《数图》第8章 图像重建

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1、数字图像处理基础Digital Image Processing第八章 图像重建1Digital Image Processing图像重建图像的三维重建：在不损坏物体的前提下，借助于透视和计算机技术获取物体内部某种参数、由该参数建立三维“图像”的过程。多直线的投影图 物体的横截面（断层）的“图像”数据 断层图像叠加 三维“图像”横截面“图像”并不代表亮度（和普通图像不同），代表具体物体的某一物理数据：如物体的密度、物体对射线的衰减系数等2Digital Image Processing成像方式：透射断层成像、发射断层成像、反射断层成像。成像种类：X射线成像、超声成像、微波成像、核磁共振成像、

2、激光共焦成像、医疗应用：计算机断层成像（CT，Computed Tomography），磁共振成像（MRI，Magnetic Resonance Imaging），正电子发射成像（PET，Positron Emission Tomography）。主要内容：投影重建的主要类型和投影定理；傅立叶反变换的投影重建，卷积的逆投影的重建，级数展开的重建；CT图像重建技术。3Digital Image Processing第1节 投影重建基础 要了解物体内部的结构，有损检测分析，可以将物体切成非常薄的薄片来进行分析。无损检测分析，如生理学组织是不可以或不可能进行切片。可采用X射线、 射线、超声波等投影来

3、获取组织的平面切片图像。投影射线成像的基本原理：人体组织对X射线的衰减作用，衰减是因为人体组织对射线吸收和散射的结果，人体内的不同结构（如脂肪、肌肉、骨骼等）对X射线吸收能力有所不同。当X射线照射到人体组织时，通过探测、接收透射线或反射线，生成生物组织的平面切片图像，从而判断体内的密度分布情况。4Digital Image Processing投影重建：从一个物体的多条直线上的投影图重建二维图像的过程。具体问题：投影重建的理论保证、用什么射线、如何检测、射线如何排列、入射线图8.1 人体组织对射线的吸收散射线散射线透射线散射线人体组织5Digital Image Processing1.投影重

4、建方式 例：对于三维函数f(x,y,z)：看成是一个密度未知的铁块，内部无法进入，将此铁块切成若干非常薄的铁片，求出其中每一薄片的密度，则可知道全部铁块的密度。求三维函数值的问题转化为求二维函数值的问题，把二维函数当作一幅图像来对待，求函数值就是图像的投影重建，重建若干二维图像，堆叠成三维函数（图像）。这一套方法称之为三维图像重建。6Digital Image Processing（1）透射断层重建透射（transmission）投影成像：当位于物体外部的射线穿过物体后在检测器上得到的值实际上就叫做射线的投影。等强度的射线透过不同密度分布物体时得到的投影值不同，投影值相同不能判断物体的密度相同

5、。因此，投影重建时需要一系列投影 才能重建二维图像。入射线62 2 2入射线61 4 1入射线少透射高密度体多透射入射线 低密度体图8.2 等强度射线穿透不同组织的情况7Digital Image Processing（2）发射断层重建发射（emission）断层成像系统：发射源在物体内部，从物体外检测放射量。检测到物体内部组织的结构分布。正电子发射成像（PET，Positron Emission Tomography）放射源衰减时放出正电子的放射性离子，正电子与负电子相撞湮灭而产生一对相背运动的光子。相对放置的两个检测器接收到这两个光子就可以确定一条射线。检测器围绕物体呈环形分布，相对的两个

6、检测器构成一组检测器，检测由一对正负电子产生的光子，正电子负电子光 子图8.3 PET成像系统示意图检测器检测器光 子8Digital Image Processing（3）反射断层重建反射（reflection）断层成像：射线入射到物体上，检测经物体反射（散射）后的信号来重建图像。入射波信号：例如单色平面波，直接发射到物体上；反射波信号：被接收器接收到，代表物体的特征参数（声速、密度等）。应用：医用超声成像，获取人体软组织的反射超声强度；如合成孔径雷达成像，获取回波强度。9Digital Image Processing（4）磁共振成像磁共振成像（MRI）：氢核中随机排列的具有一定动量和旋量

7、的质子在磁场中旋转，当适当强度和频率的共振场信号作用于物体时，质子吸收能量并转向，共振场信号除去，质子吸收的能量将以相同频率的电磁波形式被释放，根据检测到的信号强度就可以确定某一方向上物体质子的密度。10Digital Image Processing图8.4 二维函数f(x,y)在x,y坐标轴上投影f(x,y)yxzgx(y)gy(x)2.投影定理 函数f(x,y)在x轴上（沿y方向）的投影gy(x) ：(8.1)函数f(x,y)在y轴上（沿x方向）的投影gx(y)： (8.2)11Digital Image Processing设f(x,y)的傅立叶变换为F(u,v)：(8.3)(8.4)

8、上式表明：gy(x)是F(u,0)的傅立叶反变换。gx(y)是F(0,v)的傅立叶反变换。“切片”定理：函数f(x,y)在x轴上投影的傅立叶变换等于f(x,y)的傅立叶变换在 (u,v)平面上沿u轴（v=0）平面上的“切片” 。图8.5 gy(x)的傅立叶变换v uF(u,0)=G(u )F(u,v)（8.1）12Digital Image Processing将投影原理推广到一般情况：x-o-y坐标围绕原点旋转度后标记为-o-t 坐标，直线与x轴的夹角为。函数f(x,y)沿着t方向在轴上的投影为：(8.6)上式对进行一维傅立叶变换：(8.7)R是傅立叶频率分量。 图8.6 坐标旋转关系tyx

