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1、工程统计学西南科技大学工业工程与设计系朱伏平*1第4章 单样本决策Date2第4章 单样本决策l l 统计学是一门有关统计数据的科学。它提供了探索数据内在规律统计学是一门有关统计数据的科学。它提供了探索数据内在规律 的一套方法，通过对数据得收集和分析，找出内在的数学规律。一般的一套方法，通过对数据得收集和分析，找出内在的数学规律。一般 来说，包括以下几类问题：来说，包括以下几类问题：一、一、参数参数估估计计计计的基本的基本问题问题问题问题( (The basic parameter estimation problemsThe basic parameter estimation proble
2、ms) )未知分布函未知分布函数数的估的估计计计计参数参数估估计计计计统计统计统计统计假假设检验设检验设检验设检验点估点估计计计计区区间间间间估估计计计计参参 数数 估估 计计计计 的的 几几 类类类类 问问问问 题题题题矩估矩估计计计计法法最大似然估最大似然估计计计计 法法Date3第4章 单样本决策 统计量是用样本构造的函数，它包含了样本中的信息，因 而可以用统计量的值来推断总体参数，如均值、方差、成数等 。统计量设 X1, X2, , Xn 为总体 X 的一个样本, g(X1, X2, , Xn)为一连续函数，若g中不含未知参数，为一个统计量。 设 x1, x2, , xn 是一组样本观
3、察值，称g( x1, x2, , xn )是统计量 g(X1, X2, , Xn)的一个观察值。 则称 g( X1, X2, , Xn )Date4第4章 单样本决策点估计的概念 设 是总体 X 分布的未知数，是用 X 的样本构造的统计量，的一个观察值 去估计未知参数 的真值，参数 的点估计；为 的估计量；为 的一个估计值 。由于估计量是随机变量，抽取不同的样本，其取值是 各不相同的。 用一个特定样本对总体未知参数所作的 估计，仅是所有可能估计值中的一个点，故称为点估计 。 称为并称统计量Date5第4章 单样本决策Date6第4章 单样本决策Date7第4章 单样本决策参数参数的点估的点估计
4、计计计 (The point estimate parameters)(The point estimate parameters)常用的常用的两种两种点估点估计计计计方法：方法：矩估矩估计计计计法法和和最大似然估最大似然估计计计计法法。 1 1 矩估计法：矩估计法：基本思想：样本基本思想：样本X X1 1， ，X Xn n作为总体的一个代表，由其构成的作为总体的一个代表，由其构成的 样本一定程度上反映了总体矩，由大数定理知，样本矩依概率收敛于样本一定程度上反映了总体矩，由大数定理知，样本矩依概率收敛于 总体矩。因此只要总体总体矩。因此只要总体X X的的K K阶原点矩存在，就可以用样本矩作为相
5、应阶原点矩存在，就可以用样本矩作为相应 的总体矩的估计量。的总体矩的估计量。按矩估计法，样本均值按矩估计法，样本均值 是总体均值是总体均值 的估计量，即：的估计量，即：Date8第4章 单样本决策样本方差样本方差S S2 2是总体方差的估计量，即：是总体方差的估计量，即：备注：矩估计法的优缺点：备注：矩估计法的优缺点：优点：简单、直观，并且不必知道总体的分布类型，广泛优点：简单、直观，并且不必知道总体的分布类型，广泛 应用。应用。 缺点：首先它要求总体的缺点：首先它要求总体的k k阶原点矩存在，否则无法估计；阶原点矩存在，否则无法估计； 其次它不考虑总体分布类型，不利于充分利用总体分布函其次它
6、不考虑总体分布类型，不利于充分利用总体分布函 数所提供的信息。数所提供的信息。Date9第4章 单样本决策统计学中对矩的定义，所谓的k阶原点矩和k阶中心矩， 对于离散情形下，是取和之后再平均；而对于连续情况 ，取而代之的则是积分。而原点矩和中心矩的区别就在于对数据的处理上的不同 ，原点矩描述的是数据在原点0处附近的特性，中心矩则 描述的是数据在其平均值附近的特性，二者的关系就好 比如概率论中期望与方差的关系。 Date10第4章 单样本决策 设某种元件的寿命 XN(, 2)，其中 , 2未知， 现随机测得10个元件的寿命如下(小时) 1502, 1453, 1367, 1108, 1650 1
7、213, 1208, 1480, 1550, 1700 试估计 和 2。 解：使用excel 中，AVERAGE，VARP 功能可得【例1】 产品寿命均值和方差的估计Date11第4章 单样本决策Date12第4章 单样本决策Date13第4章 单样本决策Date14第4章 单样本决策Date15第4章 单样本决策Date16第4章 单样本决策 1.无偏性 为未知参数的估计量，则称为 的无偏估计量，无偏性是对估计量的最基本要求，无偏估计将 不会出现系统性的估计偏差。 不难证明，对任意总体 X，和样本 方差 S2 分别是总体均值和总体方差的无偏估计。估计量的优良准则简称无偏估计。若样本均值样本比
8、例也是总体比例的无偏估计。Date17第4章 单样本决策Date18第4章 单样本决策 有效性是衡量估计量最重要的标准。 对给定的样本容量，有效估计是所有无偏估计量中估计误 差最小的。是参数 的两个无偏估计，若 有效；容量，是 所有无偏估计中方差最小的，是 的最小方差无偏估计，2. 有效性对固定的样本若则称 也称为 的有效估计 。样本均值和样本比例 都是总体均值和总体比例的有效估计； 而对正态总体，样本方差也是总体方差的有效估计。 可以证明，对任意总体，Date19第4章 单样本决策Date20第4章 单样本决策n1n2n3n3n2n13、一致性设设设设 是是参数参数的估的估计计计计量，量，对
