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1、7.1 稳态误差的基本概念7.2 输入引起的稳态误差7.3 干扰引起的稳态误差7.4 减小系统误差的途径第七章第七章 控制系统的误差分析和计算控制系统的误差分析和计算对控制系统的基本要求：稳定准确快速前一章已经讨论了稳定性问题，这一章重点讨论系 统的精确度。对于稳定的控制系统，评价它的稳定 性能一般是根据系统在阶跃，斜坡或加速度等输入 信号作用下引起的稳态误差，因此说稳态误差是系 统控制精确度的一种度量，一个控制系统，只有在 满足要求的控制精度的前提下，再对它进行过渡过 程分析才有意义。误差静差：由元件不完善造成的；稳态误差： 不能很好跟踪输入信号造成的； 由于扰动引起的。自动控制中元件的不完
2、善，如静摩擦、间隙及放 大器的零点漂移、元件老化或变质都会造成误差 ，称为静差。但这一章并不去研究上述原因造成 的静差，只研究由于系统不能很好跟踪输入信号 而引起的稳态误差，或者由于扰动作用引起的误 差，即原理性误差。第一节 控制系统的稳态误差概念一、偏差、误差、稳态误差的定义偏差信号E(s)是指参考输入信号X(s)和反馈信号 B(s)之差，即（7-1）误差信号(s)是指被控量的期望值Yd(s)和被控量的 实际值Y(s)之差，即由控制系统的工作原理知，当偏差E(s)等于零时， 系统将不进行调节。此时被控量的实际值与期望值 相等。于是由公式（7-1）得被控量的期望值Yd(s)为（7-2）（7-3
3、）将式（7-3）带入式（7-2）求得误差(s)为:（7-4）由式（7-1）和式（7-4）得误差与偏差的关系为:图7-1系统中，虚线部分就是误差所处的位置，由 图7-1可知误差信号是不可测量的，只有数学意义 。对于单位反馈系统，误差和偏差是相等的。对 于非单位反馈系统，误差不等于偏差。但由于偏 差和误差之间具有确定性的关系，故往往也把偏 差作为误差的度量。 （7-5）（7-6 ）二、稳态误差对式（7-5）进行拉氏反变换，可求得系统的误差 (t) 。对于稳定的系统，在瞬态过程结束后，瞬 态分量基本消失，而(t)的稳态分量就是系统的 稳态误差。应用拉氏变换的终值定理，很容易求 出稳态误差： （7-7
4、7-7）一、误差传递函数与稳态误差一、误差传递函数与稳态误差首先讨论单位反馈控制系统，如图7-2所示。其闭 环传递函数为 第二节 输入引起的稳态误差误差(s)为 图7-2 单位反馈系统 误差传递函数 根据终值定理，系统的稳态误差为 （7-8） 如果为非单位反馈系统，如图7-3所示。其偏差的 传递函数为 图7-3 非反馈控制系统 （7-9） 稳态偏差为 （7-10） 系统的稳态误差为 （7-11） 即（7-12） 从式（7-8）和式（7-11）可以看出，系统的稳态 误差取决于系统的结构参数和输入信号的性质。 例 -从物理意义上解释：（7-13）图7-2所示的单位反馈系统，其开环传递函数G(s)，
5、 可写成下面形式：系统按开环传递函数所包含的积分环节的数目不 同，即N=0、N=1、N=2分别称为0型、型、 型系统，型以上的系统则很少，因为此时系 统稳定性将变差。 二、静态误差系数静态误差系数1静态位置误差系数Kp系统对阶跃输入X(s)=R/s的稳态误差称为位置误 差，即 （7-147-14） 静态位置误差系数Kp定义为（7-167-16）所以 （7-157-15）由于系统的结构不同，系统的开环传递函数G(s) 是不同的，因而K Kp p也就不同。 (1) 0 (1) 0 型系统（型系统（N N=0=0）静态位置误差系数为：稳态误差： (2)(2)型系统（型系统（N N=1=1）静态位置误
