理论力学4—空间力系01

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1、第四章 空间力系第四章 空间力系 空间汇交力系 力对轴之矩和力对点之矩 空间力偶系 空间力系的简化 空间力系的平衡条件和平衡方程 物体的重心1. 合成将平面汇交力系合成结果推广得：合力的大小和方向为：4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡或2. 平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合 力等于零。以解析式表示为：4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系力系 中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于 零。4.2 力对点的矩和力对轴的矩4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z )hB空间力对点的矩的作用效果 取决

2、于：力矩的大小、转向和力 矩作用面方位。这三个因素可用 一个矢量MO(F)表示，如图。其模 表示力矩的大小；指向表示力矩 在其作用面内的转向(符合右手螺 旋法则)；方位表示力矩作用面的 法线。由于力矩与矩心的位置有 关，所以力矩矢的始端一定在矩 心O处，是定位矢量。4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢以r表示力作用点A的矢径，则以矩心O为原点建立坐标系，则xyzOFMO(F)rA(x,y,z )hBjik4.2.1 力对点的矩以矢量表示力矩矢力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投 影为xyzOFMO(F)rA(x,y,z )hBjik力F对z 轴的矩定义为：力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果 的

3、度量，是一个代数量，其绝对值等于 力在垂直于该轴平面上的投影对于轴与 平面交点的矩。4.2.2 力对轴的矩xyzOFFxyhBAab符号规定：从z轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号，反之 取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：(1)当力的作用线与轴平行或相交(共面)时，力 对轴的矩等于零。(2)当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变 。4.2.3 力对轴的矩的解析表达式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy设力F沿三个坐标轴的分量分别为Fx， Fy，Fz，力作用点A的坐标为(x,y,z)，则同理可得其它两式。故有比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得：即：

4、力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力 对该轴的矩。4.2.4 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系力偶由一个平面平行移至刚体另一个平行平 面不影响它对刚体的作用效果。4.3空间力偶4.3.1 空间力偶的性质AFFRR BOF2A1F1B1F2F1由力偶的性质可知：力偶的作用效果取决于力偶矩 的大小、力偶转向和作用面方位。因此可用一矢量M表 示：选定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指 向按右手螺旋法则表示力偶的转向； M的作用线与力偶 作用面的法线方位相同。如图所示。 M称为力偶矩矢。力偶矩矢为一自由矢量。空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。FMF4.3.2 力偶的矢量表

5、示4.3.3 空间力偶等效定理力偶作用面不在同一平面内的力偶系称为 空间力偶系。空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶 ，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：4.3.4 空间力偶系的合成空间力偶系可以合成一合力偶，所以空间力偶系平 衡的必要与充分条件是：合力偶矩矢等于零。即：因为：所以：上式即为空间力偶系的平衡方程。4.3.5 空间力偶系的平衡空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力 偶系，如图。4.4 空间力系向一点的简化主矢与主矩FnF1F2yzxOF1FnF2MnM2 M1zy xOMOFR Oxyz4.4.1 空间任意力系向一点的简化结论：空间力系向任一点O简化，可得一力和一力

6、偶，这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通 过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心 的主矩。4.4.1 空间力系向一点的简化4.4.2 空间任意力系的简化结果分析空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况： (1) FR0，MO0 ; (2) FR 0，MO 0 ; (3) FR 0，MO0 ; (4) FR0，MO 0 1) 空间任意力系简化为一合力偶的情形 FR0，MO0简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶 矩矢等于对简化中心的主矩。此时力偶矩矢与简化 中心位置无关。FR 0，MO 0这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简 化中心O，其大小和方向等于原力系的

7、主矢。4.4.2 空间任意力系的简化结果分析2) 空间任意力系简化为一合力的情形FR 0，MO0 ，同时两者既不平行，又不垂直，此时 可将MO分解为两个分力偶M“O和MO，它们分别垂直 于FR和平行于FR，则M“O和FR可用作用于点O的力 FR来代替，最终得一通过点O 的力螺旋。MOFRq OM“ OFROMOFROOMO4.4.2 空间任意力系的简化结果分析4.5 空间任意力系的平衡方程4.5.1 空间任意力系的平衡方程FR0，MO 0 =空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中各力 在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对三个 轴的矩的代数和也等于零。上式即为空间任意力系的 平衡方程。

