非线性系统分析

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1、第7章 非线性系统的分析7.1 7.1 非线性系统基本概念非线性系统基本概念7.2 7.2 二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性和非线性系统的相平面分析7.3 7.3 线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹7.4 7.4 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析7.5 7.5 描述函数法描述函数法7.7.6 6 分析分析非线性系统的谐波平衡分析法非线性系统的谐波平衡分析法7.7.7 7 非线性系统的非线性系统的计算机仿真计算机仿真小小 结结Nonlinear Science 研究什么？n客观世界是非线性的、非平衡的复杂世界nPrigogine：“自然用一千种声音说话，我们刚开始去听” 。n自

2、古希腊：人们笃信和向往世界的稳定性、规则性、和谐性、有序性、因果性、 本质简单性、周期性、对称性、n现在：人们越来越认识到：我们所处的大千世界是以 不稳定动力系统为特征的，充满了：非平衡、非线性、 非稳定、非均匀、非结构、非确定、非可积、非可逆、非 晶态、非规则、非连续、非光滑、非周期、非对称、非标 准分析、非von Neumann计算机、 人类理智夸入“想入非非”时代非线性科学的四个发展阶段非线性科学的四个发展阶段n40年代：组织理论：控制论，信息论，一般系统论n60年代：自组织理论（系统如何从无序有序）： Catastrophic Theory （Thom, Arnold)，超循环 论（E

3、igen）， Dissipative Structure（Prigogine）， Synergetics （Haken）n70年代：非线性科学（系统如何从有序 混沌和无序 更高层次的 有序） Chaotic Dynamics（Feigenbaum， Ford， Kadanoff）， Integrable SystemSoliton Theory（Scott， 扎哈罗夫）， Fractals （Mandelbrot）n90年代：复杂性科学（复杂性的定义及量度，复 杂系统的行为及模型）Neural Network （ Hoppfield）， Cellular Automaton （Wolfram）

4、，人工生命什么是非线性系统？什么是非线性系统？n平衡与非平衡：物理概念 线性与非线性：数学概念n线性系统：整体的行为或性质是部分之和 1 复杂性不因叠加产生 2 只要知道初始条件，即可了解过去，预测未来n非线性系统： 叠加原理失效整体的行为和性质各部分的行为与性质（本质区别 ） 系统行为对初始条件极端敏感依赖 Chaos 长期行为不可预测，决定论性混沌、内在随机性非线性系统：只要系统中包含一个或一个以 上具有非线性静特性的元件，即称为非线性 系统(P267)。线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出具有叠加性和均匀性由线性元件组成，输入输出具有叠加性和均匀性. . 非线性控制系统： 系统中有非

5、线性元件，输入输出不具有叠加性和均匀性系统中有非线性元件，输入输出不具有叠加性和均匀性. . 非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性. .本质非线性： 用小偏差线性化方法不能解决的非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性. .例：对于一由非线性微分方程 x = - x( 1 x )描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和x2=1。将上式改写为非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固 有结构和参数，而且与系统的初始条件以及外 加输入有关系。设t0时，系统的初态为x0。积分上式可得x(t)t10图1 一阶非线性系统 系统的稳

6、定性除与结构参数有关外，还与起始偏 差的大小有关 。统的响应形式与输入信号的大小和初始条件有关。在没有外界周期变化信号输入时，非线性系统完全可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程。(自激振荡P272) 非线性系统的主要特征 ：1. 研究非线性系统的意义1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非 线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时 所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系 统理论无法解释非线性因素所产生的影响.2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良影响. 2. 研究非线性系统的方法1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线 性系统的方法。通过绘制控制系统相

7、轨迹，达到分 析非线性系统特性的方法。2）描述函数法是近似分析法,受线性系统频率法 启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它 是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性 系统分析中的推广。3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度 对非线性微分方程的一种数值解法。非线性系统与线性系统的区别，相平面的基本概念，相轨迹，极限环，描述函数的基本思想 ，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线 性系统的自持振荡，非线性系统的计算机仿真。 知 识 要 点静态非线性特性中，死区特性、饱和特性 、继电特性、间隙特性是最常见的，也最简单 。一、数学描述一个单输入单输出静态非线性特性的数学 描述为：7.

