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1、第5章 数值积分 5.1 引言利用牛顿莱布尼兹（NewtonLeibniz）公式(5.1)解决函数 在 上的积分问题在理论和应用上都有重大的意义。然而，在实际问题中，往往会遇到一些困难。有些形式上较简单的函数，其原函数 不易求出或不能用初等函数表示成有限形式；有些被积函数的原函数过于复杂；而有些函数的函数值是由实验、观测等方法得出，并没有给出具体的解析表达式。这些情形说明公 式(5.1)在应用上是有局限性的，因此研究定积分的数值计算问题就显得十分必要。本章主要介绍一些常用的数值积分方法，包括梯形积分法、辛卜生积分法、变步长积分法、牛顿柯特斯积分法、高斯积分法、龙贝格积分法以及高振荡函数的积分法
2、。5.2 梯形积分法 5.2.1 梯形积分法的基本思想梯形积分法的基本思想：在积分区间 上，根据给定的插值条件 和 ，构造一个一次二项式 ，并以 的积分值近似地代替 。从几何角度而言，是以梯形面积近似地代替曲边梯形的面积。5.2.2 梯形求积公式 依据梯形积分法的基本思想，将区间 分 成 个 相等的小区间,则每个小区间的长度 为 ,对每个小区间均实施如下的梯 形求积：将这些小梯形的求积值加起来，可以得到如 下梯形求积公式：其中，5.2.3 实现梯形积分法的基本步骤(1) 输入区间 的端点 值以及分割数 ；(2) 将区间 等分成 个小区间，每一个小区间的长度 ；(3) 计算每一个等分点的函数值
3、(4) 计算(5) 输出 的值；(6) 结束。 图 5.2 梯形积分法的N-S图描述 例5.1 使用梯形求积公式求下列定积分的值。#define N 16 /* 等分数 */ float func(float x) float y;y=4.0/(1+x*x);return(y); void gedianzhi(float y,float a,float h) int i;for(i=0;i #define N 16 /* 等分数 */ float func(float x) float y;y=4.0/(1+x*x);return(y); void gedianzhi(float y,floa
4、t a,float h) int i;for(i=0;i=eps) /* 判断是否达到精度要求,若没有达到,继续循环 */ s=0.0;for(i=0;i #include #define eps 0.000001 /* 容许误差 */ float func(float x) float y;y=sqrt(1-x*x);return(y); float bsimpson(float a,float b) int i,n;float h,p,e,s;float t1,t2,s1,s2,x;n=1;h=b-a;t1=h*(func(a)+func(b)/2.0;s1=t1; /* 用代替 */e=
5、eps+1.0;while(e=eps) s=0.0;for(i=0;i #define N 5 float func(float x) float y;y=4.0/(1+x*x);return(y); void gedianzhi(float y,float a,float b,int n) float h,s;int i;h=(b-a)/(float)n;for(i=0;i double func(double x) double y;y=x*x+sin(x);return(y); double legendre_gauss(double a,double b,int m,int n) d
6、ouble h,hx,y,s,dx,x0;int i,k;static double x=-0.9061798459,-0.5384693101,0.0000000000,0.5384693101,0.9061798459;static double w=0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851;dx=(b-a)/(double)m;hx=dx/2;s=0.0;for(k=0;k double func(double x) double y;y=x*x;return(y); double hermite_g
7、auss(int n) double s;int i,k;static double x=-2.02018287046,-0.95857246461,0.00000000000,0.95857246461,2.02018287046;static double w=0.01995324206,0.39361932315,0.94530872048,0.39361932315,0.01995324206;s=0.0;for(i=0;i double func(double x) double y;y=x;return(y); double hermite_gauss(int n) double
8、s;int i,k;static double x=0.26356031972,1.41340305911,3.59642577104,7.08581000586,12.64080084428;static double w=0.52175561058,0.39866681108,0.07594244968,0.00361175868,0.00002336997;s=0.0;for(i=0;i #include #define DFS_N 20 /* 等分数 */ #define MAX_N 10 /* 最大循环次数 */ #define eps 0.00001 /* 容许误差 */ doub
9、le func(double x) double y;y=4.0/(1+x*x);return(y); double sum(double aa,double bb,long int n) double h,s;int i;h=(bb-aa)/n;s=0.0;for(i=1;i void part(double a,double b,int m,int n,double fa,double fb, double s) int mm,i,j;double sma,smb,cma,cmb;double sa4,sb4,ca4,cb4;sma=sin(m*a); smb=sin(m*b);cma=c
10、os(m*a); cmb=cos(m*b);sa0=sma; sa1=cma; sa2=-sma; sa3=-cma;sb0=smb; sb1=cmb; sb2=-smb; sb3=-cmb;ca0=cma; ca1=-sma; ca2=-cma; ca3=sma;cb0=cmb; cb1=-smb; cb2=-cmb; cb3=smb;s0=0.0; s1=0.0;mm=1;for(i=0;i=4) j=j-4;mm=mm*m;s0=s0+(fbi*sbj-fai*saj)/(1.0*mm);s1=s1+(fbi*cbj-fai*caj)/(1.0*mm);s1=-s1; main() in
11、t n,m;double a,b,s2;double fa=0.0,1.0,0.0,-3.0;double fb=6.2831852,1.0,-6.2831852,-3.0;clrscr();printf(“input a,b=“);scanf(“%lf,%lf“,printf(“input m=“);scanf(“%d“,printf(“input n=“);scanf(“%d“,part(a,b,m,n,fa,fb,s);printf(“ns1(%d)=%ens2(%d)=%en“,m,s0,m,s1); 程序运行结果： input a,b=0,6.2831852 input m=30 i
12、nput n=4 s1(30)=-6.74177e-07 s2(30)=-2.09672e-01本 章 小 结本章首先简要介绍了数值积分在实际应用中的重要性，并对 在本章中介绍的各种数值积分的基本思想作了详细的说明。作为 数值积分的方法，介绍了梯形积分法、辛卜生积分法、变步长积 分法、牛顿-柯特斯积分法、高斯积分法、龙贝格积分法以及高振 荡函数的积分法。梯形积分法和辛卜生积分法是最基本的求积方法，其不足之 处是当积分区间的长度较大时，直接使用这两种方法，则计算结 果的精度难以满足要求。因此，为了提高精度，引进了不断二等 分每个子区间的变步长梯形积分法和变步长辛卜生积分法。牛顿 柯特斯积分法是一种可以获得高精度，而且算法简单易编制程 序的求积方法。高斯积分法不但精度高，而且其收敛性和稳定性 也较好。龙贝格积分法不但精度高，而且算法简单，计算量小， 容易用程序实现。本章要求：重点掌握梯形积分法、辛卜生积分法、变步长积 分法和龙贝格积分法的基本思想，算法的基本步骤以及使用，了 解牛顿-柯特斯积分法、高斯积分法以及振荡函数的积分法的基本思想。 习 题
