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1、主讲：刘万东教授研究生学位课程（2）电磁场 理 论Theory of Electromagnetic fields哈工大 江滨浩 教授第二章 静 电 场2.1 静电场基本方程组 2.2 静电位及泊松方程 2.3 静电场的唯一性定理 2.4 镜像法2.5 格林函数 2.6 静电场的能和力 2.7 多极展开静电场基本方程组? 静止电荷产生的场静电场, 是电荷分布与电场的稳定平衡状态下的场当体系不随时间变化时， ，麦氏方程组中的电场可以分离为n 衔接条件导体情况：且有注：导体的介电常数 或 ？电位函数又 静电场是无旋场 ，故可引入标量场，静电位矢量分析中的霍姆赫兹定理：任意矢量可表示为? 若取无穷远
2、点电位为零定义分析： 电力线与等位面的关系电位参考点的可选择性位函数矢量恒等式? 任意标量函数均满足，故应限定电位差给定电荷分布的静电位通常电荷分布和电场是耦合的，不能事先确定（尤其是极化电荷）若电荷分布 给定，则静电位可以直接求出：? 此式不是求解电场的有效表达式，？泊松方程? 描述均匀、各向同性、线性介质中静电场的基本方程：泊松（拉普拉斯）方程求解稳定场的泛定方程对各向同性、线性介质，均匀介质时当 时边值问题泛定方程边值条件（定解条件）泊松方程（Poisson）拉普拉斯方程，通常的情况静电位的边值关系? 电位连续保证了电场平行分量连续电位的边值关系(1)电位是连续的? 边界处电场是有限的(
3、2)电位法向梯度值变化与面电荷有关唯一性定理的表述(1) 在区域 中每个均匀的子区域 内满足泊松方程：空间区域 内静电场唯一确定的条件为：(2) 在区域 中每两子区域边界上满足边值条件：（ n 由 i 区域指向 j 区域）(4) 给定区域 表面上 或 之值(3) 已知区域 内的电荷密度 、 ；适定性问题 ？ 第一类边界条件 第二类边界条件 唯一性定理的证明设有 、 同时满足上述条件，令： ,则子区域 1子区域 2子区域 3子区域 4 3 3(1) 在任一子区域内：(2) 在子区域 界面上：(3) 区域表面上: 或 1 1 因再故导体存在时唯一性定理（1）导体内部电场为零，导体是等位体（2）电荷
4、以面电荷形式分布于表面导体的静电平衡条件：对给定电位值，将导体看成是区域边界之一即可? 若区域中存在导体，给定导体上的电位值 或总电荷值 其他区域条件如前述，则电场唯一确定。? 导体内电场为零 对给定电荷值，只要包围导体的表面 有： 第二类边界条件例：静电屏蔽之解释? 唯一性定理说：S 面内的电场由内部电荷及 S 上的电位决定。（与外面的电荷及电场无关）p 不影响 S 面内部（与接地无关）p 不影响 S 面外部+课 堂 休 息课 堂 休 息（1）边值问题解析法概述 分离变量法：p多变量的齐次偏微分方程 单变量的常微分方程组，p求解满足边界条件的常微分方程的特解p关键点：选择合适的坐标系，边界面
5、与坐标面部分重合 复变函数法：复位函数法、保角变换法适合处理复杂边界（二维）情况 镜像法：将边界上的感应电荷 (电流)对场的贡献用所求区域之外的集中电荷的 场来表示，利用边界条件来确定集中电荷(镜像电荷）的位置和量值 格林函数法： 利用单位点源的解格林函数和叠加原理来解决一般电荷分布的普遍边值问题_镜像法（1）例：接地无限大导体板附近一点电荷 ，求空间电位。设电荷位置：则在 处设置 , 可取消导体表面。唯一性保证了上式为所求问题之解（除点电荷处）边值问题：镜像法（2）例：接地导体球外一点电荷 ，求空间电位。电荷位置设镜像电荷在 处，电荷为 。边值问题：镜像法（3）例：不接地导体球外一点电荷 ，
6、求空间电位。电荷位置设两个镜像电荷，分别在 处，电荷为 。边值问题：p 试确定如下镜像电荷的个数，大小与位置点电荷密度的函数表示电荷为 的点电荷密度，记为： 函数应具有下面性质： 函数的选择性质：? 三维 函数， 函数有量纲 ?中值定理以泛函定义的广义函数 函数是通过如下正则泛函定义的函数之特例：? 其中 是普通函数可以是广义函数 若对任意的 ，有：广义函数的微商：阶跃（Heaviside）函数：? 用普通函数微商定义广义函数微商格林函数位于 点的单位点电荷产生的电位满足方程：则 在 为边界的区域 中，有唯一的解。称此解为此区域内的格林（Green）函数第一类格林函数：第二类格林函数：加上边界
7、条件：或(常数）格林公式对区域 内任意两函数 、 ，有：证明：利用 Green 函数求解任意电荷分布的泊松方程（Green 函数法）格林（Green）公式第一类边值问题若给定区域内电荷分布，同时给定第一类边值条件，即：令：由 Green 公式：体电荷贡献 面电荷贡献第二类边值问题若给定区域内电荷分布，同时给定第二类边值条件，即：令：由 Green 公式：对外问题平均值体电荷贡献 面电荷贡献半无限空间第一类格林函数半无限空间的第一类格林函数：源电荷贡献 感应面电荷贡献球形空间第二类格林函数球外区域的第二类格林函数 ：镜像电荷面电荷 贡献课 堂 休 息（2）静电场的能量例：荷电孤立导体球静电能静电
