【优品课件】北师大版高中数学（必修5）1.1《数列》 课件

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1、 11 数列的概念 12 数列的函数特性 一、数列的概念 按照_排列着的一列数称为数列 ，数列中的每一个数叫做这个数列的 _.数列中的每一项都和它的序号 有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1项(通常也叫做_)，排在第二位 的数称为这个数列的第2项排在第n位 的数称为这个数列的第n项所以，数列 的一般形式可以写成a1，a2，a3，an， ，简记为an，其中，an是这个数列的 第_项，也叫做这个数列的 _. 友情提示：关于数列概念的理解应注意的 几点事项： (1)数列是按一定“次序”排成的一列数，一 个数列不仅与组成数列的“数”有关，而且 与这些数的排列顺序有关因此，如果组 成数列的数相同而排

2、列次序不同，那么它 们就是不同的数列； (2)数列与数集的区别与联系：数列与数集 都是具有某种共同属性的数的全体数列 中的数是有序的，而数集中的元素是无序 的，同一个数在数列中可以重复出现，而 数集中的元素是互异的； (3)数列的项与它的项数是不同的概念：数 列的项是指这个数列中的某一个确定的数 ，是一个函数值，也就是相当于f(n)；而 项数是指这个数在数列中的位置序号，它 是自变量的值，相当于f(n)中的n； (4)次序对于数列来讲是十分重要的，若两 个数列中有几个相同的数，由于它们的排 列次序不同，构成的数列就不是一个相同 的数列，显然数列与数集有本质的区别 二、数列的分类 1根据数列的项

3、数，可以将数列分为两 类： (1)有穷数列：项数_的数列； (2)无穷数列：项数_的数列 2根据数列的增减性，可以将数列分为 以下几类： (1)递增数列：从第2项起，每一项都大于 它前面的一项的数列叫做_； (2)递减数列：从第2项起，每一项都小于 它前面的一项的数列叫做_； (3)常数数列：数列的各项都是常数的数列 叫做_； (4)摆动 数列：从第2项起，有些项大于它 的前一项，有些项小于它的前一项的数列 叫做_. 三、数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作 _的函数anf(n)，当自变量从小 到大依次取值时，该函数所对应的一列 _就是这个数列 四、数列的通项公式 如果数列an的第n

4、项an与n之间的关系可 以用_来表示，这个公式就叫做 这个数列的通项公式由通项公式可以写 出数列的任一项 友情提示：对于通项公式的理解应注意以 下几点： (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数 集N*或它的有限子集1,2，n为定义 域的函数的表达式； (2)如果知道了数列的通项公式，那么依次 用1,2,3，去替代公式中的n，就可以求 出这个数列的各项；同时，用数列的通项 公式也可以判断某数是否是该数列中的一 项，如果是的话，是第几项； (3)正如所有的函数关系不一定都有解析式 一样，并不是所有数列都有通项公式； (4)有些数列的通项公式，在形式上并不一 定是唯一的 例如：数列1,1，1,1，

5、的通项公式 可写成 an(1)n，也可写成 这两个通项公式形式上虽然不同，但表示 同一个数列； (5)由(4)知，数列的通项公式可以用分段形 式写出，这与函数有分段函数的道理是一 样的 五、递推公式 如果已知数列an的第1项(或前n1项)， 且从第2项(或第n项)开始的任何一项an与 它的前一项an1(或前n1项)间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个式子就叫 做这个数列的_. 例如数列1,3,7,15，中，an2an1 1(n1)称为递推公式，这里特别提醒的是 ：递推公式虽然也是数列的一种表示方法 ，但递推公式并不是该数列的通项公式 事实上，该数列的通项公式可写成an2n 1(nN*) 六

6、、数列的表示方法 数列作为一种特殊函数，与函数一样，有 三种表示方法：解析法、列表法、图像法 解析法主要是指数列的_与 _，这是给出数列的两种重要方 法 例如数列1,3,5,7,9，： (1)数列的通项公式 如果数列an的_的关系可以用 一个公式来表示，那么这个公式叫做这个 数列的通项公式，由通项公式可以写出数 列的任一项 仔细观 察数列各项，不难发现 ：121 1；3221；5231；7241 ；9251；故an2n1(nN*)， 此时an就是数列的通项公式 数列的项通常用字母加右下角标表示，其 中右下角标表示项的位置序号我们还 应注意到这里an与an是不同的：an表 示数列a1，a2，a3

7、，an，；而an只表 示这个数列的第n项这里an是数列的 简记 符号，并不表示一个集合 (2)数列的递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第 2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一 项an1(或前几项)之间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式叫这个数列的 _. 仔细观 察数列前后项关系，不难发现 3 12；532；752；972； 故an1an2(nN*)，这个公式就叫 做数列的递推公式 (3)数列的列表、图像表示 列表法就是_来表示数列an 的第n项与序号n之间的关系 如本题数列可用下面表格形式表示出来： 这就是说，上面可以看成是一个序号集合 到另一个数的集合的映射因此，