6、差系数为： 稳态误差稳态误差 ：(3)(3)型系统（型系统（N N=2=2）静态位置误差系数为静态位置误差系数为K Kp p=，稳态误差，稳态误差ssss=0=0。图图7-4 7-4 所示为单位反馈控制系统的单位阶跃响应所示为单位反馈控制系统的单位阶跃响应 曲线，其中图曲线，其中图7-4a7-4a为为0 0型系统；图型系统；图7-4b7-4b为为型或型或 高于高于型系统。型系统。 图图7-4 7-4 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线（ 7-17 ）静态速度误差系数Kv定义为： （ 7-18） 2. 静态速度误差系数Kv系统对斜坡输入X(s)= R/s2的稳态误差称为速度误 差，即所以 （ 7-
7、19） (1) 0 (1) 0 型系统（型系统（N N=0=0） 静态速度误差系数为：稳态误差： (2)(2)型系统（型系统（N N=1=1）静态速度误差系数为：静态速度误差系数为：稳态误差： (3)(3)型系统（型系统（N N=2=2） 静态速度误差系数为：静态速度误差系数为：稳态误差： 图7-5为单位反馈系统对单位斜坡输入的响应曲线 。其中，a、b、c分别为0型、型、型（或高于 型）系统的单位斜坡响应曲线及稳态误差。 图7-5 单位斜坡响应曲线 上述分析表明，0型系统不能跟踪斜坡输入；型系统能跟踪斜坡输入，但有一定的稳态误差 （见图7-5b），开环放大系数K越大，稳态误差越 小；型或高于型
8、的系统能够准确地跟踪斜坡输入 ，稳态误差为零（见图7-5c）。（ 7-20 ） 静态加速度误差系数静态加速度误差系数K Ka a定义为：定义为：（ 7-21 ）3 3、静态加速度误差系数、静态加速度误差系数K Ka a系统对加速度输入系统对加速度输入 X X( (s s)= )= R R/ /s s3 3的稳态误差称为加的稳态误差称为加 速度误差，即：速度误差，即：所以 （ 7-22 ）(1) 0 (1) 0 型系统（型系统（N N=0=0）静态加速度误差系数为： 稳态误差 ：(2) (2) 型系统（型系统（N N=1=1）静态加速度误差系数为： 稳态误差： (3)(3)型系统（型系统（N N
9、=2=2） 静态加速度误差系数为： 稳态误差 ：图图7-67-6为为型单位反馈系统对单位加速度输入信号型单位反馈系统对单位加速度输入信号 的响应曲线和加速度误差。由以上讨论可知，的响应曲线和加速度误差。由以上讨论可知，0 0型型 和和型系统都不能跟踪加速度输入信号；型系统都不能跟踪加速度输入信号；型系型系 统能够跟踪加速度输入信号，但有一定的稳态误统能够跟踪加速度输入信号，但有一定的稳态误 差，其值与开环放大系数差，其值与开环放大系数K K成反比。成反比。 图7-6 单位加速度输入的响应曲线 表7-1 单位反馈系统稳态误差 ss系统 类型输入信号阶跃 x(t)=R斜坡 x(t)=Rt加速度0型
10、型0型00三、其它输入信号时的误差三、其它输入信号时的误差如果系统承受除三种典型信号之外的某一信号如果系统承受除三种典型信号之外的某一信号 x x( (t t) ) 输入，此信号输入，此信号x x( (t t) )在在t t=0=0点附近可以展开成泰点附近可以展开成泰 勒级数为勒级数为 ：如果信号变化较为缓慢，其高阶项为微量，可以如果信号变化较为缓慢，其高阶项为微量，可以 忽略，取到二次项，输入信号为忽略，取到二次项，输入信号为这样，可以把输入信号这样，可以把输入信号x x( (t t) )看作阶跃函数、斜坡看作阶跃函数、斜坡 函数和加速度函数的合成，根据线性系统的叠函数和加速度函数的合成，根
11、据线性系统的叠 加原理，则对应于每种输入函数的稳态误差加原理，则对应于每种输入函数的稳态误差ss 可由表可由表 7- 17- 1查出，最后将这些误差叠加起来就可查出，最后将这些误差叠加起来就可 以得到总稳态误差。以得到总稳态误差。例 已知系统的结构如图所示，输入为 。求系统的稳态误差。解： 开环传递函数为I型，K=5-小结：1. 同一系统，输入信号不同，系统的稳态误差不同。2. 位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入是阶 跃、斜坡、加速度输入时所引起的输出上的误差。3. 对于单位反馈控制系统，稳态误差等于稳态偏差。4. 对于非单位反馈控制系统，先求出稳态偏差，再按 式（7-12）求出稳态误差
