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1、2、利用柱面坐标计算三重积分规定：1柱面坐标与直角坐 标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面2如图，柱面坐标系 中的体积元素为3解知交线为4其中为由例2. 计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.5例3. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =6解所围成的立体如图， 7所围成立体的投影区域如图， 893、利用球面坐标计算三重积分10规定：如图，三坐标面分别为圆锥面；球 面；半平面11球面坐标与直角坐标的关系为如图，12球面坐标系中的体积元素为如图，13球面坐标定限的一种方法：将积分区域 投影到xoy平面上,得域1.关于 的限按平面极
2、坐标确定角 的范围。2.关于 的限对固定 过z轴有一半平面，这个按平面极坐标确定角 的范围。半平面与 相交，得域 ，对143.关于 的限对固定 和 ，从原点出发作射线，这射线从 穿进域从 穿出 。分别是 下限和上限。15161718解:19亦可用柱面坐标：20注：球面坐标系下三重积分化为三次积分总的说来定限不方便一般仅当积分区域是球形域， 或者上半部分是球面下半部分是定点在原点的锥面才考虑采用球面坐标系来计算一般情况下，柱坐标优先于球坐标考虑一般的，当积分区域为圆柱形、扇形柱体或者圆环柱，可考虑用柱坐标法锥 球21利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的 关于三个变量的奇偶性22解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是 的奇函数,23解242526（1） 柱面坐标的体积元素（2） 球面坐标的体积元素（3） 对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标小结27设由锥面和球面所围成 , 计算提示:利用对称性用球坐标 思考与练习28计算或29轮换对称性30
