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1、三、四章内容提要典型例题分析思考题与练习题数值分析典型例题 II2/16一、解线性方程组直接法=顺序消元法、列主元法、追赶法矩阵的直接分解、对称矩阵 的LU分解二、向量和矩阵的范数向量范数、算子范数、三种 矩阵范数、矩阵的条件数三、解线性方程组迭代法Jacobi迭代、Seidel迭代、SOR迭代、迭代收敛性、 初等变分原理、最速下降法、共轭梯度法*定理3.1 约化主元ak+1,k+1(k) 0 (k=0,1,n-1)的 充分必要条件是 矩阵A的各阶顺序主子式不为零.3/16消元法使用的条件定理4.2 :设x*为方程组 Ax=b 的解若|B| 1 )L1=1,U1 = a11求的 LU 分解.E
2、x4. 设 n 阶矩阵 A 是严格主对角占优矩阵。高斯消 元法一步后,A约化为 证明 A2 也是严格主对角占优矩阵。 Ex5. 设A=(aij)nn 为可逆下三角矩阵，证明A- 1 仍为下三角矩阵。 证明: 设当i j 时, aij 的代数余子式 Aij = 0,故A 的伴随矩阵的右上角元素均为零,所以A的逆矩阵仍是下三角阵Jacobi 迭代法的迭代矩阵8/16Gauss-Seidel迭代法的矩阵: BG-S= (D L)-1UAx = b, 将矩阵分裂: A = D U LBJ = D-1(U+L)特征多项式与特征方程: | I D-1(U+L)| = |D-1|D (U+L) | | D
3、(U+L) | = 0特征多项式与特征方程:|I (D L)-1U| = |(D L )-1|(D L ) U | |(D L ) U | = 09/16Ex6. 若A是严格主对角占优矩阵，求证解方程组 AX=b的高斯-赛德尔迭代法收敛。 证：高斯-赛德尔迭代矩阵为(D L )-1U,该矩阵的特 征方程为 |(D L ) U | = 0行列式对应的矩阵为 当| | 1时，利用A矩阵的主对角占优性质，得 故C()也是严格主对角占优矩阵。由于严格主对角占 优矩阵的行列式不为零，故不是特征方程 C() = |(D L ) U | = 0的根。所以当A是严格主对角占优矩阵时,(D L )-1U的 特征
4、值必然满足：| | 1，从而高斯-赛德尔迭代矩阵 谱半径小于1，迭代法收敛。 10/1611/16Ex7.设A是一个可逆矩阵，矩阵序列满足Xk+1=Xk(2I A Xk )，（k =0，1，2，） 证明:当 时证明：由Xk+1=Xk(2I A Xk )，得I AXk+1 = I A Xk(2I A Xk )= (I A Xk )2 于是I AXk =(I A Xk -1)2=(I A Xk -2)22 = 12/16Ex8 设 AR nn 为对称正定矩阵,定义| x |A =证明 | x |A 是 R n 上的一种向量范数。13/16Ex 9. 统计三对角方程组法高斯消元法的工作量。Ex10
5、.设 A=(aij)nn为可逆上三角矩阵，证明A-1 仍为上三角矩阵。 Ex11 . 求上三角矩阵的逆阵Ex12 :求矩阵的 2-范数, 以及2-范数意义的条件数14/16Ex13 .有方程组Ax = b,其中A为对称正定阵,且有 迭代公式讨论使迭代序列收敛的 的取值范围.15/16Ex14 证明 n 阶矩阵的特征值为( k = 1,2, n ) Ex15 求n阶矩阵的特征值(1) A1 = B ( I + R + R2 + )；(2)任意给定n阶矩阵X0,由迭代格式Xk+1 = Xk R + B ( k = 0，1，2， ) 产生的矩阵序列 Xk 收敛到矩阵A-1；(3)对矩阵序列 Xk ，有误差估计式16/16ex16:设A是n阶可逆矩阵,有A的一个近似逆B,令 R=I AB如果 | R | q 1 ，试证明
