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1、苏教版六年级（下册）苏教版六年级（下册） 圆锥的体积圆锥的体积 教学思考与实践教学思考与实践教学随笔 苏教版六年级（下册） 圆锥的体积是传统教学内容。教师在教学中一般都安排数学实验，引导学生在实验中体会圆锥的体积和和它等底等高圆柱体积的 1/3。在教学过程中有两个不容回避的问题，一是如何使学生想到需要将“等底等高”的圆锥和圆柱进行比较，二是如何使学生理解实验误差的合理性，并认同实验的结果。教师在教学这一内容时需要直面上述问题，分析学生的学习心理和实际需要，自然地引导学生建立正确的认识。一、联系已有经验，引出“等底等高”如何使学生想到需要将“等底等高”的圆锥和圆柱进行比较呢？不少教师的做法是趋于
2、两个极端的。一种做法是直接告诉学生拿出一个和圆锥等底等高的圆柱，通过实验发现它们之间的体积关系。另一种做法是，在实验材料上大做文章，给学生提供等底不等高、等高不等底、不等底也不等高和等底等高等多种不同关系的圆锥和圆柱，让学生在近乎真实的背景下探索圆锥和圆柱的体积关系。前一种做法由于学生处于被动的接受状态，因而被我们所摈弃。后一种做法营造了自主探究的氛围，学生需要通过真正的探索才能发现圆锥和圆柱的体积关系。但是这一方法的明显不足在于：其一，学生已有的关于平面图形面积公式推导和立体图形体积公式推导的经验被忽略了；其二，虽然圆锥和圆柱并不等底等高，但这并不意味着圆锥和圆柱的体积不存在相应的关系。客观
3、上，任何一个圆锥和圆柱的体积都存在一定的关系，虽然教师会有意识地多安排几组等底等高的圆锥和圆柱，但是学生仍然需要经历较长的时间，通过比较才能将目光锁定在等底等高的圆锥和圆柱上。加之实验误差的客观存在，多种因素都会影响学生对圆锥和等底等高圆柱关系的认识。在实际教学时，我采取的策略是偏向接受式学习的，但十分注意使学生的接受有意义。师：根据你的经验，你认为可以怎样探究圆锥的体积公式呢？生 1：我想把圆锥转化成长方体、正方体或圆柱，找出它们之间的关系，就能知道圆锥的体积公式了。生 2：把圆锥转化成长方体和正方体，好像不太可能；可是，把圆锥转化成圆柱，又不太会。全班学生点头应和。师：老师很同意你们的想法
4、。把圆柱转化成长方体，为什么能很快推导出圆柱的体积公式呀？生：因为圆柱和长方体是等底等高的，而且它们体积相等，所以可以很快推出圆柱的体积公式。师：你回答得真完整。那么圆锥虽然不能转化成圆柱，但是，如果要找一个圆柱跟它比较体积的话，你觉得那个圆柱和它应该有什么关系才好？生：我觉得如果它们底面积相等，高也相等，那么推导圆锥的体积就会比较容易。上述过程紧密结合学生已有的将圆柱转化成长方体的过程经验，启发学生从圆柱和转化成的长方体之间联系的角度思考，如果要发现圆锥和圆柱体积的关系，那么圆锥和圆柱也应该“高度相关” 。于是， “等底等高”就自然地从学生已有的经验中提取出来，成为学生展开实验的重要基础和前
5、提。需要指出的是，这样引导，学生就能够理解为什么要选择和圆锥等底等高的圆柱进行研究的原因。二、反思实验过程，认识误差客观存在我们都知道，操作实验总会存在误差。在引导学生将圆锥和与它等底等高的圆柱进行比较时，教材安排的实验材料是沙子。也有教师安排的实验材料是水。理论上说，用沙子和水做实验，是可以减少误差的。但是我自己用水做过几次实验，发现由于存在误差，也常常 3 次不能正好倒满。如果只是单纯地让学生用沙子或水做实验，出现实验结果不同时，再让学生感受实验的误差，这时学生有时会觉得困惑：我已经很细心了，为什么还是有误差？学生对误差会产生怀疑的态度，甚至会影响对实验结果的认同。于是，我为学生准备了大豆
