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1、1第一章第一章 随机变量随机变量 习题一习题一主要知识点：事件的互不相容（互斥）主要知识点：事件的互不相容（互斥） 、独立的概念；加法公式、独立的概念；加法公式、 乘法公式；乘法公式； 全概率公式及逆概率公式及其应用全概率公式及逆概率公式及其应用典型习题：同步练习一：典型习题：同步练习一：2 2、1212、1414、2121、2222、2929、3030、31312 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系系(1)(1)与与 互不相容互不相容 (2)(2)与与 对对|ax|ax20x20x立事件立事件(3)(3)与与
2、互不相容互不相容 (4)(4)与与 20x18x20x22x相容事件相容事件(5)20(5)20 个产品全是合格品与个产品全是合格品与 2020 个产品中只有一个废品个产品中只有一个废品 互不互不相容相容(6)20(6)20 个产品全是合格品与个产品全是合格品与 2020 个产品中至少有一个废品个产品中至少有一个废品 对立对立事件事件解解: : 互不相容互不相容: :; ;对立事件对立事件 : : 且且ABAB) 1 (BA12.(1)12.(1)设事件设事件 A A , , B B 的概率分别为的概率分别为 与与 ，且，且 A A 与与 B B 互斥，则互斥，则 51 41= = . .)(
3、BAP51A,BA,B 互拆互拆, ,则则, , ,所以所以ABABA1()( )5p ABP A(2).(2).一个盒中有一个盒中有 8 8 只红球，只红球，3 3 只白球，只白球，9 9 只蓝球只蓝球 ，如果随机地无放，如果随机地无放回地摸回地摸 3 3 只球，则取到的只球，则取到的 3 3只都是红球的事件的概率等于只都是红球的事件的概率等于 _14 285 (3)(3) 一一 袋中有袋中有 4 4 只白球，只白球，2 2 只黑球，另一只袋中有只黑球，另一只袋中有 3 3 只白球和只白球和 5 5 只只黑球，如果黑球，如果2从每只袋中各摸一只球从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一
4、只是黑球的，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概率等于事件的概率等于_13 241111 4523 11 68CCCCCC(4)(4) . .设设 A1A1 , , A2A2 , , A3A3 是随机试验是随机试验 E E 的三个相互独立的事件，的三个相互独立的事件，已知已知 P(A1)P(A1) = = , , P(A2)P(A2) = = ，P(A3)P(A3) = = ，则，则 A1A1 , , A2A2 , , A3A3 至少有一个至少有一个 发生的概率是发生的概率是 1-(1-1-(1- )(1-)(1- )(1)(1 ) ) . . 123123123()1()1() () (
5、)P AAAP A A AP A P A P A (5)(5) 一个盒中有一个盒中有 8 8 只红球，只红球，3 3 只白球，只白球，9 9 只蓝球，如果随机地只蓝球，如果随机地无放回地摸无放回地摸 3 3 只球，只球， 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _34 57331221 898989 3 203457CCC CC CC1414、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为 0.90.9，乙击中的概，乙击中的概率为率为 0.80.8，两射手，两射手同时击中的概率为同时击中的概率为 0.720.72，二人各击中
6、一枪，只要有一人击中即，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为认为“中中”的，的， 求求“中中”的概率的概率. .解解: :“甲中甲中”，“乙中乙中”AB98. 072. 08 . 09 . 0)()()()(ABPBPAPBAP2121、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%70%，乙厂占，乙厂占 30%30%，甲厂产，甲厂产品的合格率为品的合格率为 95%95%，乙厂的合格率是乙厂的合格率是 80%80%若用事件若用事件、分别表示甲、乙两厂产分别表示甲、乙两厂产AA品，品，B B 表示合格品表示合格品试写出有关事件的概率试写出有关事件的概率. . (1)(1)
7、 70%70%(2)(2) 30%30% (3)(3) 95%95%)(AP)(AP)|(ABP(4)(4) 80%80% (5)(5) 5%5% (6)(6) )|(ABP)|(ABP)|(ABP320%20% 2222、袋中有、袋中有 1010 个球，个球，9 9 个是白球，个是白球，1 1 个是红球，个是红球，1010 个人依次从袋中个人依次从袋中各取一球，每人各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一，最后一人取得红球的概人取得红球的概率各是多少？率各是多少？解解: :设设第第 i i 个人取得红球的事件个人取得红球的事件,
