《考研数学 D9考研基础班》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学 D9考研基础班（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 重 积 分 一元函数积分学多元函数积分学重 积 分曲线积分曲面积分二重积分的定义及计算三重积分的定义及计算重积分的应用1一、二重积分的定义及计算1.定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I , 使可积 , 在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域 D上的有界函数 , 则称称为积分变量2说明：表示一个确定的数值， 它只与有关， 与D的分割法、的取法、积分变量所使 用的字母无关，即(1 )(2)当在闭区域D上连续时， 定义中和式的极限必存在， 即二重积分必存在.(3)底为D，顶为的曲顶柱体的体积为：平面薄片的质量为：3（4）二
2、重积分的几何意义即当被积函数大于零时，当被积函数小于零时， 二重积分二重积分是柱体的体积特殊地：若在D上,则D的面积是柱体的体积的负值.？4则面积元素为： D（5）直角坐标系下的面积元素 如果 在D上可积,也常二重积分记作：这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作：？5性质(k为常数)性质(二重积分与定积分有类似的性质)2. 二重积分的性质性质性质 若 为D的面积，性质 若在D上则有6性质6（二重积分中值定理）(二重积分估值不等式)设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积， 则性质7设函数f(x,y)在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一
3、点使得7例1. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则的大小顺序为( ) 提示: 因 0 y 1, 故故在D上有:83. 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性简化 计算二重积分.9注意:10例2.(2005)解:由轮换对称性，有114. 二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）Y型X型如果积分区域为：如果积分区域为：外限定限方法-投影法内限定限方法-平行线穿越法125.二重积分在极坐标系下的计算公式13说明： (1)何时用极坐标？(2)应掌握化极坐标系下的二重积分为二次积分. 定限方法-射线穿越法：146. 计算二重积分的步骤及注意事项 画出积分域 选择
4、坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便区域边界应尽量多为坐标线.被积函数关于坐标变量易分离.积分域分块要少.累次积分好算为妙(首先内积分易积).(充分利用对称性，几何意义和性质等)“平行线穿越法”“射线穿越法”15解:例3.如图则xyo1116例4. 计算其中D是由所围的区域 . 解:xyox=y+2(4,2)(1,-1)-12区域D的图形如右阴影部分，解方程组得交点坐标为(1,-1),(4,2),则D：于是17解: 直接用对称性.x xo oy y-1-11 11 1y=xy=x18例6. 计算二重积分 其中积分区域为11 解: 如图，记于是19例7. 计算二重积分其中D 是由曲线所围成
5、的平面域 .解:其形心坐标为:面积为:积分区域形心坐标x xo oy y-1-12 220例8. 如图所示交换下列二次积分的顺序:解:改变积分次序 的一般步骤：(1)由二次积分将区域D用不等式组表示 ; (2)由上面不等式组作出D的图形； (3)改写成另一形式即可. 21例9. 将表示为极坐标下的累次积分解:在极坐标系下,可表示为：于是 原式22例10. 设f(x)连续,则等于2006 可表示为：解:23二、三重积分的定义及计算说明： (1)叫体积元素.(3)在直角坐标系中：于是， 三重积分记为：其中叫做直角坐标系中的体积元素. 24可推广到三重积分上面可推广到三重积分上面. .二重积分的相关
6、术语及性质，二重积分的相关术语及性质，251. 利用直角坐标计算三重积分 方法1、“先一后二”方法2、“先二后一”又叫“投影法”又叫“截面法”26定限方法：1.将空间闭(积分)区域投影到xoy面上， 得投影区域Dxy;的射线穿越闭区域若入口面的方程为出口面的方程为则z的范围为：“投影法”2.在投影区域Dxy内任取一点(x,y),过该点作平行于z轴3.写出三重积分的累次积分形式注意:27外限定限方法-投影法 内限定限方法-平行线穿越法28截面法的定限方法:xyzo z292. 利用柱坐标计算三重积分 规定：规定：柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为: :设设( (x x, ,y,
7、zy,z) )为空间内一点，为空间内一点， 并并设点设点在在xoyxoy面上的投面上的投 影影的的极坐标为极坐标为则则叫叫点点的的柱面坐标柱面坐标. .(1)柱面坐标的定义：圆柱面； 半平面； 平 面=常数 =常数 =常数坐标面分别为:30在柱面坐标系中体积元素为因此实际上就是把“先一后二”中的“二”用极坐标计算.适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 313. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系:坐标面分别为:球面半平面 锥面常数常数 常数(1)球面坐标的定义：32在球面坐标系中体积元素为 因
8、此有注意：球面坐标适用范围: 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 33例1.xoyx+y=111 D计算三重积分，其中为三个坐标面所围成的闭区域.及平面解:34例2. 利用柱面坐标计算三重积分其中解: (1) 画 图(2) 确定 z， 的上下限将 向 xoy 面投影，得用极坐标表示为过 (, )D 做平行于 z 轴的直线,得35即于是另解 用截面法：36结论结论1 1补充：利用对称性化简三重积分计算37如果积分区域 关于平面 对称（轮换对称性）特别地则注： 关于 对称，即 互换， 保持不变.结论结论2 238例3.解:利用对称性39例4. 设由锥面和球面
9、所围成 , 计算解:（利用对称性）（用球坐标） 40三、重积分的应用问题：满足什么条件的量可用重积分解决？1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性分布在有界闭域上的整体量 2. 用重积分解决问题的方法 -元素法41元素法的步骤：把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.421. 几何方面： （1）面积平面域D的面积曲面面积公式设光滑曲面（2）立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为43解:xoyxzy=？44xoy面积为积为45例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解: 在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积
10、为46质量, 质心,转动惯量,引力 2. 物理方面：47则得：则薄片的质心坐标为：48例3.解:49古鲁金第二定理： 平面有界闭区域D绕该平面内不与 它相交的直线旋转而成的旋转体，其体积等于D的面 积与D的形心坐标所划出的圆周之长的乘积. 证明：用元素法如图，取D绕x轴旋转，取一个小区域旋转体的体积为：由于D的形心坐标为：故50(3) 转动惯量因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 51得：5253解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则球体的质量例4.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 5455G 为引力常数推广到空间立体 ： 设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,其密度函数56
