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1、机械信号处理与应用 Mechanical Signal Processing(MSP)教师：郝旺身 Tel:67781792 E_mail:第2章 信号处理中常用的数学变换 2.1 傅里叶变换 2.2 拉普拉斯变换 2.3 Z变换 2.4 希尔伯特变换2.1 傅里叶变换 2.1.1 傅里叶级数 2.1.2 傅里叶积分 2.1.3 傅里叶变换 2.1.4 卷积与相关函数1. 傅立叶级数2.1.1 傅里叶级数FS傅立叶系数 是第 次谐波的系数，所以在频率坐标轴上是离散的，间隔是 。2. 傅立叶变换：FTFS：若 是非周期信号，可以认为：由有频谱密度1. 对应连续非周期 对应连续周期；2. 连续 离
2、散3. 密度 强度请深刻理解FS和FT的定义，及 它们的区别与联系！FT存在的必要条件：说法1：说法2：因为因为所以，如果 是绝对可积的，那么它一定是平方可积的，但是反之不一定成立。例如，是平方可积的，但不是绝对可积的。所以，取更稳妥（即更严格）。周期信号： 可以实现傅里叶级数的分解，属于功率信号；非周期信号：可以实现傅里叶变换，属于能量信号；那么，周期信号可否实现傅里叶变换在经典数学的意义上是不可实现的，但在引入了奇异函数后可以实现。周期信号FS例：令 求其傅立叶变换。因为： 所以，严格意义上的傅立叶变换不存在，可将其展开为傅立叶级数：现利用 函数 将 作傅立叶变换：FSFT线谱2.1.2
3、傅里叶积分 表达式是 傅里叶积分存在的条件是x（t）分段连续 ，且在区间内绝对可积。2.1.3 傅里叶变换DTFT和Z变换的关系！（一）定义1. 是离散的，所以变换需要求和；2. 是 的连续函数；3. 是 的周期函数，周期为 ；4. 存在的条件是 空间（二）特点可以看作是将 在频域展开为傅立叶 级数，傅立叶系数即是 ；5. DTFT7. 由 可以得到 的幅度谱、 相位谱及能量谱，从而实现离散信号的频 频分析；6. 是 在单位圆上取值时的 变换： 8. 反变换四种傅立叶变换:1. 连续非周期 连续非周期() FT2. 连续周期 离散非周期 () FS3. 离散非周期 连续周期（ ） DTFT4.
4、 离散周期 离散周期 DFS 切实理解四种FT之间的对应关系四种傅立叶变换1. 线性2. 移位3. 奇偶、虚实性质（三）性质如果 是实信号，即如果 是实偶信号，即则 是 的实函数！4. 如果则：5. 如果则：时域卷积定理频域卷积定理！2.1.4 卷积与相关函数互相关：自相关：自相关函数的 DTFT 始终是 的实函数！DTFT2.2 拉普拉斯变换 2.2.1 拉普拉斯变换的概念 2.2.2 拉普拉斯变换的性质 2.2.3 拉普拉斯变换的应用2.3 Z变换 2.3.1 离散时间序列与Z变换 2.3.2 Z变换的性质 2.3.3 Z逆变换时域：复频域： 2.3.12.3.1 离散时间序列与离散时间序
5、列与Z Z变换变换Laplace 变换所以Fourier 变换 频域：所以，傅里叶变换是 仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。因为对离散信号，可否做拉普拉斯变换令 ：则：得到：拉普拉斯变换 对应连续信号变换 对应离散信号 离散信号 的 z 变换离散时间序列的 傅里叶变换， DTFT平面平面平面例例1 1：求序列：求序列 x x( (n n)= )= a an n u(u(n n) ) 的的Z Z变换。变换。 解：为保证收敛，则为保证收敛，则 收敛域收敛域Z Z平面平面若若 a a = 1, = 1, 则则例2：其他ROC:注意：Z变换的定义例例3 3：求序列：求序列 x x( (n n)= (1/3
6、)= (1/3)| |n| n| 的的Z Z变换。变换。 解：| |z|1/3z|1/3时，第二项收敛于时，第二项收敛于 ，对应于右边序列。，对应于右边序列。| |z|0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(- 2)z2+ |z|也位于收敛域内。 越大收敛越快。越大收敛越快。所以，收敛域在圆外所以，收敛域在圆外。 如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域 内，那么， 0|z| 的全部 z 值也位于 收敛域内。 所以，收敛域在圆内。所以，收敛域在圆内。 如果是双边序列，收敛域由圆环组成。收敛域收敛域右边序列的收敛域右边序列的收敛域收敛域收敛域左边序列的收敛域左边序列的收敛域收敛域收敛域
7、双边序列的收敛域双边序列的收敛域Z变换的收敛域逆Z变换当 时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单 阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外 X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有: 线性性2.3.2 Z变换的性质 序列的移位 序列乘指数序列（尺度性 ）返回返回返回返回Z变换的性质与定理 序列的反褶 序列的共轭 Z域微分性返回返回Z变换的性质与定理 初值定理 若x(n)为因果序列，它的初值为：若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以 有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有： 终值定理 卷积定理返回返回Z变