6、和水这两种材料，期望通过倒大豆的过程让学生直观地感受误差是客观存在的，进而通过反思实验过程，体验只有十分细心地操作，才可以得到更精确的结论。有些小组用等底等高的圆锥和圆锥形容器各一个，在圆锥里装满大豆，之后倒进圆柱形容器。组 1：我们发现倒了两次还有不少，倒三次还差一些，说明圆柱体积是圆锥体积的 2.5 倍多。组 2：我们做了两次实验，第一次倒了 3 次后还剩一点点，第二次比 3 次稍微少一点。我们认为圆柱体积约是圆锥体积的 3 倍。有些小组用水做实验。组 3：我们先将圆锥装满水倒入圆柱，3 次刚好倒满；然后，我们又将圆柱装满水，倒入圆锥，3 次后圆锥里还可以再放一点点。我们的结论是：圆锥和圆
7、柱等底等高，圆锥的体积约是圆柱体积的1/3。师：用的等底等高的圆柱和圆锥做实验，但实验的结果却不太相同。大家思考一下，会是什么原因呢？生 1：把大豆装进圆锥或圆锥时，每次都要跟容器的边沿平，不能多也不能少。生 2：大豆每次的结果相差比较大，因为大豆之间有缝隙。教师拿起一对透明玻璃的圆锥和圆柱，在实物投影仪上将圆锥里装满大豆，慢慢地再将大豆倒入圆柱中。生：大豆与大豆之间的空隙比较大，所以实验就不准了。倒水的结果会更加准确。师：反思刚才的实验过程，你能获得什么启发？生 1：在实验中，选择实验材料很重要。生 2：实验过程一定要认真细致。比如，倒水时水不能洒到外面去。生 3：如果有时间，还要多做几次实
8、验，才能够得出结论。数学实验是获得数学结论的重要手段。在开展数学实验时，要悉心准备实验工具和材料，精心设计实验过程，引导学生获得更准确的数学结论。像圆锥体积公式的推导，学生受数学知识和思维能力的限制，还不能进行理性的数学证明，因而实验的精度要求相对更高。因而，实验时要引导学生关注如何减小误差，并通过有效的反思积累实验的经验。教学随笔 苏教版六年级（下册） 圆锥的体积是传统教学内容。教师在教学中一般都安排数学实验，引导学生在实验中体会圆锥的体积和和它等底等高圆柱体积的 1/3。在教学过程中有两个不容回避的问题，一是如何使学生想到需要将“等底等高”的圆锥和圆柱进行比较，二是如何使学生理解实验误差的
9、合理性，并认同实验的结果。教师在教学这一内容时需要直面上述问题，分析学生的学习心理和实际需要，自然地引导学生建立正确的认识。一、联系已有经验，引出“等底等高”如何使学生想到需要将“等底等高”的圆锥和圆柱进行比较呢？不少教师的做法是趋于两个极端的。一种做法是直接告诉学生拿出一个和圆锥等底等高的圆柱，通过实验发现它们之间的体积关系。另一种做法是，在实验材料上大做文章，给学生提供等底不等高、等高不等底、不等底也不等高和等底等高等多种不同关系的圆锥和圆柱，让学生在近乎真实的背景下探索圆锥和圆柱的体积关系。前一种做法由于学生处于被动的接受状态，因而被我们所摈弃。后一种做法营造了自主探究的氛围，学生需要通
10、过真正的探索才能发现圆锥和圆柱的体积关系。但是这一方法的明显不足在于：其一，学生已有的关于平面图形面积公式推导和立体图形体积公式推导的经验被忽略了；其二，虽然圆锥和圆柱并不等底等高，但这并不意味着圆锥和圆柱的体积不存在相应的关系。客观上，任何一个圆锥和圆柱的体积都存在一定的关系，虽然教师会有意识地多安排几组等底等高的圆锥和圆柱，但是学生仍然需要经历较长的时间，通过比较才能将目光锁定在等底等高的圆锥和圆柱上。加之实验误差的客观存在，多种因素都会影响学生对圆锥和等底等高圆柱关系的认识。在实际教学时，我采取的策略是偏向接受式学习的，但十分注意使学生的接受有意义。师：根据你的经验，你认为可以怎样探究圆
11、锥的体积公式呢？生 1：我想把圆锥转化成长方体、正方体或圆柱，找出它们之间的关系，就能知道圆锥的体积公式了。生 2：把圆锥转化成长方体和正方体，好像不太可能；可是，把圆锥转化成圆柱，又不太会。全班学生点头应和。师：老师很同意你们的想法。把圆柱转化成长方体，为什么能很快推导出圆柱的体积公式呀？生：因为圆柱和长方体是等底等高的，而且它们体积相等，所以可以很快推出圆柱的体积公式。师：你回答得真完整。那么圆锥虽然不能转化成圆柱，但是，如果要找一个圆柱跟它比较体积的话，你觉得那个圆柱和它应该有什么关系才好？生：我觉得如果它们底面积相等，高也相等，那么推导圆锥的体积就会比较容易。上述过程紧密结合学生已有的
