信号与系统——连续时间域分析

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1、信号与系统分析(第2版)电子教案2.3 2.3 系统的冲激响应描述系统的冲激响应描述2.4 2.4 卷积卷积2.5 2.5 卷积性质卷积性质第2章 连续时间域分析2.1 2.1 基本信号基本信号2.2 2.2 系统的微分方程描述系统的微分方程描述电子教案目录1信号与系统分析(第2版)电子教案2.1 基本信号1.1.正弦信号正弦信号2.2.复指数信号复指数信号3.3.阶跃信号阶跃信号4.4.冲激信号冲激信号5.5.冲激偶信号冲激偶信号2信号与系统分析(第2版)电子教案1.正弦信号A为振幅,为初相,为为振荡荡角频频率,周 期T和频频率f分别为别为2.1 基本信号1. 正弦信号正弦信号的定义注意:正

2、弦信号的时间移位、导数仍为正弦信号,具有 同一频率的正弦信号相加也为同频率的正弦信号。3信号与系统分析(第2版)电子教案2.复指数信号一般形式的复指数信号定义为欧拉公式因此注意:虚部决定信号的振荡频率,而实部决定了信 号振幅的变化, 0时则是增幅振荡,而 0时的微分方程 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 故原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 微分方程的特征根为-2,-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(A1e-2t + A2e-3t)(t) h(t)=(-2A1e-2t -3 A2e-3t)(t) 代入初始条件 0=A1 + A2 1=-2A1 -3 A2 求得A1=1

3、,A2=-1, 所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对高阶微分方程 2.3 单位的冲激响应描述1. 冲激响应28信号与系统分析(第2版)电子教案例2.3.2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= x”(t) + 2x(t) + 3x(t) 求其冲激响应h(t)。 解: 利用线性系统的叠加性和齐次性和微分性令(t) 单独输入时的输出为h1(t) ,即:h1”(t)+5h1(t)+6h1(t)= (t)则有 y(t)= h1”(t)+2h1(t)+3h1(t)(t) + (3

4、e2t 6e3t)(t)由例1的结果知:h1(t)=( e-2t - e-3t)(t)当微分方程的右端包含高阶冲激函数时,可先按右端只为冲激 函数的方法求出其响应,再根据线性系统的叠加性和微分性质求 解系统的冲激响应。2.3 单位的冲激响应描述1. 冲激响应29信号与系统分析(第2版)电子教案2.2.阶跃响应阶跃响应 由单位阶跃函数(t) 所引起的零状态响应称为单位 阶跃响应,简称阶跃响应,记为g(t)。系统方程的右端将包含阶跃函数 (t) ,所以除了 齐次解外,还有特解项(1零阶微分项的系数)。由于(t) 与(t) 为微积分关系,故冲激响应和阶跃响应的关系 求解冲激响应需确定y(0+),求解

5、阶跃响应需确定特解。2.3 单位的冲激响应描述2. 阶跃响应30信号与系统分析(第2版)电子教案例2.3.3 系统的微分方程为求出系统的阶跃响应和冲激响应。解:(1)求单位阶跃响应 gx(t)特解为122.3 单位的冲激响应描述2. 阶跃响应31信号与系统分析(第2版)电子教案(2)求阶跃响应g(t)(3)求冲激响应h(t)2.3 单位的冲激响应描述2. 阶跃响应32信号与系统分析(第2版)电子教案2.4 卷积1.1.卷积公式卷积公式2.2.卷积计算卷积计算33信号与系统分析(第2版)电子教案1.卷积公式(1)信号的时域分解 预备知识问 f1(t) = ? p(t)直观看出2.4 卷积1. 卷

6、积公式34信号与系统分析(第2版)电子教案 任意信号分解“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为 ,用p(t)表示为:f(0) p(t)“1”号脉冲高度f() ,宽度为 ,用p(t - )表示为:f() p(t - ) “-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为,用p(t +)表示为 :f ( - ) p(t + )任意信号f(t)可以表示为冲激信号之加权积分卷积2.4 卷积1. 卷积公式35信号与系统分析(第2版)电子教案已知定义在区间( ,)上的两个函数x1(t)和 x2(t),则定义积分 为x1(t)与x2(t)的卷积积分,简称卷积;记为x(t)= x1(t)*x2(t)注意:积分是在虚设的变量下进

7、行的,为积分变量,t为参变量。结果仍为t 的函数。 2.4 卷积1. 卷积公式36信号与系统分析(第2版)电子教案2.2.卷积计算卷积计算y (t)x (t)根据h(t)的定义: (t) h(t) 由时不变性:(t -)h(t -)x()(t -)由齐次性:x () h(t -)由叠加性: x (t) y (t) LTI系统的零状态响应是 激励与冲激响应的卷积。(1)零状态响应2.4 卷积2. 卷积计算37信号与系统分析(第2版)电子教案由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性,卷 积的积分限会有所变化。积分限由 的区间决定。如果 则的特点:宗量时存在,1(2)定 的区间和t的区间(关键)2

