《【优品课件】北师大版高中数学（必修5）2.1《正弦定理与余弦定理》（第2课时） 课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优品课件】北师大版高中数学（必修5）2.1《正弦定理与余弦定理》（第2课时） 课件（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 12 余弦定理 一、余弦定理 1三角形任何一边的平方等于 _，即a2_，b2 _，c2_. 2余弦定理的推论： cosA_，cosB_， cosC_. 3余弦定理与勾股定理 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余 弦定理表达式中令A90，则a2b2c2 ；令B90，则b2a2c2；令C90， 则c2a2b2. (2)在ABC中，若a2b2c2，则A为_角，反之亦 成立 二、余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题 ： 1已知三边，求_. 2已知两边和它们的夹角，求 _和_. 友情提示：理解应用余弦定理应注意以下 四点： (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的 客观规律，是解三
2、角形的重要工具； (2)余弦定理是_的推广，勾股定 理是_的特例； (3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个 量，利用方程的观点，可以_； (4)运用余弦定理时，因为已知三边求 _，或已知两边及夹角求 _，由三角形全等的判定定理知 ，三角形是确定的，所以解也是唯一的 在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的 标准是什么？ 在没有学习余弦定理之前，还会解三角形， 但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了 ，不知是用正弦定理还是用余弦定理这时 要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选 择，还要依靠经验的积累根据解题经验， 已知两边和一边的对角或已知两角及一边时 ，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边 及
3、夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来 解三角形 特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其 原因是三角形中角的范围是(0，)，在此 范围内同一个正弦值一般对应 两个角，一 个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的 正弦值后，还需要分类讨论这 两个角是 否都满足题意但是在(0，)内一个余弦 值仅对应 一个角，用余弦定理求出的是角 的余弦值，可以避免分类讨论 .： 先用余弦定理求出第三边长 ，进而用余弦 定理或正弦定理求出其他两个角 例2 在ABC中，已知a2，b ，C15，求角A、B和边c的值 变式训练2 如图，已知 AD为ABC的内角BAC的 平分线，AB3，AC5， BAC120，求AD的长 分析：由
4、余弦定理可解三角 形ABC，求出BC长度；由三 角形内角平分线定理可求出 BD长，再解ABD即可求出 AD长 解析：在ABC中，由余弦定理： BC2AB2AC22ABACcosBAC32 52235cos12049， BC7， 设BDx，则DC7x，由内角平分线定 理： 在ABD中，设ADy，由余弦定理： BD2AB2AD22ABADcosBAD. 例3 在ABC中，acosAbcosB，试确 定此三角形的形状 当ab时，ABC为等腰三角形； 当c2a2b2时，ABC为直角三角形 ABC为等腰三角形或直角三角形 解法2：由acosAbcosB以及正弦定理得 2RsinAcosA2RsinBco
5、sB，即sin2A sin2B. 又A、B(0，)，2A、2B(0,2)， 故有2A2B或2A2B，即AB或AB . ABC为等腰三角形或直角三角形 变式训练3 (2010辽宁卷)在ABC中，a ，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA (2bc)sinB(2cb)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状 例4 (数学与日常生活)如图，某市三个 新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同 建一个中心医院O，使得医院到三个小区 的距离相等，已知这三个小区之间的距离 分别为AB4.3 km，BC3.7 km，AC 4.7 km，问该医院应建在何处？(精确到0.1 km或1) 分析：实际问题的解决，应首先根据题意 转化为三角形模型，从而运用正、余弦定 理解决，要注意题中给出的已知条件本 题实际上是在ABC中，求ABC的外接圆 的半径OB及OB与边BC的夹角 分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于 各角的一个关系式，化简之后便可求出A ；(2)分别利用三角形面积公式及余弦定理 列出关于b，c的方程，求出b，c的值，进而 求出B. 同步检测训练检测训练