8、场的能量 电场能量体密度? 仅对静电场成立， 不代表能量密度电导体系静电能外场中电荷系统的能量p 电荷系统与外场 的相互作用能：p 考察两个电荷系统，电荷分布分别为 、 ，产生的电位分别为 、 。则两个体系的相互作用能可以定义为：静电能量的定理（1）n汤姆荪(Thomson)定理 (导体系统) 只有当每个导体处于等电位体的情况下，才能达到平衡； 静电场能量为极小值 (不能自身达到）n 恩绍( Eamshaw )定理 (任意静电系统) 仅受静电力作用的带电体，不能在电场中静止地处于稳定平衡u 系统稳定平衡条件是有极小值，具有极小值的条件是一阶导数为零，二阶导数必须恒大于零；但不存在三者 同时大于
9、零的情况 u 任何静电体系状态的形成都必须有其它约束力参与从相对论的角度，可说明这种约束力是麦克斯韦方程组所必须的（试想一下，电荷在相互斥力的作用力下，将飞散到无限远处）不稳定平衡静电能量的定理（2）n 定理：把不带电体引入到固定电荷系统电场中，将使电场的总能量减小n 定理：场源不变情况下，使一部分介质的介电常数增加时，将会使介质中的总能量减小。例能量减小切断电源，电荷不变总能量的减小，表明有其它形式能量的转换（热能，弹性能，极化能等） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为零，电源不变（电荷不变）静电力n 直接法电场的属性：注： 不包含电荷本身的电场。n 导体表面电荷所受到的力显
10、然， 在 两侧连续，而 在 上反向等大再因为在导体内部 并 ， 得到另：导体外表面的总电场为 可见，如上结果是- 麦克斯韦张力张量的直接结果(见后），验证了两种方法的正确性 导 体虚功原理计算静电力（1）p 广义坐标 g：度量场状态的独立参量广义力 f ：企图改变广义坐标的力。功 = g fp 在多导体系统中，导体 p 发生位移 dg 后,其功能关系为外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功u 常电荷系统（K 断开 ）表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电能量来实现虚功原理计算静电力（2）u 常电位系统（K 接通 ）外源提供能量的增量外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一
11、半用于电场力做功。根据 f 的 “” 号判断力的方向p 例 试求图示平行板电容器极板的电场力相同，负号表示电场力企图使 d 减小(吸引力），即电容增大虚功原理计算静电力（3）n 电介质片受到的静电力的机理边缘电场不均匀性的效应dwxln 板间的电场为 E=U / d ，设插入介质部分的宽度为 x，则系统能量为 介质块所受的力为 介质被拉入电容中 导电板受到的力为 负号表示导电板受到的力为吸引力 与前页结果一致体积力与表面力（1）p 体积力 是非电荷 产生的p 表面力其中 麦克斯韦张力张量证明 （作业） 利用有 类似有代入整理，得体积力与表面力（2）例1: 利用张量计算带电平板间的电力 -+ 吸
12、引力，与虚位移法得到结果一致n 说明场力可通过表面力(应力）来表示 场力是由电力线传递 力管 以太说（后论）n 给出了实际计算电场力（净力）有效表达式。面积分较体积分容易计算注：积分面的可选择性例2 导体表面电荷所受的静电力（前页）作用在介质上的静电力n 体积力 内应力（场致伸缩力）显现力（材料总体净余力）n 表达式介质质量密度p 第一项：电场作用与介质中自由电荷的显现力p 第二项：电场对不均匀介质的力， 可用来计算介质分界面上的显现力p 第三项： 场致伸缩力（内应力可使材料变形或破裂），因为注：与虚位移法 的结果一致作用在介质上的静电力启示：能量变化作功广义力乘广义坐标： 虚功原理证明：课
13、堂 休 息（3）有限空间电荷在远处电位若电荷分布在有限的空间，空间的线度 为 ,则该电荷分布对空间较远处 产 生的场，可以按小参量 进行展开。?原子核线度原子线度将 在 处展开。?原点在选在 内记：电位的多极展开带电体系的电多极矩体系的电荷体系的电偶极矩体系的电四极矩d电四极矩的另一定义体系的电四极矩或：? 讨 论有限空间电荷分布在远处产生的电位可表示成各多极矩电位的叠加：多极矩展开随阶数升高而减小：电偶极矩：原点对称的电荷分布电偶极矩不为零? 典型：等量正负电荷相距 ：此时偶极源可粗略底表示中性 带电体的场特 征外场的展开( 为外场 )可以将外场在有限尺度的电荷系统 处展开：也可以写成矢量符
14、号形式：外场中能量的级数形式（1）有限尺度的电荷系统在外场处能量：等与位置无关外场中能量的级数形式（2）外场与有限空间电荷系统的 相互作用能 可以表示成与各多极矩的 相互作用能 之和：电荷（零级矩）与外场相互作用能：电偶极矩与外场相互作用能：电四极矩与外场相互作用能：讨 论p 对仅具有电偶极矩的电荷系统称电偶极子p 若电偶极子空间线度可略，则与相互作用能可视为其在外场中的位能p 电偶极子有广义坐标 ， 对应的广义力：电偶极子受力：电偶极子受力矩：? 极化效应：电偶极子在均匀电场中不受力，但有力矩使其趋于电场方向 ? 静电吸引效应：电偶极子在非均匀电场中受力，使其趋于强电场处下课 再见！电介质3
