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1、第一节 解析函数的概念 与柯西黎曼条件1.1 复变函数的导数与微分1.2 解析函数及其简单性质1.3 柯西黎曼条件1.4 小结与思考 11.1 复变函数的导数与微分1.导数的定义:定义2.12在定义中应注意:3例1 解42.可导与连续的关系:函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.证5证毕 例2 解 (1) f(z)=z的连续性显然6例3 解78例4 解9103.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导
2、法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:11124.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致.定义+13特别地, 141. 解析函数的定义定义 2.2z0记作：f(z)A(D)D G1.2 解析函数的概念15根据定义可知:函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但 是函数解析比可是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多即函数在z0点解析函数在一点处解析与在一点处可导不等价 函数在z0点可导函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价 即函数在闭 区域上解析函数在闭区 域上可导说 明162. 奇点的定义 定义 2.3例如:
3、以z=0为奇点:通常泛指的解析函数是容许有奇点的: 例5 解由本节例1和例3知:171819例6解20例7解2122课堂练习答案处处不可导,处处不解析.23定理以上定理的证明, 可利用求导法则.24根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.通过上述用定义讨论函数的解析性，我们深深地体会到：用定义讨论函数的解析 性绝不是一种好办法！寻求研究解析 性的更好的方 法任务！251.3 C-R 条件目的：研究复变函数w=f(z)可微或解析的条件。研究函数解析性的利器引言：设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则函数w=f(z)的连续性由u(x,y),v(x,y)连续性唯一确定。那么
4、w=f(z) 的解析性与u(x,y),v(x,y)之间有什么关系 呢？先看如下例子 设w=z=x-iyu(x,y)=x,v(x,y)=-y则：u(x,y)=x,v(x,y)=-y对x,y的一切偏导数都存在且连 续，但是w=z却是一个处处不可微的函数 由此说明：有必要探讨函数w=f(z) 的可微（解析性） 与u(x,y),v(x,y)之间的进一步的关系26D1. 函数w=f(z)的在一点处的可微与u(x,y),v(x,y)之间的关系假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某一点z=x+iy可微代数化图2.1 z+xzxy0z 2.4因为z=x+iy无 论按什么方式趋 于零, (2.4)总是成
5、 立的, 于是，我们 可让变点z+z分别 沿着平行于实轴 与虚轴的方向趋 于点z ，即分别让 （y=0,x0） （ x=0,y0）,从而可 得z+iy27称为Cauchy-Riemann 条件，简称C-R条件定理2.1 (可微的必要条件) 设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在区域D内有定义,且在D内 一点z=x+iy可微,则必有: (1)偏导数ux,uy,vx,vy在点 (x,y) 存在; (2)u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满 足C-R条件: ux= vy uy=-vx 柯西介绍黎曼介绍28例8 证注：定理注：定理2.12.1中的条件是必要而不是充分的中的条件是必要而不
6、是充分的29将定理2.1中的条件适当加强就得到可微的充要条件30定理2.2(可微得充要条件)31代数化 证(1) 必要性.3233(2) 充分性.由于3435证毕36定理定理2.32.3函数在一点可微的充分条件函数在一点可微的充分条件372. 函数w=f(z)的在区域的可微性（解 析性）(x,y),v(x,y)之间的关系定理2.4(函数在区域D内可微的充要条件)38定理定理2.5 2.5 函数在区域函数在区域D D内解析的充要条件内解析的充要条件393.解析函数的判定方法:404. 例题选讲例9 判定下列函数在何处可导, 在何处解析:解不满足柯西黎曼方程,41四个偏导数 均连续指数函数42四个
7、偏导数均连续43例10 证4445例11 解46例12解47课堂练习答案48例6证49参照以上例题可进一步证明:50例7证根据隐函数求导法则,51根据柯西黎曼方程得52例8证5354三、小结与思考在本课中我们得到了一个重要结论函数解析的充要条件:掌握并能灵活应用柯西黎曼方程.55思考题56思考题答案放映结束，按Esc退出.57思考题58思考题答案反之不对.放映结束，按Esc退出.591.4 小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法.注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.60Riemann黎曼资料Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany) Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy61Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西资料 62
