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1、第9章习 题 课第九章第九章 机械振动与机械波机械振动与机械波机械振动简谐振动 的特征简谐振动 的描述简谐振动 的合成阻尼振动 受迫振动简谐振动机械波机械波的 产生机械波的 描述波动过程中 能量的传播波在介质中 的传播规律回复力：动力学方程：运动学方程：能量：简谐振动的特征动能势能相互转化简谐振动的描述一、描述简谐振动的物理量 振幅A： 角频率 ：周期 T 和频率 ： 相位( t + ) 和 初相 ：相位差 ：的确定！1、解析法2.振动曲线法3、旋转矢量法：二、简谐振动的研究方法A -A 1.同方向、同频率的简谐振动的合成：简谐振动的合成驱动力作正功 = 阻尼力作负功逐渐耗尽守恒能 量振动曲线
2、先变化后稳定。逐渐减小振 幅频 率受 力受 迫 振 动阻尼振动简谐振动 运动形式阻尼振动 受迫振动速度共振 位移共振机械波的产生1、产生的条件：波源及弹性媒质。 2、分类：横波、纵波。3、描述波动的物理量： 波长 ：在同一波线上两个相邻的相位差为2 的质元之间的距离。 周期T ：波前进一个波长的距离所需的时间。频率 ：单位时间内通过介质中某点的完整波的数目。波速u ：波在介质中的传播速度为波速。各物理量间的关系：波速u : 决定于媒质。仅由波源决定，与媒质无关 。机械波的描述波前波面波线波线波前波面1、几何描述：2、解析描述：1）能量密度：3）能流密度(波的强度)：2）平均能量密度：基本原理：
3、传播独立性原理，波的叠加原理。波动过程中能量的传播波在介质中的传播规律1）相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定波的干涉现象：波的反射（波疏媒质 波密媒质 界面处存在半波损失 ）干涉减弱 ：2）加强与减弱的条件：干涉加强：3）驻波（干涉特例）波节：振幅为零的点波腹：振幅最大的点能量不传播多普勒效应： （以媒质为参考系）1）S 静止，R 运动2）S 运动，R 静止一般运动：习题类别：振动：1、简谐振动的判定。（动力学）（质点：牛顿运动定律。刚体：转动定律。）2、振动方程的求法。由已知条件求方程由振动曲线求方程。3、简谐振动的合成。波动：1、求波函数（波动方程）。由已知条件求方程由振动曲线求
4、方程。由波动曲线求方程。2、波的干涉（含驻波）。 3、波的能量的求法。4、多普勒效应。相位、相位差和初相位的求法：解析法和旋转矢量法。1、由已知的初条件求初相位：已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。已知初位置的大小、正负以及初速度的正负。例1已知某质点振动的初位置 。 例2已知某质点初速度 。2、已知某质点的振动曲线求初相位：已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。例3已知某质点振动的初位置 。 注意！由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始条件确定初相位。若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t = 0 时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。关键：确定振动初速度的正负。考
5、虑斜率。例4 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。求： 1）该质元的振动初相。2）该质元在态A、B 时的振动相位分别是多少？2）由图知A、B 点的振动状态为：由旋转矢量法知：解：1）由图知初始条件为：由旋转矢量法知：3、已知波形曲线求某点处质元振动的初相位：若已知某时刻 t 的波形曲线求某点处质元振动的初相 位，则需从波形曲线中找出该质元的振动位移 y0 的大小 和正负及速度的正负。关键：确定振动速度的正负。方法：由波的传播方向，确定比该质元先振动的相邻质元的位移 y 。比较y0 和 y 。由图知：对于1：对于2 ：思考? 若传播方向相反时振动方向如何？例5一列平面简谐波某时刻的波动曲线如图
