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1、 第第 三三 章章 一般线、面的求解一般线、面的求解1主要内容31 31 全等三角形法全等三角形法32 32 换面法换面法2一般位置直线一般位置直线31 全等三角形法3|zA-zB |ABABbbaaCXO1 1）求直线的实长及对水平投影面的夹角）求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab4ABbbaaCXO2 2）求直线的实长及对正面投影面的夹角）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角|YA-YB|aXabbabABAB ab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|5XZYO3 3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角）求直线的
2、实长及对侧面投影面的夹角 角角ABbbabaaZXaaaOYHYWbbb|XA-XB|XA-XB|6例题例题1 1 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB，求它的水平投影求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|bXabAB7bbXaaL例题2 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使 BC 的实长等于已知长度L。cLABzA-zBcab8一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置平面的真实大小？换 面 法：物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投
3、影面进 行投射。解决方法：更换投影面。32 换面法9VHXABbaab老投影体系 V/H新投影面V1新投影体系 V1/HX1新轴老轴a1b1新投影 被替换 的投影被保留 的投影被保留 的投影面被替换 的投影面 10VHABabab二、新投影面的选择原则1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。 平行于新的投影面 垂直于新的投影面2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。V1 a1b111VHAaa axX 更换一次投影面 旧投影体系 X V H 新投影体系V1 HX1 A点的两个投影：a， aA点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立三、点的投影
4、变换规律X1V1a1ax1VHXV1HX1aaa1 axax1.12ax1VHXV1HX1aaa1VHAa axXX1V1a1ax1 新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1 = aax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。axa 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。.13XVHaaax更换H面 求新投影的作图方法V HXV1HX1建立新的投影轴，由点的不变投影向新投 影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这 段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aaX1H1 Va1axax1ax1更换V面a1作图规律：.14 更换两次投影面先把V面
5、换成平面V1， V1H，得到中间新投影体系:V1 HX1 再把H面换成平面H1， H1 V1，得到新投影体系: X2 V1H1 新投影体系的建立按次序更换AaVHaaxXX1V1a1ax1H1X2ax2a1 15ax2aaXV H 求新投影的作图方法a1X1H V1X2V1H1作图规律a1a1 X2 轴a1ax2 = aax1a1axax1.16 1、新投影轴的建立 2、新投影的定位换面法的作图关键：17VHABabab四、换面法的“六个”基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB/V1。X1HV1V1a1b1空间分析：换H面行吗？不行！作图：
6、例：求直线AB的实长及与H面的夹角。ababXVH新投影轴的位置？a1b1与ab平行。.182 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线功用:一次换面后可用于求点与直线,两直线间的距离等。问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。X1VHXABababH1a1 b1X1H1Va1 (b1)XV Habab19a1 b1VHaaXBbbA3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线 空间分析：ababXVHX1H V1V1H1 X2作图：X1V1a1b1X2H1二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a1b1ax2a1b1.与a1 b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；20例1： 已知等
7、腰三角 形ABC的底边 为AB，试用 换面法求出等 腰三角形ABC 的正面投影。abXV HcabX1HV1b1c1a1ce e121一般位置直线变换 成投影面垂直线，需经 几次变换？abcabc dVHABCDXd如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。V1X1c1b1a1 d1空间分析：在平面内取一条 投影面平行线，经一 次换面后变换成新投 影面的垂直线，则该 平面变成新投影面的 垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？ 正平线！4. 把一般位置平面变换成投影面垂直面22功用：
8、可求解平面与投影面的倾角， 点与平面的距离，两平行面间的距离等。问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新 轴必须垂直于该平行线反映实长的那个投影。23abcacbXV H例2：把三角形ABC变换成投影面垂直面。H V1X1作 图 过 程： 在平面内取一条水平线AD。 dd 将AD变换成新投影面的垂直线。b1 a1 d1c1 反映平面对哪 个投影面的夹角？.245 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面功用： 一次换面后 可求解平面实形、夹角等问题的关键： 新投影轴必须 平行于该平面 的积聚性投影 。VbacHV1ABCbaa1c1b1X1c25a1b1需经几次变换？一次换面, 把一般位置平面
9、变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2V1H16. 把一般位置平面变换成投影面平行面a bacbXV Hc作 图：AB是水平 线空间分析：a1 c1b1c1X2轴的位置？平面的实形.X1HV1.与其平行26例3：已知直线AB与CDE平面平行，且相距 20mm，求直线AB的水平投影。XVHedcdecaba1b1X1VH1c1e1 d1ba20mm271、求直线实长将直线变换成投影面的平行线。 2、求平面实形将平面变换成投影面的平行面。 3、求倾角 （1）直线与投影面将直线变换成投影面平行线。 （2）平面与投影面将平面变换成投影面的垂直面。 4、 求距离 （1）点与直
10、线之间a 将直线变换成投影面垂直线。b 将点与直线组成的平面变换成投影面的平行面。五、换面法的应用28（2） 点与平面之间将平面变换成投影面垂直面。 （3） 两平行线之间将两直线变换成投影面垂直线。 （4） 两平行平面之间将两平面变换成投影面垂直面。5 、求夹角（1）两直线之间将两直线组成的平面变换成投影面平行面。 （2）两平面之间将两平面变换成投影面的垂直面，即应将两平面的 交线变换成投影面的垂直线。 29b1距离dd1 X1H V1X2V1H1c1d例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。ccbaabXV H如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。AHB
11、DCcabd作图:求C点到直线AB的距离， 就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1a1a1b1d1 过c1作线平行于x2轴。. .如何确定d1 点的位置？30baa bcdc例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MNmda1 b1 m1n1c1d1n空间及投影分析：V HXHV1X1圆半径=MNnm当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1c1d1。P1AC DNMc1d1a1m1b1n1B作图：请注意各点的投 影如何返回？ 求m点是难点。.31空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投
12、影 的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平 面变换成投影面平行面。例3: 过C点作直线CD与AB相交成60角。dX1HV1X1V1H1a bacbXV Hc作 图：c1c1a1 b1a1d1 db1几个解？ 两个解！已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60D点的投影 如何返回？.32P2P1X2H P1 X1cdbadacbd1c1a1d2b1c2a2 b2 VHX例4：求平面ABC和ABD的两面角。 空间及投影分析：由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交 时所得两交线之间的夹角。在投影图中, 两平面的交
13、线垂直于投影面时，则两平面 垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为 所求。.33 小 结 一、 全等三角形法：准确的画出该直角三角形二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。34换面法的四个基本问题：2. 把一般位置直线变成投影面垂直线1. 把一般位置直线变成投影面平行线3. 把一般位置平面变成投影面垂直面4. 把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线35作业复习！认真阅读课本，着重例题及图形！ P4 ：T3 P14: T2、4 P15: T3、436
