《[理学]第一讲-代数系统》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[理学]第一讲-代数系统（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、离散数学（二）李翠敏 1代数结构（系统）抽象代数（abstract algebra ）n在抽象代数学中，由对象集合及运算组成的数学结构被称 为代数结构（algebra structures），或代数系统n不管对象集合的具体特性和对象集合上运算的具体意义，抽象的研究这些数学结构的一般特性，及运算所遵循的一般定律（如结合律、交换律、分配律等）、对这些数学结构进行分类研究。21. 代数系统n代数的定义一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算 f1,f2,fn，所组成的系统称为一个代数系统，简称代数 。代数系统常用一个多元序组来表示，其 中 A是载体，D，*，为各种运算。 代数系统的组成p载体(
2、非空集合A)p定义在载体A上的若干运算 (f1,f2,fn)p代数常元第一讲 6.1代数结构36.1代数结构【例题1】(a)整数集合I，以及定义在该集合上的普通加法运算“+”组 成一个代数系统，可记作载体I定义在I上的运算 +常数0 (b)一个有限集合S，由S的幂集(S)，及定义在(S)上的交、并、补运算组成一个代数系统 。46.1代数结构n代数结构的研究对象：不是单个具体的代数，而是一种类 。那么，什么样的两个代数是同一种类的？ 1.要有相同的构成成分 2.要有一组相同的称为公理的规则【例题2】考虑、是否与具 有相同形式的构成成分且也具有下述公理？ 1.a+b=b+a 2.(a+b)+c=a
3、+(b+c) 3.a+0=0+a56.1代数结构nn元代数运算设A1,A2,An, A是非空集合， f是从A1A2An 到 A的一个映射，则称f为从集合A1A2An到A的一个 n元代数运算，简称运算，n称为代数运算的阶。xnx3fx2x1y66.1代数结构nn元代数运算的封闭性设f是从An到B的一个映射，f 被称为集合An 上的一个n元代 数运算。若BA，则称该n元运算在集合A上是封闭的。特别地，设f是从A到A的映射，则称f是一个在A上封闭的一元运算。设f是从A2到A的映射，则称f是一个在A上的封闭的二元运算 。76.1代数结构定义： 运算表当集合A是有限集时，例如A=a1,a2,an，则A上
4、一元 代数运算和二元代数运算分别用如表(a)和(b)所示的运 算表来表示。a1 a2 ana1 a2 ana1 a1 a1 a2 a1 ana2 a1 a2 a2 a2 an an a1 an a2 an an(ai)a1 a2 an(a1) (a2) (an)(a)(b)运算符集合A运算结果86.1代数结构【例题3】 一台自动售货机能接受五角和一元的硬币。当人们投入 任意两枚上述硬币时，自动售货机将供应出相应的饮料 ，如下表设集合A5角，1元，集合B雪碧，可乐，酷儿， 则上表其实是一个从AA到B的一个映射，也即一个从A2 到B的一个二元运算。问运算在A上是否封闭？答：不封闭5角1元5角雪碧可
5、乐1元可乐酷儿96.1代数结构【例题4】设有正整数集I+，“+”是I+上的普通加法运算。在I+上 定义二元运算*为：任取x, yI+, x*y=x+y。令S=2k|kI+=2,4,6,8,T=n|n I+, n能整30 =1,2,3,5,6,10,15,30 问运算*在S和T上是否封闭?解：在S上封闭，在T上不封闭。106.1代数结构代数运算性质2. 代数运算性质n性质一p交换律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果任取 x,yA，都有x*y=y*xx*y=y*x，则称该二元运算是可交换的。【例题5】设Q是有理数集合，是Q上的二元运算，对任意a,bQ, ab=a+b-ab,其中+和是普通的加
6、法、乘法运算，问 是否是可交换的？116.1代数结构代数运算性质n性质二p结合律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意 x,y,zA ，都有x*(y*z)=(x*y)*zx*(y*z)=(x*y)*z则称该二元运算是可结合的。【例题6】设A是一个非空集合，*是A上的一个二元运算，对于任意 a,b A ,有a*b=b,证明运算*是可结合的。证明思路：任取a,b,cA ,证明a*(b*c)=c,(a*b)*c=c所以，a*(b*c)=(a*b)*c，*运算是可结合的。126.1代数结构代数运算性质n性质三p分配律设*和是定义在集合A上的二元运算，如果对任意的 a,b,cA，都有 *对左可
7、分配 *对右可分配则称*对是可分配的。 136.1代数结构代数运算性质【例题7】设集合A=,在A上定义义两个二元运算*和 ，如 下表(a)和(b)所示。 运算对运算*可分配吗？运算*对运算呢？n只能用穷举的方法来计算：左右都可分配才是可分配；n答： 对*是可分配的；*对不可分配：*( )* (a)(b)146.1代数结构代数运算性质n性质四p吸收律设*和是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如 果对于任意的x,yA ,都有x x* *(x(x y y)=x, x)=x, x (x(x* * y y)=x)=x 则称运算*和满足吸收律。156.1代数结构代数运算性质【例题8】设集合N是自然数全
