[工学]自动控制系统 第5章 2012

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1、西南交通大学西南交通大学 电气工程学院电气工程学院 2009第五章 频率响应法5.1 频率特性 5.2 频率特性图 5.3 奈奎斯特(Nyquist)稳定性判据5.4 控制系统的稳定裕量 小结25.1 频率特性频率响应频率响应系统对正弦输入信号的稳态响应 频率特性频率特性频率响应特性，即正弦信号输入时， 系统稳态输出与输入量之比(正弦传递函数) 频率响应法的特点特点： 易于试验和测量。可用试验方法测量出系统的 频率特性，以此求得控制系统数学模型； 可用于系统的稳定性分析(应用Nyquist稳定性判 据)； 是一种图解法，形象直观计算量小。35.1 频率特性 频率响应法的局限性局限性和不足不足：

2、 系统的频率响应和时域响应之间存在联系， 但难以把握。实际设计工程中，采用近似设计 准则来调节系统的频率响应。 分析一阶RC网络的频率特性。输入45.1 频率特性幅值比相位差都是w的函数5增益 | j | -滞后增大频率特性：w w, R, C:T=R,C: 系统结构参数w : 输入正弦信号的频率5.1 频率特性6 线性定常系统的频率特性线性定常系统的频率特性 设线性定常系统的传函5.1 频率特性(对于含有重极点的情况，下面得到的结论同样适用)输入输入7(5.1)5.1 频率特性如果G(s)含有mi 重极点s = - pi, 则 y(t) 中含有输出输出8稳态响应稳态响应( ( 稳定系统稳定系

3、统 ) )可以知道 b 与 b* 互为一对共轭复数(5.2)5.1 频率特性(5.3)(5.4)其中9设G(jw)为一复数,写成5.1 频率特性则10 G(jw)的幅值幅值 G(jw)的辐角辐角(5.5)(5.6)于是(5.7)5.1 频率特性11又可以给出，正弦输入正弦输入下正弦输出对于正弦输入的幅值比幅值比正弦输出对于正弦输入的相位移相位移 频率特性频率特性，即正弦传递函数5.1 频率特性返回125.2 频率特性图频率特性频率特性工程上应用最广泛的频率特性图是BodeBode图图(对数坐 标图)和极坐标图极坐标图(Nyquist图、幅相频率特性图)极坐标图极坐标图：图中反映出的量为频率特性

4、的幅值 和相角，而频率w为参变量(隐含)；135.2 频率特性图 BodeBode图图:将频率特性分为幅频特性幅频特性和相频特性相频特性， 分别绘于(半)对数坐标上； 频率w(横)坐标：用lgw 分度； 幅值A(w)用20lgA(w)dB分度： 20lgA(w) lgw 相角j (w)用线性分度： j (w) lgww 与 lgw 之间的对应关系14 采用Bode图的优点优点： 便于运算，使幅值的相乘转换为相加运算； 环节串联，其增益 A=A1A2An,而 lgA= lgA1+lgA2+lg An 便于处理较宽的频带，且能突出最常用的低频 段； 便于作图：常可采用渐近线(直线段)近似处理。5.

5、2 频率特性图15 关于20lgA(w)的单位分贝(dB)人耳对声强的感觉符合对数规律：5.2 频率特性图功率增益：而人耳感觉到的功率增益： 贝尔如N1=10, N2=30, 功率增大了3倍，而人耳感觉到的功率增大了lg3 = 0.48 (贝尔)16实际应用中，“贝尔”单位太大，取其值1/10作测量单位 ，称为分贝(dB)，即5.2 频率特性图(因常为电压、电流等为考察量的幅值比)175.2.1 典型环节的频率特性及其图 比例环节比例环节(5.8)18 积分环节和微分环节积分环节和微分环节(5.9)5.2.1 典型环节的频率特性及其图幅频：相频：1)1) 积分环节积分环节19 微分环节微分环节