9、f(x,y)(8.5)把式（8.6）代入上式(8.8)13Digital Image Processing用（8.5）的坐标变换关系式将上式右边的变量和t 统一成x和y，多元函数积分中变量代换的Jacob行列式：(8.9)将J 代入（8.8）式，完成变量代换，(8.10)将R看作二维频率域u-o-v中和u夹角为的一直线，u=Rcos，v=Rsin ：(8.11)可见：f(x,y)在一条与x轴夹角为的直线上的投影的傅立叶变换等于其二维傅立叶变换在与u 轴成方向上的切片。14Digital Image Processing图像重建技术：如投影变换G(R,)中对所有的R和值都已知，则图像的二维傅立叶

10、变换F(u,v)可以完全确定，对F(u,v)进行二维傅立叶反变换，就可以得到f(x,y)。根据2D-DFT的旋转特性：f(x,y)在x轴上投影的傅立叶变换，当投影旋转度以后，则其傅立叶变换也相应地旋转度。图8.7 投影定理示意图uvG(R,)F(u,v)| F(u,v)R15Digital Image Processing第2节 傅立叶反变换图像重建 1.基本原理 根据投影定理，当切片趋向无穷多，可获F(u,v)值，进行IFT重建图像f(x,y)。(8.12)用极坐标表示(8.13)如果知道所有R和的投影变换值G(R,)，则变换域的二维函数将全部确定，取傅立叶反变换就可以得到图像函数。u=Rc

11、os v=Rsin16Digital Image Processing利用傅立叶变换的共轭对称性(8.14)(8.15)傅立叶投影重建图像：(8.16)连续函数的傅立叶反变换图像重建步骤：计算未知 在某一角度的投影 ，求出 的一维傅立叶变换 ，获得 ，计算 对各个不同的角度的积分，得到 。更换积分限17Digital Image Processing2.离散化处理 实际图像重建中的离散化：图8.8 傅立叶反变换的离散化设置xynv0dD yx(8.7)(8.15)(8.16)(8.17)(8.18)(8.19)18Digital Image Processing离散图像的傅立叶反变换法重建步骤

12、如下：1）由投影函数g (md,n)，根据式（8.17）对N个不同n方向上投影进行一维傅立叶变换，得到N个频域函数G (kR, n)的值。2）对不同角度的极坐标频域函数|k R| G (kR, n ) ，用（8.18）式计算其一维傅立叶反变换，得到N个f1(px,qy,n)值。3）利用（8.19）式对N个f1(px,qy,n)的值求和，得到离散重建图像f (px,qy)。19Digital Image Processing第3节 卷积逆投影图像重建 傅立叶反变换重建法：优点：计算量比较小，当数据量和图像尺寸大时比较合适。 不利：需要进行坐标变换、二维插值处理，重建精度受会到影响。卷积逆投影重建

13、法：与傅立叶变换反重建法相似投影切片定理为基础；重建算法直接在时域进行；在图像噪声较小的情况下，能快速重建出准确清晰的图像；在X射线CT成像中，卷积逆滤波重建法用得较多。20Digital Image Processing1.重建过程 R为频域极轴变量，为极角变量。实际投影数据g(,)总是范围有限的，当的取样间隔为d 时，在频率R的变化范围将是 （8.14)(8.22)(8.21)(8.20)21Digital Image Processing(8.23)（8.15）(8.24)对某个：重建图像为 对所有的积分：22Digital Image Processingf1 (.)为投影数据 g(,

14、)与脉冲响应为h()的滤波器的卷积。h() 为卷积函数，h() 的傅立叶变换为H(R)=|R| 重建滤波器。卷积逆投影重建的关键：设计重建滤波器。1/2dvu-1/2d|R|H (R)图8.9 重建滤波器的频率响应(8.23)(8.21)h()是频率响应为 H(R)=|R| 的滤波器23Digital Image Processing2.重建滤波器（8.28）(8.21)求积分(8.25)(8.26)FT(8.23)（8.27）离散化第4节 代数法图像重建傅立叶变换法重建，滤波器逆投影重建：基于投影定理，在变换域内处理，在连续域内进行解析处理，引入离散化和有限近似。代数重建技术:离散图像的重建

15、方法（级数展开法）逐次逼近的叠代算法。25Digital Image Processing1.代数法基本原理将目标划分为许多大小相等的体积单元。图8.10 扫描重建栅格发射源检测器 检测结果yi第i条射线x1xn xn+1xN 物体 栅 格第j个方格(放大)26Digital Image Processing代数法重建图像的过程便归结于计算每个体单元的衰减系数。aij表示第j个方格对沿第i条射线所做的贡献的权值，yi表示沿第i条射线方向的总吸收的值：（8.29）M为扫描该物体的总射线条数，N=nn为小方格的总数，xj为欲求的第j个方格的吸收系数，可用第i条射线在第j个小格上截取的面积表示aij 。（8.30）Y是射线经过目标衰减后所测量的值构成的M1维矢量，X是N1维由目标栅格所构成的未知的图像（吸收系数）矢量，A为MN大小的稀疏的投影矩阵，经典求解困难，常采用迭代方法求解。 矩阵表示Y = A X27Digital Image Processing2.叠代算法（8.29）是关于xj (j=1,2,N)的M个方程，在N维空间上表示为M个超平面。如果所有M个超平面相交于一点，交点即为方