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1、第六章第六章 二次型二次型6.1 二次型及其矩阵表示6.2 化二次型为标准形6.3 正定二次型与正定矩阵在解析几何中 为了便于研究二次曲线 ax2bxycy21 的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形 mx2ny21化标准形的过程就是通过变量的线性变换化简一个 二次齐次多项式 使它只含有平方项 6.1 二次型及其矩阵表示或者，为了便于研究二次曲面的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换把方程化为标准形（下面拓展到n元二次齐次函数）称为二次型.一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）例如都为二次型；为二次型的标准形
2、.如果二次型的标准形形如f y12y22 yp2yp12 yp+q2 p+qn则这种标准形称为二次型的规范形 其中 称为二次型的系数， 满足二、二次型的二、二次型的矩阵表示方法表示方法若将含有 n 个变量 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式写成如下形式我们可导出二次型的二次型的矩阵表示方法。表示方法。解例三、二次型的矩阵及秩三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系6.2 化二次型为标准形化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线
3、性变换，将二次型化为标准形一、线性变换一、线性变换为线性变换。称定义：设A和B为两个n阶方阵，如果存在n阶 可逆矩阵C，使得 ，则称A与B合同，或A合同与B。记为并称由A到 的变换为合同变换，称 C为合同变换矩阵。二、矩阵的合同：注意：矩阵间的合同关系与相似关系是不同的。（相似等价） （合同等价）证明即 为对称矩阵.由此可知 经可逆变换 xCy后 二次型f 的矩阵由A变为与A合同的矩阵 CTAC（对称） 且二次型的秩不变 进一步，若 CTAC= -对角阵，二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形?问题一定理 任何一个给定的二次型都可经过非退化线性变换化为标准形(或规范型)。换句话说，对 n
4、阶对称阵 A，总存在 n 阶可逆阵 C，使得其中，r 为 A 的秩，拉格朗日(Lagrange)配方法。合同变换(行列对称初等变换)法；常见的方法正交变换法。问题二如何化二次型为标准形?针对二次型针对二次型所对应的对称阵三、化二次型为标准形的方法（一）（一）拉格朗日配方法拉格朗日配方法1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直 到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得 到标准形。 拉格朗日配方法的步骤例1解含有平方项去掉配方后多出来的项回代求解所用变换矩阵为2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，
5、然后再按1中方 法配方.解例2由于所给二次型中无平方项，所以C1再配方，得回代求解C2所用变换矩阵为所做非退化线性变换为（二）（二） 合同变换法合同变换法化二次型为标准形( (行变换与列变换对称，主对角以外元素化为零行变换与列变换对称，主对角以外元素化为零) )已知矩阵间的合同关系亦为等价关系故可用初 等变换来求与一个对称矩阵A合同的对角阵。例3 用行列对称初等变换法化二次型为标准形。解：行变换与列变换对称行变换与列变换对称对称对称C故（三）、用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变(3) 令即其中xy例如 方程 所表示的是椭圆曲线。一、正交矩阵定义设
6、A 为 n 阶实矩阵，若 A 满足则称 A 为正交矩阵。此时显然有例如设则有故 A 为正交矩阵。正交矩阵的性质：（2）若A为正交矩阵，则证明： 因为A是正交矩阵，所以有(1) 若A是正交矩阵，则 及 均为正交矩阵(3) 若A、B是n阶正交阵，则AB 为正交阵证明：所以，AB为n阶方阵，因为A、B是n阶矩阵，且由A、B是正交矩阵，有于是所以AB 为正交矩阵.定理为正交矩阵的充要条件是 的列（行）向量都是标准正交向量组证明例1 设 问x为何值时,A为正交矩阵解：因为若A为正交矩阵，令例2 判别下列矩阵是否为正交阵解所以矩阵(1)不是正交矩阵考察矩阵(1)的第一列和第二列，由于所以它是正交矩阵由于2
7、.正交变换保持向量的长度不变 证明性质 1.正交变换保持内积不变。证明定义 若C为正交阵，则线性变换 y=Cx 称为正交变换二、正交变换如何选取恰当的可逆变换矩阵C使已知结论：总有正交矩阵阵对任意的实对称矩,使得,CAn阶实对称矩阵必能正交合同对角化。（1）实对称矩阵的特征值为实数.证： A为实对称矩阵,从而有是A的任一特征值，则存在两边取共轭转置,得用X右乘上式得又一方面即又，则是实数。证：因为所以由 时，得 ,即 正交.（2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量是正交的.即几何重数等于代数重数., （4）定理1素的对角矩阵个特征值为对角元的是以其中使则必有正交矩阵阶实对称阵为设nAAC
8、CCnA=-n阶实对称矩阵必能正交相似对角化。（这里k可以为零）用正交变换化二次型为标准形的具体步骤化为标准型，并指出 表示何种二次曲面.例1 求一正交变换，将二次型正交变换不改变曲线或曲面的图形形状。正交变换的特点：（1）在正交变换X=CY下，向量的内积不变；（2）正交变换X=CY把标准正交基变成标准正交基。中的曲面方程可用二次型表示标准正交基是A的标准正交特征向量， 给出了曲面的主轴方向。主轴定理的几何说明：空间解析几何中的主轴化问题。1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例2从而得特征值 2求特征向量3将特征向量正交化得正交向量组得基础解系代入将4将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为即主轴方向是特征向量 给出的方向。小结小结1. 实二次型的化简问题，在理论和实际中 经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一 一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请 同学们注意这种研究问题的思想方法2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换拉格朗日配方法与合同变换法