9、对对对于任意于任意给给给给定的定的 ，当当 时时时时有有则则则则称称 为为为为 的一致估的一致估计计计计量。量。Date21第4章 单样本决策Date22第4章 单样本决策Date23第4章 单样本决策二、二、 假假设检验设检验设检验设检验 1、 参数假设检验 在总体的分布函数已知，但参数未知时，如对总 体分布中的未知参数提出假设，则如何利用样本提供的 信息来检验这个假设，即接受此假设还是拒绝此假设。 这类统计问题我们称之为参数的假设检验问题。参数估 计和参数检验是利用样本对总体的统计特性提供的信息 ，建立样本的函数，即估计量或检验统计量，是从不同 角度处理总体未知参数的两种统计方法。 Dat
10、e24第4章 单样本决策Date25第4章 单样本决策假设检验的基本思想 设总体为 ，建立假设 这里 表示原假设， 表示备择假设。 假设检验问题，就是要建立一个合理的法则，根据这一 法则，利用已知样本作出接受原假设（即拒绝备择假设） ，还是拒绝原假设（即接受备择假设）的决策。 Date26第4章 单样本决策判断“假设”的依据 实际推断原理：概率很小的事件在一次试验中几乎是 不会发生的。 如果原假设为真，则由一次抽样计算而得的样本观测 值，满足不等式此事件几乎是不会发生的。 现在在一次观测中竟然出 现了满足上述不等式的样本均值，则我们有理由怀疑原 来的假设的正确性，因而拒绝原假设。 若出现的观测
11、值 不满足上述不等式，此时没有足够的理由拒绝，因此只 能接受原假设。 Date27第4章 单样本决策Date28第4章 单样本决策Date29第4章 单样本决策Date30第4章 单样本决策两类错误 在使用任何一个检验法(相当于确定一个拒绝域)时, 由于抽样的随机性, 作出的判断总可能会犯两类错误： 一是假设实际上为真时, 我们却作出拒绝的错误决策, 称这类“弃真”的错误为第一类错误； 二是当实际上不真时, 我们却接受了, 称这类“取伪 ”的错误为第二类错误。我们这里讨论的检验问题中的 显著性水平控制了犯第一类错误的概率。 这种只对犯 第一类错误的概率加以控制, 而不考虑犯第二类错误的 检验问
12、题, 称为显著性检验问题。 Date31第4章 单样本决策Date32第4章 单样本决策Date33第4章 单样本决策Date34第4章 单样本决策Date35第4章 单样本决策 参数假设检验问题的步骤： 第一步：根据实际问题的要求,提出原假设和备择假设 ； 第二步： 给定显著性水平以及样本容量； 第三步：确定检验统计量及其分布，并由原假设的内 容确定拒绝域的形式（构建统计量）； 第四步： 由 拒绝 | 为真 求出拒绝域； 第五步；根据样本观测值计算检验统计量的具体值； 第六步；作出拒绝还是接受原假设的统计判断。 Date36第4章 单样本决策Date37第4章 单样本决策Date38第4章
13、单样本决策Date39第4章 单样本决策Date40第4章 单样本决策Date41第4章 单样本决策三、三、 区区间间间间估估计计计计 Date42第4章 单样本决策Date43第4章 单样本决策Date44第4章 单样本决策Date45第4章 单样本决策Date46第4章 单样本决策Date47第4章 单样本决策Date48第4章 单样本决策Date49第4章 单样本决策 单个正态总体 下参数 的假设检验 已知，关于 的检验（Z检验） 检验统计量： 可以根据假设检验的不同类型，确定检验问题的拒绝域 。四、四、 方差已知的正方差已知的正态总态总态总态总体均体均值值值值的推的推断断 Date50
14、第4章 单样本决策 例 某厂生产某种型号的内胎，从长期的生产经验知道 其扯断强力服从均值 =1380（N/），标准差 =50（ N/）的正态分布。 该厂为提高产品的质量，改变了原 来的配方进行现场生产试验。设新配方生产的内胎其扯断 强力仍服从正态分布。由于在试验中除配方外，其他条件 都保持不变，因此可以认为新配方未改变此型号内胎扯断 强力的方差。 采用新配方的5 次试验，测得内胎扯断强 力为（单位：N/）：1450，1460，1360，1430，1420， 试问采用新配方，是否能提高内胎的扯断强力？(显著性 水平为=0.1)Date51第4章 单样本决策解 对这个假设检验问题，需要检验假设形如
15、这样的假设检验，称为右边检验（类似也有左边检验）。此检验问题的拒绝域的形式为查表得 ，而经计算得， ，从而有， 即 ，据此，拒绝原假设。Date52第4章 单样本决策Date53第4章 单样本决策Date54第4章 单样本决策正态总体, 未知，关于 的检验,小样本（t检 验） 检验统计量：可以根据假设检验的不同类型，确定此检验问题的拒绝域五、五、 方差未知的正方差未知的正态总态总态总态总体均体均值值值值的推的推断断 Date55第4章 单样本决策例 某种元件，按照标准其使用寿命不低于1000（小时），现从生产 出的一批元件中随机抽取25件，测得其平均寿命为950（小时），样本标 准差为100（小时）。 假设该种元件寿命服从正态分布，对于置信度95%, 试问这批元件是否可以认为合格？解 此问题即要检验拒绝域的形式为而由已知可得， ,又 ，即 。故拒绝原假设，认 为这批元件不合格。Date56第4章 单样本决策D