8、4.5 空间任意力系的平衡方程4.5.2 空间约束类型例3 一车床的主轴如图a所示，齿轮C半径为100 mm，卡盘D夹住 一半径为50 mm的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。切削 时工件等速转动，车刀给工件的切削力Px466 N、Py352 N、 Pz1400 N，齿轮C在啮合处受力为Q，作用在齿轮C的最低点。 不考虑主轴及其附件的质量，试求力Q的大小及A、B处的约束反 力。 例4 一等边三角形板边长为a , 用六根杆支承成水平位置如图所 示.若在板内作用一力偶其矩为M。求各杆的约束反力。ABC16425330o30o30oABCM解:取等边三角形板为研究对象画受力图。ABC164253

9、30o30o30oABCMS1S2S3S4S5 S6ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5 S6例5 扒杆如图所示，立柱AB用 BG和BH两根缆风绳拉住，并 在A点用球铰约束，A、H、G 三点位于 xy平面内，G、H两 点的位置对称于y轴，臂杆的D 端吊悬的重物重P=20kN；求两 绳的拉力和支座A的约束反力。解：以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。列平衡方程：联立求解得：4-18解 :S5S4S6 S3S2S1F 500mm1000mmDCBADCBA例6 均质长方形板ABCD重G=200N，用球 形铰链A和碟形铰链B固定在墙上，并用绳

10、EC维持在水平位置，求绳的拉力和支座的反力。解：以板为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。解之得：例7 用六根杆支撑正方形板ABCD如图所 示，水平力 沿水平方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。解：以板为研究对象，受力如图，建立如图坐标。4.6 重心合力存在力的方向可以整体变化F1FRF2yzxOAC Br1rCr24.6.1平行力系中心平行力系中心是平行力系 合力通过的一个点。平行力系 合力作用点的位置仅与各平行 力的大小和作用点的位置有关 ，而与各平行力的方向无关。 称该点为此平行力系的中心。4.6 重心F1FRF2yzxOAC Br1rCr2重力是地球对物体的吸引力，如果将物

11、体 由无数的质点组成，则重力便构成空间汇交力 系。由于物体的尺寸比地球小得多，因此可近 似地认为重力是个平行力系，这力系的合力就 是物体的重量。不论物体如何放置，其重力的 合力的作用线相对于物体总是通过一个确定的 点，这个点称为物体的重心。4.6.2 重心对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分 别为：4.6.2 重心均质物体的重心就是几何中心，即形心。4.6.3 确定物体重心的方法1 简单几何形状物体的重心如果均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则 该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或 对称中心上。简单形状物体的重心可从工程手册上查 到。2）图示弓形面积可看成由扇形OAMB去

12、掉三角形OAB得到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面积， 重心位置查表可得；故所求弓形体物块的重心的坐标为例8 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧AMB与弦 AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。 解 1）在物块的对称面上建立图示 直角坐标系oxy，由对称性知，弓形 体物块的重心必在x轴上，故yc=0。扇形OAMB的面积其重心位置：三角形OAB的面积其重心位置：4.6.3 确定物体重心的方法2 用组合法求重心如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而这些物体的重 心是已知的，那么整个物体的重心可由下式求出。1）分割法2）负面积法若在物体或薄板内切去一部分（例如有空穴或孔的物体），则这 类物体的重心，仍可应用与分割法相同的公式求得，只是切去部 分的体积或面积应取负值。例9 求图示均质板重心的位置。解一：（组合法）建立如图坐标：解二：（负面积法）xyaaaaC1C2OxaaaaC2C1Oy3 用实验方法测定重心的位置1）悬挂法2）称重法