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1、第二章第二章 随随 机机 变变 量量上一章中,我们把随机事件看作样本空间的子集; 在这一章里我们将引入随机变量的概念,用随机变量的取值来描述随机事件。一、随机变量引例 E1: 将一枚硬币连掷两次,观察正反面出现的情况。e1=(正,正) 2e2=(正,反) 1e3=(反,正) 1e4=(反,反) 0令X=“正面出现的次数”,则X是一个随着试验结果不同而取值不同的量,其对应关系如下:由上可知,对每一个样本点e,都有一个X的取值X(e)试验基本结果(e) 正面出现的次数X(e)与之对应。我们把X称为定义在这个试验上的 随机变量。再如 E2:掷一枚骰子,观察出现的点数. 令X=“正面出现的点数” 试验
2、基本结果(e) 正面出现的点数X(e)e1= 1 1 e2= 2 2 e3= 3 3 e4= 4 4 e5= 5 5 e6= 6 6总之,对每一个随机试验,我们都可以引入一 个变量X,使得试验的每一个样本点 e 都有一个X 的取值X(e)与之对应,这样的X就称为定义在该试验上的随机变量。1 1、随机变量的定义、随机变量的定义设E是一个随机试验,其样本空间为,在E上引入一个变量X,如果对中每一个样本点e,都有一个X的取值X(e)与之对应,我们就称X为定义在随机试验E上的一个随机变量. (2)引入随机变量的目的:用随机变量的取值表示随机事件.“X1”表示事件“正面至少出现一次”;2、随机变量的说明
3、随机变量的说明(1 1)随机变量的表示:常用字母X,Y,Z,.表示. 例如:引例中, “X=2”表示事件“正面出现两次”;“00为一常数,n是任意正整数。设npn=, 则对任一固定的非负整数k,有 证明:四、泊松分布四、泊松分布定义:定义:若随机变量X所有可能的取值为0,1,2, 而 X取每个值的概率为:则称X服从参数为的泊松分布(Poisson),记为 :1) 泊松分布与二项分布的关系:这两个分布的XP().说明:数学模型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二项分布当n很大p 很小时的近似计算。1、 Poisson分布的应用2) Poisson分布主要用于描述一些稀有事件,如地震
4、、 火山爆发、特大洪水等等。上述例1的解答:例例2 2:某人骑摩托车上街某人骑摩托车上街, ,出事故的概率为出事故的概率为0.01,0.01,独立重复上街独立重复上街400400次,求出事故至少两次的概率。次,求出事故至少两次的概率。解:解:400400次上街次上街400400重重BernouliiBernoulii实验实验记记X X为出事故的次数,则为出事故的次数,则所求概率为所求概率为: :另解 :例3:(保险问题)设有2500人参加人寿保险,并设每人在一年内死亡的概率为0.002,参保的人每年1月1日交保费12元,而若在这一年死亡时,家属可从保险公司获得2000元补偿。求()保险公司赔本
5、(A)的概率。()保险公司获利不少于10000元(B)的概率。解: 令X=“一年内死亡的人数”,则Xb(2500,0.002)30000-2000X10000, 即“X10”. P(B)=P(X10)(1)保险公司“赔本” (2) 保险公司获利不少于10000元,应有=1-P(X10)思考:某大学校乒乓球队与系队举行对抗赛,校队实力较系队强,当一对一时,校队队员获胜的概率 为0.6。现提出如下三种对抗赛的方案。(1)双方各出3人;(2)双方各出5人;(3)双方各出7人;三种方案均以获胜人数最多的一方为胜。试问:对系队来说,哪种方案较有利?例4:(进货问题)由某商店过去的销售记录知道,某彩电每月
6、的销售数可用参数为=5的泊松分布来描述,为了以95%以上的把握保证月底不脱销,问商店在月底至少应进多少台?解:设每月的销售数为X,月底进N台,则即求满足 P(XN)0.95 的最小的N由于 P(XN)=1-P(XN),即求查表知:N+1=10, 所以即要以95%以上的把握保证月底不脱销,月底至少应进9台商品。五、(五、(0 10 1)分布)分布X 0 1pk 1-p p一个只有两个结果的随机试验,都可以用 (0)分布来描述。如新生婴儿的性别,打靶中与不中等等。即X的分布律为:则称X服从(0 )分布。小结:这一节主要内容是离散型随机变量及其分 布律一、离散型随机变量的定义及其分布律离散型随机变量
7、的定义及其分布律二、二项分布二、二项分布三、三、PoissonPoisson定理定理四、泊松分布四、泊松分布五、(五、(0101)分布)分布练习1:盒子中共有10个球,其中4个红的6个白的。今从中任取5个球,令X=“任取的5个球中红球的个数”,求X的分布律。解:X的所有取值为0,1,2,3,4.解:解:X所有可能的取值为:1,2,3;作业作业: : 设盒子中装有编号15的5个小球,从中任取 3个,以X记3个球的号码的最小者,试求X的分布律 及PX2 和PX4 。X的分布律为:X123Pk6/103/101/10PX2=PX=3=1/10 PX4 =0.思考思考1 1:设有10只同种类的电器元件
8、,其中有两只是 废品。现从这批元件中任取一只,如果是废品,则扔 掉重取一只,如仍是废品,则扔掉再取一只。令X为 取到正品之前取出的废品数,试求X的概率分布。X012Pk解:设X为取到正品之前取出的废品数,则X的分布 律为:思考思考2 2: 某人酒后回家某人酒后回家, ,从从n n把外型相同的钥匙把外型相同的钥匙中任取一把去开门,求他第中任取一把去开门,求他第k k次才打开门的概率次才打开门的概率. .解解:记记A Ak k=“=“第第k k次次打开门打开门”,”,第第k k次才打开门的概率为:次才打开门的概率为:=“=“第第k k次次没有打开门没有打开门” ” k=1,2,3,k=1,2,3,
9、思考思考3 3: 社会上发行某种面值为社会上发行某种面值为2 2元的彩票元的彩票, ,中奖中奖率为率为2.8%2.8%。某人购买一张彩票,若没中奖再继续。某人购买一张彩票,若没中奖再继续 买一张,直至买一张,直至中奖中奖为止,试求他第为止,试求他第6 6次购买中奖的次购买中奖的 概率概率. .第第6 6次购买中奖的概率为:次购买中奖的概率为:解:记A=“中奖”2.2 2.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数引例:若用X=“掷一颗骰子时掷出的点数”,记PX1= F(1)PX2= F(2)PX3= F(3) 一般地:对任意的实数我们把 称为随机变量随机变量X X的分布函数。的分布函数。1. 1
10、. 分布函数的含义分布函数的含义一、分布函数的定义一、分布函数的定义xa二、分布函数的几点说明二、分布函数的几点说明0( ab2. 2. 分布函数的分布函数的定义域与值域例1:已知随机变量X的分布律为:X 0 1 2pk 1/4 2/4 1/4(1)求X的分布函数(2)求X的分布函数解 :三、分布函数的性质三、分布函数的性质试说明F(x)能否作为某个随机变量X的分布函数例1:设有函数求: (1) 常数A,B的值; (2) P(0X1)例2:设随机变量X的分布函数为:例3:下列函数中可作为随机变量分布函数的是 ( )C作业:设随机变量X的分布律为:X -1 0 2pk 0.3 0.2 0.5求X的分布函数小结:本节主要内容为随机变量分布函数 的定义及性质。