8、1 7.1 非线性系统基本概念非线性系统基本概念二 非线性特性分类：(P269)1、死区特性 常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成 的。实际的死区特性一般如图7-1中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-1中的三段直线（ 实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区 特性的的数学描述为： 图 71 死区特性(7-2)死区特性可能给控制系统带来不利影响，它会使 控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能 给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区 以提高抗干扰能力。2、饱和特性可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因 为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种 饱和特性

9、。实际的饱和特性一般如图7-2中的点划 线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-2 中 的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。 理 想饱和特性的数学描述为： (7-2)图7-2 饱和特性继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性, 继 电特性有双位特性如图7-3（a）和（b），三 位特性如图7-3（c）等，图7-3（b）（c）的 继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其 它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之 为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继 电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例 如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统 。 3、继

10、电特性图7-3 几种典型的继电特性图7-3（a）所示继电特性的数学描述为：图（c）所示继电特性的数学描述为： 图（b）所示继电特性的数学描述 由读者自行导出。 传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为： 4、间隙特性图7-4 间隙特性返回式中，

11、为常数，它等于主动轮改变方向时的值。 相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先 提出的，本来它是一种求解二元一阶非线性微分 方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为 相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨 迹。这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶 非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法 ，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本 属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的 作用。 7.2 7.2 二阶系统的相平面分析法二阶系统的相平面分析法 因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所 以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力。但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，

12、 就得到n维状态空间以后再专门介绍。下 面讨论相平面和相轨迹的基本概念。 考察二阶非线性时不变微分方程:7.2.1 相平面的基本概念为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成 二元一阶微分方程组: 微分方程组(7-6)有两个变量: x可以 看作广义位移， 可以看作广义速度。一般，直接对微分方程（7-5）求解，可 以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t) 与t的关系图时间响应曲线。 如果我们对微分方程组(7-6)求解，可以得到解 x(t)和 ,如果我们取 x 和 为坐标，以时间 t 为 参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，此平面即为相平面。当 t 变化时，这一点在 平面上

13、绘出的曲线，表征了系统的 运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。 例7-1 考虑二阶系统：将它写成微分方程组：两式相除得到：即：两边积分得: 在相平面上绘出的相轨迹如图7-5(a)所示椭圆 ，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环 套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布 满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动 态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹 场中的2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图 （b）。图7-5 例7-1的相轨迹与时间响应7.2.2 相轨迹图绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类 ：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨

14、迹的素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊 线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上 缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛 应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如 等倾线法、法等。这些手工作图法要绘出有一定精 度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价 值。第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以 及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。 相轨迹的基本特征有：1）奇点 对于二阶系统，相平面上满足 且 的点叫做奇点，记作 。对照方程（7-6）知，奇点座标 是代数方程 的解，显然奇点一定在轴上。对于二阶系统， 和 就是速度

15、和加速度均为零，也就意味着不再运动，所以，奇点又称平衡点。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不稳定奇点，稍后将讨论。 2）相轨迹切线斜率由方程（7-6）知，相轨迹上任一点的切线斜率为：某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向 ，前面提到的等倾线就是相轨迹场上所有切 线斜率等于某一常数的点的连线。 3）相轨迹图形特征 如果微分方程（7-6）满足解的存在性和唯一 性条件，那么，相轨迹（场）图一定有如下基 本特征：1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（ 解的存在性和唯一性）；2)相轨迹必垂直通过横轴。3)横轴上方的相轨迹从左向右运动，横轴 下方的相轨迹从右向左运动。例7-2 作出下列二阶系统的相轨迹 将它写成微分方程组 ：容易求出奇点为（0，0） 。图7-6 例7-2的根轨迹ABCDO对应初始条件为EFO对应初始条件为。 从相轨迹图可以直观地看到 ：所有的相轨迹都最终收敛 到奇点（0，0），这说明系 统是渐近稳定的；可以证明 ，每一条相轨迹都是向心螺 旋线，这说明系统的运动过 程是衰减振荡的。 返回研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性 的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分 段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹 连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的 相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