6、 (5.10)5.2.1 典型环节的频率特性及其图微分环节的微分环节的BodeBode图图与积分环节的积分环节的BodeBode图图关于横轴对称20 惯性环节和一阶微分环节惯性环节和一阶微分环节5.2.1 典型环节的频率特性及其图a) 低频段 ( w 1/T )c) 转折频率 ( w =1/T= wn )幅频：(5.11)1)1) 惯性环节惯性环节21渐近线5.2.1 典型环节的频率特性及其图22误差 (实际曲线与折线) 20lgA(w) 的最大误差在转折频率 w=1/T 处 在 w=10/T 处 在 w=0.1/ T 处5.2.1 典型环节的频率特性及其图23幅频特性误差修正表幅频特性误差修

7、正表幅频特性误差修正曲线幅频特性误差修正曲线5.2.1 典型环节的频率特性及其图24 相频：5.2.1 典型环节的频率特性及其图相频特性的几个函数值相频特性的几个函数值渐近线25最大误差最大误差出现在w=0.1/T 和w=10/T处，j = 5.7次大误差次大误差出现在w=0.4/T 和w=2.5/T处，j = 5.3按等距分度：0.4/T 距0.1/T 的相对距离：lg(0.4/0.1) = 0.60210.62.5/T 距 1/T 的相对距离：lg( 2.5/ 1 ) = 0.39790.4与折线相交：w =0.16/T 和 w =6.3/T 5.2.1 典型环节的频率特性及其图惯性环节极

8、坐标图2627 一阶微分环节一阶微分环节(5.12)5.2.1 典型环节的频率特性及其图其Bode图与一阶惯性环节的Bode图关于横轴对称。一阶微分环节极坐标图28 振荡环节和二阶微分环节振荡环节和二阶微分环节 二阶振荡环节二阶振荡环节(5.13)c) 转折频率：5.2.1 典型环节的频率特性及其图a) 当 时(低频段)：b) 当 时(高频段)：幅频：29渐近线斜率为-40dB/dec.二阶振荡环节Bode图5.2.1 典型环节的频率特性及其图相频：30 幅频特性误差修正曲线幅频特性中, z=0.50.7, 渐近线(折线)近似效果较好；相频特性， 渐近线(折线)近似效果不好；极坐标图z 1,(

9、过阻尼)时，类似于一阶惯性环节。5.2.1 典型环节的频率特性及其图31 谐振频率谐振频率w wr r和谐振峰值谐振峰值MMr r在wn附近，幅频特性出现谐振峰值Mr ，其大小与z 有关 。5.2.1 典型环节的频率特性及其图定义：定义：谐振频率wr，谐振峰值Mr处的频率；325.2.1 典型环节的频率特性及其图33其Bode图与二阶振荡环节的Bode图关于横轴对称。(5.16)5.2.1 典型环节的频率特性及其图(5.15)谐振峰值谐振峰值3)3) 二阶微分环节二阶微分环节(5.14)谐振频率谐振频率345.2.2 系统Bode图的绘制由基本(典型)环节的幅频、相频曲线，绘制系统的 Bode

10、图曲线。分成5个典型环节：5.1 绘制Bode图355.2.2 系统Bode图的绘制1、幅频特性 画每个环节(不包括比例环节)的渐近线(折线),代数相加; 20lg5=14(dB), 将0dB线下移14dB(即在原坐标上加14dB); 误差修正: (第(2)/(3)步可交换)可计算几个点(着重转折点)记:365.2.2 系统Bode图的绘制37幅频特性图：5.2.2 系统Bode图的绘制38-101231010101010 Frequency (rad/sec)Magnitude (dB)Bode Diagram-140-120-100-80-60-40-202040600-126-106-8