8、从映射 、函数的观点看，数列可以看做是一个定 义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2,3 ，n)的函数当自变量从小到大依次取 值时 ，对应 的一列函数值序号n12345 项an13579 图像法就是用图像来表示数列an的第n 项与序号n之间的关系数列的图像是 _，能直观地表示出数列的变化情况 以位置序号n为横坐标，相应的项为纵 坐标 描点画图，就可以得到数列的图像，数列的 图像是一系列孤立的点 答案： 一定顺序 项 首项 n 通 项 有限 无限 递增数列 递 减数列 常数数列 摆动数列 定 义域为正整数集N*(或它的有限子集1,2， ，n)上 函数值 一个公式 递 推公式 通项公式 递推公式

9、 第 n项与序号n之间 递推公式 列出表 格 一系列孤立的点 1.数列是一种特殊的函数，与函数相比，数 列的特殊性表现在哪些方面？ 数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表 现在定义域和值域上数列可以看成是以 正整数集N或它的有限子集1,2,3， n为定义域的函数，即自变量的取值必 须是正整数，而数列的通项公式也就是相 应函数的解析式数列与函数之间的关系 ，是特殊与一般的关系数列中的项是按 一定顺序排好的一列数，当把数列看作函 数时，数列的项的集合对应 于函数的值 域，但数列an与函数f(n)an(nN)是 不同的，an中的元素具有有序性，如将 a1，a2，a3，an排成a3，a1，a2， an则

10、为 不同的数列，而对于函数f(n) an(nN)来说却是一样的 2根据数列的前几项写出数列的一个通 项公式是一个难点，克服这个难点的关键 是什么？如何找出各项共同的构成规律得 出通项公式呢？ 一个数列an的第n项an与项数n之间的函 数关系，如果可以用一个公式anf(n)来表 示，这个公式叫做这个数列的通项公式 数列的通项公式的作用在于当用序号代替 通项公式中的n，可以求出数列的各项， 数列的通项公式确定了，数列也就确定了 (1)不是所有的数列都能写出它的通项公式 ，如精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近 似值构成的数列，即：3,3.1,3.14,3.141， 就没有通项公式； (

11、2)同一个数列的通项公式不一定是唯一的 ，如数列1，1，1,1，的通项公式可 以写成an(1)n，也可以写成ansin( )(nN)等等，仅由前几项可以 归纳 出无限多个通项公式； (3)对某些数列，通项公式可写成一个式子 ，也可用分段式表达，如数列1,1， 1,1，的通项公式还可以写成： 例1 下列说法正确的是 () A数列可以看做是一个定义域为正整数 集N的函数 B数列可以看作是一个定义域为正整数 集N(或它的有限子集1,2,3，n)的 函数，当自变量从小到大依次取值时对应 的一列函数值 C数列可以看作是一个定义域为正整数 集N(或它的有限子集)的函数 D数列可以看作是一个定义域为正整数

12、集N(或它的有限子集)的函数值 解析：B中的1,2,3，n不能省略，如 果只留下“N(或其有限子集)”几个字，很 容易产生误解同时不能认为只有定义在 N(或它的有限子集1,2,3，n)的函 数将其函数值排列好才形成数列例如定 义在实数集R上的函数yf(x)，函数值f(0) ，f()，f()，f()，就是一个数列，它与数 列f(1)，f(2)，f(3)，f(n)，是不同的 数列这说明：数列可以看成一类特殊函 数的有序排列好的函数值，但不是这一类 的特殊函数，其函数值也能有序排列好， 从而形成数列 答案：B 变式训练1 下列说法中，正确的是 ( ) A数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7 B数

13、列1,0，1，2与数列2，1,0,1 是相同数列 C数列的第k项为1 D数列0,2,4,6,8，可记作2n 解析：解此题需对数列an与集合的含义理 解透彻，A中1,3,5,7表示的是集合而不是 数列，B中数列中的各元素是有顺序的，D 中的2n并不能把前边的数列体现出来 答案：C 已知数列的前几项，写出数列的一个通项 公式解决这一问题 的方法是：通过 观察、分析、联想、比较，去发现项 与 序号之间的关系；如果关系不明显时 ， 可将之同时加上或减去一个数，或分解、 还原等，将规律呈现出来，便于找通项公 式；要借助一些基本数列的通项，如正 整数数列、正整数的平方数列、奇数列、 偶数列等；符号用(1)

14、n或(1)n1来调 整；分式的分子、分母分别找通项，同 时，还要充分借助分子、分母的关系另 外，值得注意的是并不是所有的数列都有 通项公式，有些数列的通项公式不止一个 因此，通项公式的归纳 不仅要看它的前几 项，更要依据数列的构成规律，应多观察 分析，真正找到数列的内在规律，由数列 前几项写出其通项公式，没有通用的方法 可循，仁者见仁，智者见智此类题 目正 是考查学生聪明才智之处，还望学生们 认真总结 、细心钻研才是 (5)显然各项的分子均为1，其关键在分母上 ，而分母的规律不是很明显，注意到分母 组成的数列1,3,7,13,21，递增速度也有 点像平方数列，不妨从每一项对应减去平 方数列的项组成数列0,1,2,3,4，其规律 也就明显了 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置 序号之间的关系，只要用序号代替公式中 的n，就可以求出数列的相应项 例3 根据数列an的通项公式，写出这 个数列的前4项： 变式训练3 数列an的通项公式是an (nN*) (1)0和1是不是数列an中的项？如果是， 那么是第几项？ (2)数列an中是否存在连续且相等的两项 ？若存在，分别是