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1、返回 上页 下页 结束 复习3 多元函数微分学一. 多元函数微分学的基本概念求定义域及复合函数式求二元函数极限*偏导数及梯度的概念连续、偏导、*方向导数、可微之间的关系偏导数连续连续性偏导数存在*方向导数存在可 微 性主要考点:返回 上页 下页 结束 实例分析1. 函数的定义域为提示:2. 提示: 0填空题 ( 1 - 5 )返回 上页 下页 结束 , 则则即提示: 令3. 设4. 设则提示:1返回 上页 下页 结束 *5.处的梯度为 , 该点处各方向导数中的最大值是 提示: . 返回 上页 下页 结束 6. f ( x , y ) 在点处偏导数存在是 f ( x , y ) 在该点连续的 (
2、 ) .(A) 充分条件但非必要 ;(B) 必要条件但非充分 ;(C) 充要条件 ; (D) 既非充分也非必要条件.D选择题 ( 6 - 9 )处有两个偏导数是函数在该点 可微的( )(A)充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件 B 7. 返回 上页 下页 结束 8. 设 f ( x , y ) 在点( a , b ) 偏导数存在 , 则B提示: 因为只要写结果 , 可直接用罗必塔法则找答案原式返回 上页 下页 结束 9. 函数D提示: 令 y = k x , 则在点(0, 0)处( ). (A) 连续且可导; (B) 不连续且不可导; (C) 连续但不可导; (
3、D) 可导但不连续. 返回 上页 下页 结束 二. 多元函数微分法具体函数计算偏导数或微分复合函数及隐函数求导2. 正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性1. 熟记导数及微分公式 注意:主要考点:返回 上页 下页 结束 实例分析1. 设求提示: 返回 上页 下页 结束 2. 设求解: 返回 上页 下页 结束 求解:3. 设返回 上页 下页 结束 求解:在点 ( 0 , 1 ) 处 z = 2 ,练习题: 设利用微分形式不变性 4. 设答案：方法1. 方程两边直接对 x 求导；方法2. 利用公式.返回 上页 下页 结束 5. 设
4、其中求解:返回 上页 下页 结束 6. 设由方程确定 ,其中F 可微 , 求解:得返回 上页 下页 结束 *7. 设变量x, y, z 满足方程其中f , g 具有连续偏导数, 解: 每个方程两端对 x 求导:解得: 即 返回 上页 下页 结束 8. 设可微 , 且满足方程试证在极坐标系下只与 有关 . 证 : 这说明在极坐标系下与 r 无关 ,只与 有关 返回 上页 下页 结束 三、多元函数微分法的应用1.在几何中的应用求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格
5、朗日乘数法) 求解最值问题主要考点:返回 上页 下页 结束 实例分析1. 设曲面的方程为证明曲面在任意点解: 令则曲面在点 M 的法向量为而故的法线与向量 OM 垂直 .返回 上页 下页 结束 2. 设曲面方程为证明曲面上任一点处的切平面在三坐标轴上的截距之和为常数 . 证明: 曲面在任一点处的法向量为即则在坐标轴上的截距之和为切平面方程为返回 上页 下页 结束 3. 求曲线在点M(1,-1,2) 处的切线方程与法平面方程. 解: 法平面方程: 即 切线方程: 返回 上页 下页 结束 练习题：求曲线在点(1, 1, 1)处的 切线方程及法平面方程. 解: 在点(1, 1, 1)处的法向量为 的
6、法向量 因此曲线在点(1,1,1)处的切向量为 切线方程为 法平面方程为 即: 返回 上页 下页 结束 4. 求点 ( 1, 2, 0 ) 到曲面的距离 .解: 问题为 ( 条件 )设令解得此两点到曲面的距离为故为最小 .返回 上页 下页 结束 5. 求原点到曲面 的最短距离. 提示: , 作拉格朗日函数: 解得 原点到 该曲面的最短距离存在, 故即为所求最短距离. 返回 上页 下页 结束 *6. 在曲面上求出一点 M , 使沿着点的方向导数具有最大值 . 解: 其方向余弦为则问题为( 条件 )设到返回 上页 下页 结束 解得经验证为最大值 .令返回 上页 下页 结束 7. 设长方体在第一卦限
7、内,三面在坐标面上, 其一顶点解: 设长方体在已知平面上的顶点为在平面上 , 求长方体的最大体积 .则 且满足条件 设令则得唯一驻点由实际意义知练习题: 求体积为8, 表面积最小的长方体的长、宽、高.返回 上页 下页 结束 8. 曲面被平面截成上下两部分, 求在上半部分曲面上的点到平面的最大距离.解法1. 问题是求在条件的最大值 .用拉格朗日乘数法 . 拉氏函数有两种构造法:法1法2 考虑到曲面在平面上方, 设返回 上页 下页 结束 8. 曲面被平面截成上下两部分, 求在上半部分曲面上的点到平面的最大距离 .解法2. 因曲面在最值点处的切平面平行于已知平面,故有因最值存在 , 切点只此一个, 故返回 上页 下页 结束 备用题 : 求函数在区域解: 令上的最大值 .则有当是D的内点时, 必有代入上式有即在D内部有唯一驻点函数 u 在有界闭集 D 上连续, 故必存在最大值.返回 上页 下页 结束 比较驻点与边界上的函数值驻点处 :边界 x= 0 :边界 y= 0 :边界故函数在 D 上的最大值点为最大值为
