《[工学]81空间解析几何与向量代数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[工学]81空间解析几何与向量代数（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八章 空间解析几何与向量代数几何空间中的一些图形与方程对应起来,用代 数方法研究了几何问题.讨论如下几个问题: 1. 向量、向量的一些运算; 2. 空间中的平面与直线; 3. 空间中的一些曲面和曲线; 4. 二次曲面.在平面解析几何中,本章把这种方法运用到三维几何空间,曾通过坐标法把二维1第一节 向量及其线性运算第七章 空间解析几何与向量代数利用坐标作向量的线性运算 向量的概念向量的线性运算 空间直角坐标系向量的模、方向角、投影 2向量既有向量表示模长为1的向量.零向量 模长为0的向量.| |向量的模向量的大小.单位向量或或的量.又有大小方向以为起点,为终点的有向线段.一、向量概念向量及其线
2、性运算(vector)(module)向径起点为原点的向量.3自由向量 不考虑起点位置的向量.相等向量 大小相等且方向相同的向量.负向量 大小相等但方向相反的向量.向量及其线性运算记作4向量及其线性运算1. 两向量的夹角的概念特殊地, 当两个向量中有一个零向量时, 规定它们的夹角可在之间任意取值.向量 与向量的夹角5向量及其线性运算两向量平行：记作ab ;两向量垂直：记作零向量与任何向量都平行，零向量与任何向量都垂直。因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称此 k 个向量共面 .6二、向量的线性运算1. 向量的加法三角形
3、法则:平行四边形法则 :特殊地 若 分为同向和反向7运算规律 : 交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .8减法2.向量减法的定义向量及其线性运算三角不等式93. 向量与数的乘法 (简称数乘运算)注向量向量的“伸缩”向量的乘积规定为 同向,反向,为向量.与数的乘积向量及其线性运算10数与向量的乘积符合下列运算规律： 结合律分配律第一分配律 第二分配律线性运算向量及其线性运算由向量 常用数乘运算说明 两向量平行关系(两向量共线的充要条件):定理1平行,设向量 存在唯一的实数 同方向的单位向量. 记作11向量及其线性运算例1. 设 M 为解:ABCD 对角线的交点,12横轴纵轴竖轴定点空间直
4、角坐标系,三个坐标轴的点O叫做坐标原点(或原点)正方向符合右手系： 即以右手握住 z 轴, 当右手的四个手指 从正向x轴以 角度转向正向y 轴时, 大 拇指的指向就是z轴 的正向. 三、空间直角坐标系1.空间点的直角坐标坐标系 或坐标系.向量及其线性运算13向量及其线性运算空间直角坐标系共有八个卦限142. 向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.15向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点 M特殊点的坐标 :有序数组 (称为点 M 的坐标
5、)原点 O(0,0,0) ;16坐标轴 : 坐标面 :17四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:18例2.求解以向量为未知元的线性方程组解: 2 3 , 得代入得19例3. 已知两点在AB直线上求一点 M , 使解: 设 M 的坐标为如图所示及实数得即20说明: 由得定比分点公式:点 M 为 AB 的中点 ,于是得中点公式:21五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与22例4. 求证以证:即为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点232. 方向角与方向余弦与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角.方向角的余
6、弦称为其方向余弦. 方向余弦的性质:2425例7. 已知两点和的模 、方向余弦和方向角 . 解:计算向量26例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知角依次为求点 A 的坐标 . 则因点 A 在第一卦限 , 故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 27空间一点在轴上的投影过点A作轴u的垂直平面, 即为点A在轴u上 的投影.向量及其线性运算空间一向量在轴上的投影轴u称为投影轴.已知向量的起点A和终点B在轴u上的投影分别为 那么轴u上的有向线段的值, 称为向量在轴u上的 投影.3.向量在轴上的投影28Projection在轴u上的向量轴与向量的夹角的余弦：向量在轴u上的投影记
7、为投影性质1投影等于向量的模乘以向量及其线性运算29（可推广到有限多个）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 在该轴上的投影之和.向量及其线性运算投影性质2投影性质330向量及其线性运算六、小结向量的概念 向量的线性运算（注意:与数量的区别与记法）(平行四边形法则, 三角形法则, 注意数乘后的 方向)空间直角坐标系 (注意它与平面直角坐标系的区别)(点、坐标轴、坐标面、卦限 )向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.(注意分向量与坐标的区别)利用坐标作向量的线性运算.31向量在轴上的投影与投影性质.向量的模与方向角.向量及其线性运算空间两点间距离公式32例5. 在 z 轴上求与两点等距解: 设该点为解得故所求点为及思考:(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 33提示:(1) 设动点为利用得(2) 设动点为利用得且例6. 已知两点和解:求34
