线性变换的矩阵表示式

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1、 55 线性变换的矩阵表示式线性变换的矩阵表示式上节例 10 中，关系式( )T xAx()nxR简单明了地表示出nR中的一个线性变换. 我们自然希望nR中任何一个线性变换都能用这样的关系式来表示. 为此，考虑到nnAeAe,11（nee,1为单位坐标向量），即niAeii, 2 , 1，可见如果线性变换T有关系式 AxxT，那么矩阵A应以 ieT为列向量. 反之，如果一贯个线性变换T使 nieTii, 2 , 1，那么T必有关系式11 12 2( ),()nnnT xTeexT x ex ex e1122( )()()nnxT ex T ex T e11( ), ()(,)nnT eT ex

2、xAx总之，nR中任何线性变换T，都能用关系式 nRxAxxT表示，其中1( ( ), ()nAT eT e.把上面的讨论推广到一般的线性空间，我们有定义定义 7 设设T是线性空间是线性空间nV中的线性变换，在中的线性变换，在nV中取定一个基中取定一个基n,1，如果这个基在变换，如果这个基在变换T下的象（用这个基线性表示）为下的象（用这个基线性表示）为11112121212122221122(),(),(),nnnnnnnnnnTaaaTaaaTaaa 记记 nnTTT,11，上式可表示为，上式可表示为11(,)(,)nnTA， （5）其中其中1111nnnnaaAaa ，那么，那么，A就称为

3、线性变换就称为线性变换T在基在基n,1下的矩阵下的矩阵 .显然，矩阵A由基的象 nTT,1唯一确定.如果给出一个矩阵A作为线性变换T在基n,1下的矩阵，也就是给出了这个基在变换T下的象，那么根据变换T保持线性关系的特性，我们来推导变换T必须满足的关系式：nV中的任意元素记为iniix 1，有11()()nniiii iiTxxT12 1( (), ()nnxxTTx 12 1(,)nnxxAx ，即 1122 11(,)(,)nnnnxx xxTAxx （6）这个关系式唯一地确定一个变换T，可以验证所确定的变换T是以A为矩阵的线性变换.总之。以A为矩阵的线性变换T由关系式（6）唯一确定.定义

4、7 和上面一段讨论表明，在nV中取定一个基以后，由线性变换T可唯一确定一个矩阵A，由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T，这样，在线性变换与矩阵之间就有一一对应的关系.由关系式（6），可见与 T在基n,1下的坐标分别为1122, ( ),nnxxxxTAxx 即按坐标表示，有 AT.例 11 在3xP中，取基32 1234,1,pxpxpx p求微分运算D的矩阵 .解 2 1123421234312341123430300,20020,10001,00000,DpxppppDpxppppDpppppDppppp 所以D在这组基下的矩阵为0000 3000 0200 0010A .例 12 在

5、3R中，T表示将向量投影到xOy平面的线性变换，即 ()T xiyjzkxiyj，（1） 取基为kji,，求T的矩阵；（2） 取基为kjiji,，求T的矩阵 .解 （1） ,0,TiiTjjTk 即 100( , , )( , , ) 010000T i j ki j k （2） ,TiTjTij 即 101,011000T 由上例可见，同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，一般地，我们有定理定理 3 设线性空间设线性空间nV中取定两个基中取定两个基: :nn,11,由基由基n,1到基到基n,1的过度矩阵为的过度矩阵为P，nV中的线性变换中的线性变换T在这两个基下在这两个基下的矩阵依次为的矩

6、阵依次为A和和B，那么，那么1Bp Ap.证 按定理的假设，有11(,)(,) ,nnp p可逆；及 11(,)(,)nnTA，11(,)(,)nnTB，于是 111(,)(,)(,)nnnBTTp11(,)(,)nnTpAp1 1(,)np Ap，因为n,1线性无关，所以1Bp Ap证毕这定理表明B与A相似，且两个基之间的过度矩阵P就是相似变换矩阵.例 13 设2V中的线性变换T在基21,下的矩阵为11122122aaAaa，求T在基21,下的矩阵.解 : 211201(,)(,),10 即 0110P ，求得 101,10P于是T在基21,下的矩阵为111221222221212211121211010101101010aaaaaaBaaaaaa定义定义 8 线性变换线性变换T的象空间的象空间 nVT的维数，称为线性变换的维数，称为线性变换T的秩的秩.显然，若A是T的矩阵，则T的秩就是 AR.,若T的秩r,则T的核rS的维数为nr.“线性变换与矩阵的一一对应”的最佳匹配结果