12、。5. 如为非阶跃、斜坡、加速度输入信号时，可把输入 信号在时间附近展开成泰勒级数，这样，可把控制 信号看成几个典型信号之和，系统的稳态误差可看 成是上述典型信号分别作用下的误差之和。第三节第三节 存在扰动时的存在扰动时的稳态误差稳态误差控制系统除给定输入作用外，还经常有各种扰动控制系统除给定输入作用外，还经常有各种扰动 输入，因此，在扰动作用下的稳态误差值的大小输入，因此，在扰动作用下的稳态误差值的大小 ，反映了系统的抗干扰能力。，反映了系统的抗干扰能力。 图图7-77-7所示的系统同时受到输入信号所示的系统同时受到输入信号X X( (s s) )和扰动信和扰动信 号号N N( (s s)
13、)的作用，它们所引起的稳态误差，要在输入的作用，它们所引起的稳态误差，要在输入 端度量并叠加。端度量并叠加。 图7-7 存在给定与扰动作用的闭环系统 求输入信号求输入信号X X( (s s) )作用下的稳态偏差，可令作用下的稳态偏差，可令N N( (s s)=0)=0， 则：则：（7-237-23） 因此因此 （7-247-24） 求扰动信号N(s)引起的稳态偏差，可令X(s)=0，先 求输出信号对扰动输入信号的传递函数：则系统在扰动信号的作用下的偏差为：（7-25）（7-26） 系统在输入信号和扰动信号作用下的总稳态偏差为：系统在输入信号和扰动信号作用下的总稳态偏差为： （ 7-27 7-2
14、7 ） 总的稳态偏差为：总的稳态偏差为： （ 7 -28 7 -28 ）总的稳态误差为：总的稳态误差为： （ 7 -29 7 -29 ）例7-1 一个调速系统如图7-8所示，当输入电压为 10 V时，试求角速度的稳态误差。 解：由于系统为非单位反馈系统，所以系统角速解：由于系统为非单位反馈系统，所以系统角速 度的稳态误差为度的稳态误差为 图7-8 调速系统 系统的开环传递函数为：由上式可见，系统为0型系统，开环放大倍数K=100 ，系统输入为阶跃函数，即，U(s)=10rad/s，查表 7- 1 可得稳态偏差为： 由图7-8可知H(0)=0.1，角速度的稳态误差为 例7-2 某一仿形铣床加工一
15、圆形零件，其系统为 单位反馈系统。当仿形指的最高速度为 0.5 rad/s 时，为使误差不大于0.5（0.00087rad），系统应 为何种类型？其Kv应为多少？解：由于仿形指为斜坡输入，即 x(t) = 0.5t ，则 X(s)=0.5/s2，而ss=0.00087rad，为使刀具能很好跟踪 仿形指，所以系统应为型系统，查表7-1，可得： （1/s） 例例7-3 7-3 如图如图7-97-9所示的电液伺服阀的指令输入为所示的电液伺服阀的指令输入为 i i( (t t)= 0.01)= 0.01（A A），挡板组件受热变形造成的挡板），挡板组件受热变形造成的挡板 角位移干扰输入为角位移干扰输入
16、为 f f( (t t) = - 0.000314 ) = - 0.000314 radrad ，求这两，求这两 个输入造成的稳态误差个输入造成的稳态误差ss。图7-9 电液伺服阀方块图 解：由于系统为非单位反馈系统，所以系统输 出量xv(t)的稳态误差为 对于具有给定输入与扰动输入而引起总的稳态偏 差ess，可分别求出给定输入与扰动输入引起的稳 态偏差essx 、essn ，再按叠加原理，即可得到 而对照图对照图 7-9 7-9 和图和图 7-7 7-7 可得：可得： 因此，代入上述各值后得因此，代入上述各值后得得由于H(0)=9，所以系统输出量xv(t)的稳态误差为 第四节、减小稳态误差的方法第四节、减小稳态误差的方法 一提高系统的开环增益一提高系统的开环增益求在单位阶
