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1、9 二阶电路王东剑1湖北工业大学华中科技大学出版社本章知识要点： 零输入响应 零状态响应 全响应2湖北工业大学华中科技大学出版社9.1 零输入响应 二阶电路含有两个独立的动态元件，可以用二阶微分方程 来描述。 在回路中由KVL有图9-1 RLC串联基本电路图9-1所示的二阶RLC串联基本电路中，已知 ， ，求t0时的 。由换路定律知 3湖北工业大学华中科技大学出版社对于线性常系数的二阶齐次微分方程，解为二阶电路的零 输入响应，令 ，得特征方程为 特征方程的根为 特征根p1，p2称为电路的固有频率或自然频率。电路的阻尼系数谐振角频率方程的通解为 4湖北工业大学华中科技大学出版社讨论： 初始条件代
2、入方程的解得两特征根是不等的负实根 ，初始值不为零的电容通过R、L放电，联立 方程的解为5湖北工业大学华中科技大学出版社可以看出电容电压是衰减的指数函数，且因为 ， 所以随着时间的增长，uc中第一项比第二项衰减慢， uc一直为 正。图9-2画出了电容电压、电流和电感电压随时间变化规律的 波形。图9-2 变化波形根据波形可知，电容电压从单调地衰减为零，说明电容一 直处于放电状态。故这种情况下为非振荡放电过程，或过阻尼 情况。 动画演示：二阶电路的零 输入响应(RLC串联) 16湖北工业大学华中科技大学出版社i在变化的过程中具有一个极大值imax，设出现在t=tm,时刻， 令电感电压在随时间变化的
3、过程中有一个极小值，令求出极小值出现的时刻在电路的整个工作过程中，电容始终是释放电场能量。时电感吸收能量，建立磁场； 时电感释放能量，磁 场逐渐减弱。电阻一直吸收能量，最终将电路中全部能量转变 成热能。 7湖北工业大学华中科技大学出版社两特征根是一对共轭复根 当初始条件同过阻尼情况时，电容电压为 8湖北工业大学华中科技大学出版社图9-4画出了上述三个零输入响应随时间变化规律的波形。图9-4 变化波形动画演示：二阶电路的零输入响应(RLC串联) 29湖北工业大学华中科技大学出版社在整个过渡过程中， 周期性地改变方向，且呈现衰减 振荡的状态，电路中电容和电感周期性地交换能量，而电阻始 终消耗能量，
4、电容上原有的能量最后全部由电阻转化为热能消 耗掉，这一状态也称为欠阻尼情况。 当电路中的电阻R=0时，有相应的零输入响应分别为此时的响应都是振幅不衰减的正弦函数，振荡会一直持续 下去，从而形成等幅的自由振荡。10湖北工业大学华中科技大学出版社两特征根是相等的负实根 ，可求出响应为在整个过渡过程中， 是单调衰减的函数，电路的放电 过程仍然属于非振荡性质，但是，恰好介于振荡和非振荡之间 ，所以称之为临界非振荡过程。响应随时间变化的波形与过阻 尼情况相似。 动画演示：三种阻尼情况11湖北工业大学华中科技大学出版社例9.1 在图9-5所示的电路中，换路前电路处于稳态。求 t0换路后电容的电压uc和i。
5、已知：图9-5 例9.1电路 解 （1） 换路前电路已达稳态，则有t=0时开关打开，构成RLC串联 回路，且满足 ，所以电 路处于过阻尼情况，放电过程是非 振荡的。 12湖北工业大学华中科技大学出版社回路的KVL方程为 特征根方程为将电路的元件参数代入得特征根初始条件为 13湖北工业大学华中科技大学出版社（2）元件参数满足 ，所以电路处于欠阻尼情况 ，放电过程是衰减振荡的。将已知数据代入描述电路的微分方 程得14湖北工业大学华中科技大学出版社9.2 零状态响应在图9-6所示的基本RLC串联电路中，动态元件电容和电感 的初始值为零， t=0时换路，电源uS作用于电路，求t0时的。由于电路的初始状
6、态为零，所以此时的响应称为二阶 电路的零状态响应。回路的KVL方程为代入上式得图9-6 二阶零状态响应电路 此二阶常系数线性非齐次微分方程的解为 。 其中 为齐次解（暂态解）， 为特解（稳态解）。15湖北工业大学华中科技大学出版社齐次解由电路参数决定，由电路的零初始条件可以确定齐 次解中的常系数；特解的函数形式由外加激励确定。电路的零 状态响应也相应的分为过阻尼、欠阻尼和临界阻尼三种情况。9.2.1 阶跃信号激励下的零状态响应二阶电路在阶跃信号激励下的零状态响应称为二阶电路的 阶跃响应，如图9-7所示电路， 。 求 。图9-7 二阶阶跃响应电路 16湖北工业大学华中科技大学出版社（1）当 时，
