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1、1/27一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线第七节 偏导数的几何应用三、小结四、作业2/27设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.1. 空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面3/27考察割线趋近于极限位置上式分母同除以割线 的方程为切线的过程4/27曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线在点 M 处的切向量.过M点且与切线垂直的平面.5/27解 .切线方程法平面方程例1.即6/27设曲线直角坐标方程为法平面方程为2. 空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0, y0, z0)处,令切线方程为x为参数,两个柱面的交线7/27例2.
2、 在抛物柱面 与 的交线上,求对应 的点处的切向量.x为参数,于是 解.所以交线上与对应点的切向量为:交线的参数方程为取8/27设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组两边分别对表示.)x求全导数:两个曲面 的交线9/27利用2.结果, 10/27法平面方程为切线方程为在点 M(x0, y0, z0)处的11/27解.例3.切线方程和法平面方程.切线方程将所给方程的两边对x求导法一12/27法平面方程法二13/27法三 公式法14/27设曲线证.因原点即于是证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为故有在法平面上,任
3、取曲线上一点例4.15/27今在曲面上任取一条1. 设曲面的方程为的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线函数的偏导数在该点连续且不同 时为零.点M 对应于参数不全为零.过点M 的曲线,设其参数 方程为16/27由于曲线在曲面上, 所以在恒等式两端对t 求全导数, 并令 则得若记向量曲线在点M处切线的方向向量记为 则式可改写成即向量 垂直. 17/27因为曲线是曲面上过点M的任意一条曲 线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直, 因此这些切线必共面,称为曲面在点M的过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面在点M的面在点M的18
4、/27曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量:切平面方程为法线方程为所以曲面上在点M的19/27解.令切平面方程法线方程例5.20/272. 曲面方程形为 的情形曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令或显式方程21/27其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与 z 轴的正向所成的角 是锐角, 则法向量的 方向余弦为注释1：关于22/27因为(第三个分量为负),求旋转抛物面 在任意点P(x, y, z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).解 .而为向下的法向量故向上的法向量应为:例6.23/27因为曲面在M处的切平面方程:全微分的几何意
5、义表示切平面上的点的竖坐标的增量.切平面 上点的 竖坐标 的增量注释2：24/27例7.解.过直线L的平面束方程为即 其法向量为求过直线L且与曲面相切之切平面方程.25/27设曲面与切平面的切点为则因而故所求切平面方程为或即或26/27解.令得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为( ).旋转面方程为练习27/27空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线三、小结(空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的 求法. 当空间曲线方程为一般式时,求切向量可 采用公式法、推导法或用向量代数法)(注意:空间曲面两种不同形式方程以及求法向 量的方向余弦时的符号)28/27四、作业习题6-7 (111页)3. 4. 6. 10.