11、6-66-46-26-6345474140-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec392、相频特性 相频特性曲线可以直接计算几个点：5.2.2 系统Bode图的绘制4010-1210-260-240-220-200-180-160-140-120-100Frequency (rad/sec)Phase (deg)100101103Bode Diagram-270-90-94.4 -111.5-125.1-135.1-130.8-126.8-140-189-235.3-252.8-267.410-1210-260-240-220-200-180-160-140-1

12、20-100Frequency (rad/sec)Phase (deg)100101103Bode Diagram-270-90相频特性图(近似曲线)5.2.2 系统Bode图的绘制41 G(jw)的Bode图5.2.2 系统Bode图的绘制返回425.3 奈奎斯特(Nyquist)稳定性判据1932年，H.Nyquist提出的稳定性判据判断闭环系统的稳定性(不求特征根)的方法： 代数判据：适用于特征方程为代数方程的系统 ，不适用于时滞系统； 根轨迹法：对于时滞系统有效，但很麻烦； Nyquist判据：利用开环频率特性(G(jw)H(jw)判断 闭环系统稳定性的一种图解方法；435.3 奈奎斯

13、特(Nyquist)稳定性判据Nyquist判据特点特点： 应用方便：分析时滞系统的稳定性也较方便， 也可推广到多变量系统，以及分析某类非线性 系统的稳定性； 开环频率特性可以通过试验测取，这对于不易 建模的系统很有意义。Nyquist判据判断特征方程1+G(s)H(s) = 0在S右 半平面内特征根的数目，其理论基础是复变函 数的映射定理(Cauchy定理)。445.3.1 映射定理设s=s+jw 是复变量映射定理：映射定理：若F(s)在S平面上的闭曲线GS 的内部共有P个极点 和Z个零点。设GS 不经过F(s)的任何零点和极点，则GS 唯一 的映射到F(s)平面上的一条闭曲线GF，当 s

14、按顺时针方向沿 GS 变化一周时，在F(s)平面上，轨迹F(s)按顺时针方向沿GF 包围原点的周数N 等于Z-PN 的方向：顺时针方向为正，逆时针方向为负。455.3.1 映射定理根据映射定理，由F平面上GF 包围原点的周数，可知S平面上GS 中的零点数与极点数之差。SSFF46例如：设如图示：GS 中有一个零点-z1, 当s沿着GS 顺时针方向移动一周时，Dfz1 = 2p, Dfz2 = 0, Dfp1 = 0, Dfp2 = 0因此，DF(s) = 2p, F 平面上，GF 顺时针包围原点一周。 FS5.3.1 映射定理47由此可推知：若GS 顺时针包围了F(s)的Z个零点和P个极点，则

15、角F(s)的变化量:DfF = DfZ DfP = 2pZ - 2pP即为当s沿着GS 顺时针方向移动一周时，映射曲线GF在F平面的相角变化为：2pN = 2pZ - 2pP因此， GF顺时针包围原点的周数为：N N = = Z Z - -P P 5.3.1 映射定理FS485.3.2 Nyquist稳定性判据根据开环幅相频率特性图开环幅相频率特性图判断闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性。对于闭环控制系统：开环传函开环传函: :闭环传函闭环传函: :特征多项式特征多项式: :开环传函G(s)H(s)的分母与分子之和设495.3.2 Nyquist稳定性判据实际系统：分母阶次n大于或等于分子阶次mnm因此，D(s)的阶次 = Q(s)的阶次 = n 作在s平面上做闭曲线GS ：整个虚轴和s右半平面上半径为无穷大的半圆称为NyquistNyquist曲线曲线(按顺时针方向)，也称为“D形围线”(形状象字母)50由映射定理：s 顺时针沿着D形围线GS变化一周时(w:- ), F(s)在F平面上的轨迹GF顺时针包围原点的周数N为：N = N = Z Z P P (5.17)Z Z = F F( (s s) )在S右半平面的零点数零点数= 特征多项式D D( (s s) )在S右半平面的零点零点数(即在S右半平 面的特征根数)P P= F F( (s s) )在S右半平面的极点数