7、过阻尼情况，方程的解为 17湖北工业大学华中科技大学出版社（2）当 时，过阻尼情况，方程的解为 由初始值可以确定由初始值可以确定（3）当 时，过阻尼情况，方程的解为 18湖北工业大学华中科技大学出版社9.2.2 冲激信号激励下的零状态响应RLC电路在单位冲激信号作用下的零状态响应叫做冲激响应 。串联电路的冲激响应的求解方法：方法一 直接利用描述电路的二阶常系数线性非齐次微分方 程求解，即从冲激信号的定义出发，直接计算冲激响应。 t=0瞬 间冲激施加于电路，在t=0时建立了初始值，而冲激信号消失 ，求零状态响应转换为求零输入响应。图9-7 二阶阶跃响应电路 在图9-7所示电路中，令 则电路为单位
8、冲激信号作用下的零状 态RLC串联电路。描述电路的微分方程为 19湖北工业大学华中科技大学出版社初始条件为t0时，电路的响应就是由上述初始值引起的零输入响应。 将初始值代入9.1节中零输入响应相应的表达式，可得三种 情况下的冲激响应。过阻尼情况临界阻尼情况20湖北工业大学华中科技大学出版社欠阻尼情况方法二 线性定常电路具有微积分的性质。 与 之 间存在微积分关系，则冲激响应和阶跃响应之间也存在微积分 的关系。利用9.2.1中已求阶跃响应来求冲激响应，其方法是 冲激响应是阶跃响应对时间的导数。若外加的激励为 ，则对应的冲激响应应在单 位冲激响应前面乘以A。21湖北工业大学华中科技大学出版社9.2
9、.3 正弦信号激励下的零状态响应二阶电路在零初始状态下，由正弦信号激励所引起的响应 称为电路对正弦信号的零状态响应。 图9-7 二阶阶跃响应电路 如图9-7所示二阶RLC串联电路，令电容电容齐次解，利用正弦交流电路的求解方法可得：为特解（稳态解）22湖北工业大学华中科技大学出版社正弦信号激励下的零状态响应分三种情况：临界阻尼情况过阻尼情况23湖北工业大学华中科技大学出版社欠阻尼情况其中的未知常数可以利用初始条件求出。24湖北工业大学华中科技大学出版社9.3 全响应RLC二阶电路的全响应是电路在外加激励和初始状态共同作 用下产生的响应。 图9-8 二阶全响应电路 如图9-8所示RLC串联电路，设
10、电 压源在时接入电路，电容、电感的初 始值分别为 。根据回路的KVL方程有 初始条件可以求出uc 。25湖北工业大学华中科技大学出版社对于图9-9所示的RLC并联二阶电路的分析，利用对偶性 原理，完全可以按照RLC串联二阶电路的分析方法进行。图9-9 二阶并联电路26湖北工业大学华中科技大学出版社例9.2 图9-10所示电路，开关S在t=0时打开，打开前电路 处稳态，求t0时的电流。图9-10 例9.2电路 解 方法1 开关S打开前电路处稳态换路后等效电路如图9-11，电路方 程为换路前 ，换路 后 ，则电感电流在 t=0时发生有限跳变。 图9-11 等效电路27湖北工业大学华中科技大学出版社
11、由于i为有限量，则有因此此时电路可等效为图9-11所示。图9-11 等效电路 根据三要素法 可对方程两边从 积分来求 28湖北工业大学华中科技大学出版社方法2用初始电流 的电感L1与电流为 的电 流源并联，或用初始电流 的电感L1与电压为 的电压源串联来等效表示 的电感， 则电感在t0时的等效电路如图9-12或图9-13所示。图9-12 等效电路之一图9-13 等效电路之二由此t0时的电路方程为初始值29湖北工业大学华中科技大学出版社由 所引起的初始条件可由对上述微分方程从 的积分求得可进一步求出t0时其它的值30湖北工业大学华中科技大学出版社各响应随时间变化的曲线如图9-14所示。 图9-14 变化曲线 31湖北工业大学华中科技大学出版社例9.3 电路如图9-15所示，求正弦激励下的全响应uc，并 画出它的变化波形。已知：初始条件 解 由回路KVL的及元件的VCR得图9-15 例9.3电路初始值特征方程为故特征根 方程齐次解为特解 32湖北工业大学华中科技大学出版社特解应满足回路的微分方程，代入原回路的微分方程可求得全响应可写为由初始条件确定积分常数解之 33湖北工业大学华中科技大学出版社全响应uc的变化波形如图9-16所示。图9-16 uc的变化波形34
