x，y表示船速和水速匀速运动中 s=vt二元一次方程解出 x20，y=5船速为20km/h 水速为5km/h根据建模 的目的和 问题的背 景作出必 要的简化 假设用字母表 示待求的 未知量利用相应 的物理和 其他规律求出数学上 的解答用这个答 案解释原 问题列出数学式子验证合 格论文、上机 指导概率统 计模型应用软件微分方 程模型优化模型某学校有3个系共200名学生，其中甲 系10

11、0名，乙系60名，丙系40名。现学生代 表会议设20个席位，公平而又简单的席位 分配办法是按学生人数的比例分配，显然 甲乙丙三系分别应占有 个席位。初等模型之 公平的席位分配10，6，4现在丙系有6名学生转入甲乙两系 ，有3人转入甲系，3人转入乙系。这时代表席位应该怎样分配呢？表1 按照比例并参照惯例的席位分配21个席位的分配比例分 配席位参照惯 例结果10.815116.61573.570321.00021系别学生 人数学生人 数的比 例()20个席位的分配比例分 配席位参照惯 例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.02020建立数量

12、指标 讨论A,B两方公平席位分配的情况。设两方人数分别为 和 ，占有席位分别为 和 ，则每个席位代表的人数为 和 。公平的条件：但是，通常情况下 ，即不公平， 并且数值较大的一方吃亏，即对这一方不公平。则 。不妨假设 不公平程度可用数值 衡量。 分析： 设(1)则 ；又设(2)为了改进上述绝对标准，故采用相对 标准。若 ，则定义为对A的相对不公平度。若 ，则定义为对A的相对不公平度。 原则：使 尽可能小。不失一般性可设 ，即对A不公 平。当再增加1席时，关于 的不等式有以下可能：确定分配方案 利用 和 讨论，当增加1席时，应该分 配给A还是B。1. ， 1. ，这说明即使A方增加 1席仍然对A

13、不公平，所以这一席显然应该分 给A方；2. ，这说明A方增加一席 时将变为对B不公平，参照 可计算出对B的 相对不公平度为3. ，即当B方增加一席时 将对A不公平，参照 可计算出对B的相对不 公平度为所以如果则这1席应分给A方；反之则分给B方。由得记则增加的1席应分给Q值较大的一方。这种席 位分配方法称为Q值法。第20席：记则增加的1席应分给Q值较大的一方。这种席 位分配方法称为Q值法。第21席：寻求公平分配席位的方法的关键 ，是建立衡量公平程度的既简单又 简明的数量指标，本模型提出的的 指标是相对不公平度，在这个前提 下得到的Q值方法应该是公平的。但 是如果跳出这个前提，公平席位问 题还远未

14、解决。评 注练：学校共有1000名学生，235人住在A宿舍， 333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要 组织一个10人的委员会，试着用以下方法分配 各宿舍的委员数：(1) Q值法。(2) dHondt方法：将A,B,C各宿舍的人数用正 整数n=1,2,3,相除，其商数如表： 12345 A235117.578.358.7547 B333166.511183.2566.6 C43221614410886.4初等模型之 双层玻璃窗的功效如图所示，两层厚度为 的玻 璃夹着一层厚度为 的空气。据说 这样做是为了保暖，即减少室内向 室外的热量流失。墙墙墙墙模型假设 1. 热量的传播只有传导，没有对流。即假定窗户密 封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的。2. 室内温度 和室外温度 保持不变，热传导过程 处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单 位面积的热量是常数。3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数。在上述假设下热传导过程遵从下面的物理