8、 ,iA),(1021 i则则为第为第 i i 个人取得白球的事件，个人取得白球的事件，iA显然显然 , , 101)(1AP)(212121212AAAAAAAAA101 91 109)|()()()(121212AAPAPAAPAP同理同理101 !10! 9)()(1092110AAAAPAP2929、设有甲、乙两袋，甲袋装有、设有甲、乙两袋，甲袋装有 n n 只白球，只白球，m m 只红球；乙袋中装有只红球；乙袋中装有N N 只白球，只白球，M M 只红只红球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白只球，问
9、取到白球的概率是多少？球的概率是多少？解：设解：设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，1H表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，2H1212,HHHH 表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事B件，件，所求事件所求事件 21BHBHB 由全概率公式：由全概率公式：)|()()|()()(2211HBPHPHBPHPBP易知：易知：mnmHPmnnHP)(,)(211)|(,11)|(21MNNHBPMNNHBP4于是于是111)(
10、MNNmnmMNNmnnBP3030、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例全厂产品的比例 分别为分别为 25%,35%,40%25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是；并且它们的废品率分别是 5%,4%,2%5%,4%,2%(1)(1)今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？今从该厂产品中任取一件问是废品的概率是多少？(2)(2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？间生产的？解：设解：设“所取出的一件产品是废品所取出的一件产
11、品是废品” ，“产品系甲车间产品系甲车间A1B生产生产” ，“产品系乙车间生产产品系乙车间生产” ， “产品系丙车间产品系丙车间2B3B生产生产”已知已知, , ,25. 0)(1BP35. 0)(2BP4 . 0)(3BP, , ,05. 0)|(1BAP04. 0)|(2BAP02. 0)|(3BAP(1)(1)由全概率公式：由全概率公式： 310345. 002. 04 . 004. 035. 005. 025. 0)()|()(iiiBPBAPAP(2)(2)由贝叶斯公式：由贝叶斯公式：3623. 00345. 005. 025. 0)()()|()|(11 1APBPBAPABP40
12、58. 00345. 004. 035. 0)()()|()|(22 2APBPBAPABP2319. 00345. 04 . 002. 0)()()|()|(33 3APBPBAPABP所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的. .3131、如图、如图 1,2,3,4,51,2,3,4,5 表示继电器接点假设每一继电器接点闭合的表示继电器接点假设每一继电器接点闭合的概率为概率为，且设，且设p各继电器接点闭合与否相互独立，求各继电器接点闭合与否相互独立，求至至是通路的概率是通路的概率. .LR5解解: : 设设为第为第i i只继电器闭合的事件，只
13、继电器闭合的事件，为有电流从为有电流从L L流向流向R R的事的事iAB件，件，已知已知)5, 2 , 1()(npAPi显然显然 4325315421AAAAAAAAAAB故故)()()()()()(52414325315421AAAAPAAAPAAAPAAPAAPBP)()()()(4352315432415321AAAAPAAAAPAAAAPAAAAP)()()(352413524142531AAAAAPAAAAAPAAAAAP)()()(543212534143152AAAAAPAAAAAPAAAAAP54322522pppp3232、在、在 1818 盒同类电子元件中有盒同类电子元件
14、中有 5 5 盒是甲厂生产的，盒是甲厂生产的，7 7 盒是乙厂生盒是乙厂生产的，产的，4 4 盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为合格品率依次为 0.80.8，0.70.7，0.60.6， 0.50.5 ， 现任意从某一盒中现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品，任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大哪一个厂生产的可能性最大 ？解解: : A Ai i ( ( i i = = 1,2,3,4):“1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙所取一盒产品属于甲，乙 ，丙，丙 ，丁厂生产，丁厂生产 ” B B ：“ 所取一个元件为不合格品所取一个元件为不合格品 ” 则则 ， ， ， 185 1AP 187 2AP 184 3AP 182 4AP， ， ， 2 . 01ABP3 . 02ABP4 . 03ABP5 . 04ABP由全概率公式由全概率公式 : : = = ii iABPAPBP 4157 18013245LR6由贝叶斯公式由贝叶斯公式 : : 5710,5716,5721,57104321BAPBAPBAPBAP故该盒产品由乙厂生产的可能性最大故该盒产品由乙厂生产的可能性最大3333、甲、乙