6、。求：1）该波线上点A及B 处对应质元的振动相位。2）若波形图对应t = 0 时，点A处对应质元的振动初相位。3）若波形图对应t = T/4 时，点A处对应质元的振动初相位。 解：1）由图知A、B 点的振动状态为：由旋转矢量法知：2）若波形图对应t = 0 时，点A 处对应质元的振动初相位：3）若波形图对应t = T/4 时，点A处对应质元的振动初相位：求振动方程和波动方程（1）写出x=0处质点振动方程；（2）写出波的表达式；（3）画出t=1s时的波形。例1.一简谐波沿x轴正向传播，=4m, T=4s, x=0处振动曲线如图：解 ：解：1）由题意知：传播方向向左。 设波动方程为：由旋转矢量法知
7、：2）例2 一平面简谐波在 t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P 的运动方向向下 , 。求：1）该波的波动方程；2）在距O点为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。例3 位于 A,B两点的两个波源,振幅相等,频率都是100赫兹， 相位差为 ,其A,B相距30米，波速为400米/秒，求: A,B 连线 之间因干涉而静止各点的位置。解：取A点为坐标原点，A、B联线为x轴，取A点的振动方程 :在x轴上A点发出的行波方程：B点的振动方程 :在x轴上B点发出的行波方程：因为两波同频率同振幅同方向振动,所以相干为静止的点满足：相干相消的点需满足：可见在A、B两点是波腹处
8、。则有：解:设入射波的波函数为：合振动为：例题4：如图，一平面简谐波沿ox轴正向传播，BC为波密媒质 的反射面，波由P点反射，OP=3/4,DP=/6.在t=0时点O处的 质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求点D处入射波 与反射波的合振动方程（设振幅都为A,频率都为）。入射反射将D点的坐标代入上式，有所以有故有：又由例5. 设设入射波的表达式为为 反射点为为一固定端设设反射时时无能量损损失，求 (1) 反射波的表 达式； (2) 合成的驻驻波的表达式； (3) 波腹和波节节的位置 解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变变p，且反射波振 幅为为A，因此反射波的表达式为为 (3) 波
9、腹位置： 波节节位置： , n = 1, 2, 3, 4,在x = 0处发生反射，(2) 驻驻波的表达式n = 1, 2, 3, 4,在均匀不吸收能量的媒质中传播的平 面波在行进方向上振幅不变。借助于上式和能量守恒可讨论波传播时振幅的变化：讨论: 平面波和球面波的振幅证明：因为在一个周期内通过和面的能量应该相等所以,平面波振幅相等：由于振动的相位随距离的增加而 落后的关系，与平面波类似，球 面简谐波的波函数：球面波所以振幅与离波源的距离 成反比。如果距波源单位 距离的振幅为A则距波源r处的振幅为例6 一个点波源位于O点，以O为圆心作两个同心球面，半径分别为R1 、R2 。在两个球面上分别取相等
10、的面积S 1和 S 2，则通过它们的平均能流之比P 1 / P2为：1、已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间的单位为秒，则简谐振动的振动方程为： C 习习 题题2、图示为一向右传播的简谐波在 t 时刻的波形图，BC为波密介质的反射面，P点反射，则反射波在 t 时刻的波形图为: B （A ）（B ）（C ）（D ）3、一平面简谐波沿 x 轴负方向传播。已知 x = x0 处质点的振动方程为 。若波速为u，则此波的波动方程为： A 4、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为其合成运动的运动方程为 x = ( )5、已知三个简谐振动曲线，则振动方程分别为：6、两相干波源S 1 和 S 2 的振动方程是， S 1 距P 点 6 个波长， S 2 距P 点为13 / 4个波长。两波在P点的相位差的绝对值为？例一平面简谐波沿Ox 轴的负向传播，波长为 ，P 处质点的振动规律如图。求： 1）P 处质点的振动方程。2）该波的波动方程。3）若图中 ，求坐标原点O 处质点的振动方程。解：1）设P点的振动方程为：由旋转矢量法知：2）设B点距O点为x，则波动方程为：3）法1x = 5m 处的振动方程为：反射波在该点引起的振动方程为：反射波的波函数为：法2O点的振动方程为：反射波到达x 处引起的振动方程 即波函数为：