12、将圆柱转化成长方体的过程经验，启发学生从圆柱和转化成的长方体之间联系的角度思考，如果要发现圆锥和圆柱体积的关系，那么圆锥和圆柱也应该“高度相关” 。于是， “等底等高”就自然地从学生已有的经验中提取出来，成为学生展开实验的重要基础和前提。需要指出的是，这样引导，学生就能够理解为什么要选择和圆锥等底等高的圆柱进行研究的原因。二、反思实验过程，认识误差客观存在我们都知道，操作实验总会存在误差。在引导学生将圆锥和与它等底等高的圆柱进行比较时，教材安排的实验材料是沙子。也有教师安排的实验材料是水。理论上说，用沙子和水做实验，是可以减少误差的。但是我自己用水做过几次实验，发现由于存在误差，也常常 3 次
13、不能正好倒满。如果只是单纯地让学生用沙子或水做实验，出现实验结果不同时，再让学生感受实验的误差，这时学生有时会觉得困惑：我已经很细心了，为什么还是有误差？学生对误差会产生怀疑的态度，甚至会影响对实验结果的认同。于是，我为学生准备了大豆和水这两种材料，期望通过倒大豆的过程让学生直观地感受误差是客观存在的，进而通过反思实验过程，体验只有十分细心地操作，才可以得到更精确的结论。有些小组用等底等高的圆锥和圆锥形容器各一个，在圆锥里装满大豆，之后倒进圆柱形容器。组 1：我们发现倒了两次还有不少，倒三次还差一些，说明圆柱体积是圆锥体积的 2.5 倍多。组 2：我们做了两次实验，第一次倒了 3 次后还剩一点
14、点，第二次比 3 次稍微少一点。我们认为圆柱体积约是圆锥体积的 3 倍。有些小组用水做实验。组 3：我们先将圆锥装满水倒入圆柱，3 次刚好倒满；然后，我们又将圆柱装满水，倒入圆锥，3 次后圆锥里还可以再放一点点。我们的结论是：圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积约是圆柱体积的1/3。师：用的等底等高的圆柱和圆锥做实验，但实验的结果却不太相同。大家思考一下，会是什么原因呢？生 1：把大豆装进圆锥或圆锥时，每次都要跟容器的边沿平，不能多也不能少。生 2：大豆每次的结果相差比较大，因为大豆之间有缝隙。教师拿起一对透明玻璃的圆锥和圆柱，在实物投影仪上将圆锥里装满大豆，慢慢地再将大豆倒入圆柱中。生：大豆与大豆
15、之间的空隙比较大，所以实验就不准了。倒水的结果会更加准确。师：反思刚才的实验过程，你能获得什么启发？生 1：在实验中，选择实验材料很重要。生 2：实验过程一定要认真细致。比如，倒水时水不能洒到外面去。生 3：如果有时间，还要多做几次实验，才能够得出结论。数学实验是获得数学结论的重要手段。在开展数学实验时，要悉心准备实验工具和材料，精心设计实验过程，引导学生获得更准确的数学结论。像圆锥体积公式的推导，学生受数学知识和思维能力的限制，还不能进行理性的数学证明，因而实验的精度要求相对更高。因而，实验时要引导学生关注如何减小误差，并通过有效的反思积累实验的经验。教学随笔 苏教版六年级（下册） 圆锥的体
16、积是传统教学内容。教师在教学中一般都安排数学实验，引导学生在实验中体会圆锥的体积和和它等底等高圆柱体积的 1/3。在教学过程中有两个不容回避的问题，一是如何使学生想到需要将“等底等高”的圆锥和圆柱进行比较，二是如何使学生理解实验误差的合理性，并认同实验的结果。教师在教学这一内容时需要直面上述问题，分析学生的学习心理和实际需要，自然地引导学生建立正确的认识。一、联系已有经验，引出“等底等高”如何使学生想到需要将“等底等高”的圆锥和圆柱进行比较呢？不少教师的做法是趋于两个极端的。一种做法是直接告诉学生拿出一个和圆锥等底等高的圆柱，通过实验发现它们之间的体积关系。另一种做法是，在实验材料上大做文章，给学生提供等底不等高、等高不等底、不等底也不等高和等底等高等多种不同关系的圆锥和圆柱，让学生在近乎真实的背景下探索圆锥和圆柱的体积关系。前一种做法由于学生处于被动的接受状态，因而被我们所摈弃。后一种做法营造了自主探究的氛围，学生需要通过真正的探索才能发现圆锥和圆柱的体积关系。但是这一方法的明显不足在于：其一，学生已有的关于平面图形面积公式推导和立体图形体积公式推导的经验