8、.4 卷积2. 卷积计算38信号与系统分析(第2版)电子教案解 例2.4.1 已知系统的冲激响应 时的响应y(t)。 ,求输入例2.4.2 已知系统的冲激响应 时的响应y(t)。 ,求输入解 2.4 卷积2. 卷积计算39信号与系统分析(第2版)电子教案例2.4.3 已知一LTI系统的输出为 求该系统的单位冲激响应,并说明该系统的因果性。 解 系统的单位冲激响应 该系统是因果系统2.4 卷积2. 卷积计算40信号与系统分析(第2版)电子教案(3)卷积的图解说明卷积过程可分解为四步: 换元: t换为得 x1(),x2() 反转平移:由x2()反转 x2()右移t x2(t-) 乘积:x1() x

9、2(t-) 积分: 从 到对乘积项积分。注意:t为参变量。2.4 卷积2. 卷积计算41信号与系统分析(第2版)电子教案例2.4.42.4 卷积2. 卷积计算42信号与系统分析(第2版)电子教案浮动坐标t浮动坐标:下限 上限t-3t-0t :移动的距离t =0 f2(t-) 未移动t 0 f2(t-) 右移t 3,于是解2.4 卷积2. 卷积计算求 。 例2.4.7 已知58信号与系统分析(第2版)电子教案例2.4.8 已知系统的单位冲激响应,输入信号如右图所示,求系统响应 。解 输入信号为用下式计算响应 (1) t 1 区间 (1) t 1 区间 (1) t -1 区间 故响应为 2.4 卷

10、积2. 卷积计算63信号与系统分析(第2版)电子教案2.5 卷积性质1.1.与冲激函数的卷积与冲激函数的卷积2.2.交换律、分配律、结合律交换律、分配律、结合律3.3.时间移位时间移位4.4.卷积后信号的长度卷积后信号的长度5.5.微积分性质微积分性质64信号与系统分析(第2版)电子教案1.1.与冲激函数的卷积与冲激函数的卷积2.5 卷积的性质1. 与冲激函数的卷积65信号与系统分析(第2版)电子教案证明:注:两个函数卷积,其顺序可以交换。有时可使卷积简便.在系统 分析中,卷积的交换律意味着一个单位冲激响应为h(t)的LTI系统 对输入x(t)的响应与一个单位冲激响应为x(t)的LTI系统对输

11、入h(t) 的响应是一样的.交换律2.2.交换律、分配律、结合律交换律、分配律、结合律2.5 卷积的性质2. 交换律、分配律、结合律66信号与系统分析(第2版)电子教案分配律用于系统分析,相当于并联系统的冲激响 应,等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和.x(t )h1(t)h2(t)分配律2.5 卷积的性质2. 交换律、分配律、结合律67信号与系统分析(第2版)电子教案结合律用于系统分析,相当于串联系统的冲激 响应,等于组成级联系统的各子系统冲激响应的卷 积.改变两个系统的级联顺序,系统总的响应保持 不变. h1(t) h2(t)x(t)结合律2.5 卷积的性质2. 交换律、分配律、结合律6

12、8信号与系统分析(第2版)电子教案与冲激函数的卷积与冲激函数的卷积两信号卷积两信号卷积 h(t)h(t-t2)h(t)h(t-t2)x(t)y(t)x(t)y(t-t1)x(t-t1)x(t-t1)y(t-t1-t2)y(t-t2)时不变性质3.3.时间移位时间移位2.5 卷积的性质3. 时间移位69信号与系统分析(第2版)电子教案若两个起始时可分别为若两个起始时可分别为a a1 1、a a2 2的信号做卷积运算,的信号做卷积运算, 则卷积后的起始时刻为则卷积后的起始时刻为a a1 1+ +a a2 2若两个持续期分别为(若两个持续期分别为(a a1 1,b b1 1)、()、(a a2 2,

13、b b2 2)的信)的信 号做卷积运算,则卷积后的终止时刻为(号做卷积运算,则卷积后的终止时刻为(b b1 1+ +b b2 2),故),故 卷积后信号的长度为卷积后信号的长度为4.4.卷积后信号的长度卷积后信号的长度2.5 卷积的性质4. 卷积后信号的长度因此,两个有限持续期信号卷积后的长度是它们因此,两个有限持续期信号卷积后的长度是它们 两个长度的和。两个长度的和。70信号与系统分析(第2版)电子教案两个信号卷积后的微分等于其中一个信号微分后与另一个信号的卷 积。特别地:对冲激偶:推广:5.5.微积分性质微积分性质微分微分2.5 卷积的性质5. 微积分性质71信号与系统分析(第2版)电子教案证明:推论:用处:如果相卷积的两个信号之一是奇异信号,可进行微积分变成(t), 另一个信号只需单单独做相反的积积微分,使卷积积运算变变成微积积分运算 .特别地:(与阶跃函数的积分)积分积分微积分微积分2.5 卷积的性质5. 微积分性质72信号与系统分析(第2版)电子教案例2.5.1: 求 解: 根据移位性质和微积分性质,有 2.5 卷积的性质5. 微积分性质73信号与系统分析(第2版)电子教案例2.5.2: 已知系统的单位冲激响应图示,求系统响应 y (t) .解: 输入信号为:根据卷积的微积分性质,得系统响应:,输入信号如2.5 卷积的性质5. 微积分性质74

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