8、体，在N上定义两个二元运算*与，对 于任意x,yN，有x*y=x*y=max(x,ymax(x,y) , x) , x y=y=min(x,ymin(x,y) )验证运算*与满足吸收律。解：对于任意a,bN，a*(ab)=max(a,min(a,b)=aa(a*b)=min(a,max(a,b)=a因此，*与满足吸收律。16*6.1代数结构代数运算性质n性质五p等幂律设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于 任意xA,都有x * x = xx * x = x, ,则称运算*满足等幂律。176.1代数结构代数运算性质【例题9】设(S)是集合S上的幂集，在(S)上定义两个二元运 算：集合的并运
9、算和集合的交运算，验证和 满足吸收律和等幂律。解答：和运算是可交换的。 A,B(S),有A(AB)=A A(AB)=A所以和满足吸收律。又有A A=A A A=A所以和满足等幂律。18*6.1代数结构代数运算性质n性质六p可约律(消去律)设*是定义在集合上的一个二元运算，元素aA,如果对于任意x,y A,都有a*x=a*y x=y a是左可约的x*a=y*a x=y a是右可约的则称a关于运算*是可约的。若A中的所有元素都是可约的，则称运算*满足可约律。196.1代数结构-代数常元3. 代数常元代数系统中，针对某一代数运算表现出具有某些特殊性 质的元素称为代数常元，常见的有：幺元、零元、逆元
10、、等幂元等。206.1代数结构n幺元p左幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存 在元素el，对于A中的每一个元素x，都有el * x=x则称el为A中关于运算*的左幺元。p右幺元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存 在元素er，对于A中每一个元素x,都有x* er=x则称er为A中关于运算*的右幺元。p幺元：设*是定义在集合A上一个二元运算，若A中有 一个运算e,它既是左幺元，又是右幺元，则称e为A中 关于运算*的幺元，亦称作单位元。e*x=x*e=x216.1代数结构【例题9】设集合S=a,b,c,d, S上定义的两个二元运算*和的运 算表如下表所示，试求出其中的左幺元和右幺元
11、。解：b,d都是S中关于运算*的左幺元，a是S中关于运算 的右幺元。*a b c dabcdd a b ca b c da b c ca b c da b c d abcda b d cb a c dc d a bd d b c(a)(b)226.1代数结构定理1设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在 A中有关于运算*的左幺元el和右幺元er,则el =er=e,且 A中的幺元是唯一的。证明思路：先证el =er=e，再证e的唯一性。证明：设el 和er分别是A中关于运算*的左幺元和右幺元，则有el= el *er= er=e假设另有幺元eA, 则有e=e*e=e,结论得证。236.1代数结
12、构n零元p左零元：设*是定义在集合A上的一个二元运算，如 果有一个元素lA,对于任意的元素xA都有l*x= l，则称l为A中关于运算*的左零元。p右零元：如果有一个元素rA,对于任意的元素 xA都有x*r= r，则称r为A中关于运算*的右零元 。p零元：如果A中的一个元素，它既是左零元，又是 右零元，则称为A中关于运算*的零元。* x=x*=246.1代数结构【例题10】设“浅”表示不易褪色的浅色衣服，“深”表示易褪色的 深色衣服，集合S=浅，深，定义S的一个二元运算“ 混洗”，记为“ * ”，则*的运算表如下表所示。求S中关 于*运算的幺元和零元。解：浅色是S中关于*运算的么元；深色是S中关
13、于*运算的零元。* 浅色 深色 浅色 深色浅色 深色深色 深色256.1代数结构定理2设*是定义在集合A上一个二元运算，且在A中有 关于运算*的左零元l和右零元r,那么l= r= ，且A中的 零元是唯一的。证明：设l 和r分别是A中关于运算*的左零元和右零 元，则有 l= l * r= r= 假设另有零元A, 则有= * =,结论得证。定理3设是一个代数系统，且|A|1。如果该代数 系统中存在幺元e和零元，则e。证明： |A|1时，假设e=，则A中必存在元素a，满足a e，a -(1)且有 a*e=a，a*=-(2)由假设e=，(2) 可得a=，这与(1)矛盾，所以假设不成立， 结论得证。266.1代数结构n逆元p设是一个代数系统，*是定义在集合A上的一个 二元运算，e是A中关于运算*的幺元。x,yA，如果 x*y=ex*y=e，那么关于运算*，x是y的左逆元，y是x的右逆 元。如果一个元素b即是a的左逆元又是a的右逆元，那么 称b是a的一个逆元。如果x*y=y*x=e，那么关于运算*，x与y互为逆元。运 算x的逆元记为x-1。 一般的，元素的左逆元不一定等于其右逆元。一个元 素可以有左逆元而没有右逆元，甚至左(右)逆元可以 不唯一。276.1代数结构【例题1