8、换的性质与定理 序列相乘（复卷积定 理） Parseval定 理返回返回Z变换的性质与定理 重抽样序列的Z变换 对序列抽取运算时，将序列x(n)以M：1抽取后形 成的新序列y(n)。两者之间的关系为： 逆Z变换2.3.3 Z逆变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为 逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。 逆Z变换的三种基本方法围线积分法部分分式展开法长除法（幂级数展开法） 围线积分法式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。 逆Z变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点 如果 还满足在 有二阶或二
9、阶以上的零点， 则根据留数辅助定理，有: 若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， 等于围线C内全部极 点留数之和，即: 逆Z变换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被 积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题 得以简化。 例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处 可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计 算将方便得多。 如果 为单阶极点，按留数定理: 如果 为 阶极点，则其留数为: 求原序列x(n)已知某序列的Z变换为: 解:并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶 极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得:由于收敛域
10、为 ，可知该序列必定是因果序列。例1:逆Z变换逆Z变换例2：求原序列x(n)已知序列的Z变换为：解：a1/a收敛域|z|=|a|围线C 所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列 |z|=|1/a|在收敛域内作包围原定的围线C 部分分式展 开法逆Z变换用部分分式展开法求反Z变换，通常为有理分式。 1、单极点若序列为因果序列，且NM，当X(z)的N个极点都是单 极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：则其逆Z变换为：逆Z变换说明：1、X(z)较简单时可按算术展开求各系数 Ak(k=0,1,N) 。2、X(z)较复杂时可按留数定理求各系数 Ak(k=0,1,N)，此时为了方便通常利用X(z)/z的
11、形式求取：逆Z变换2、高阶极点 当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式 修改为：式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用 长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公 式为：逆Z变换例： 已知 ，求X(z)的原序列。 解：由求系数Ak的公式求得 因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列， 从而求得 将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式逆Z变换 长除法（幂级数展开 法）若把若把X X(z)(z)展开成展开成z z-1-1的幂级数之和，则该级数的各系数的幂级数之和，则该级数的各系数 就是序列就是序列 x x( (n
12、 n) ) 的值。的值。 在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左 边序列还是右边序列。对于左边序列Z变换为z的正幂 级数，分子分母多项式应按升幂排列展开；对于右边 序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列 进行展开。 典型例题用长除法求 的逆Z变换。 由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展 开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。例:解：即：逆Z变换逆Z变换例: 用长除法求的逆Z变换收敛域 为环域， x(n)必为双边序列。解：对右边序列 右边序列为: 对左边序列 左边序列为: 综上可得: 逆Z变换例: 求 的逆Z变换。由收敛域 知原序列应为因果序列。 的幂级数展开式为 故有 ，即： 用 代入上式，因解：序
