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1、第三章第三章 应变分析应变分析3-1 相对位移张量和应变张量3-3 应变张量的性质3-4 变形协调方程3-5 位移边界条件3-2 几何方程Cauchy方程3-1 相对位移张量和应变张量xyzO一. 一点的相对位移张量P设 点的位移分量为 相邻一点AA1P1 位移分量为两点间的位移（矢量）差将 在 处展开，并忽略高阶项，则相对位移张量一般为非对称张量。相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含了 因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的相对 位移；称为P点的相对位移张量二. 转动张量xyzOPAA1P1设若为刚体位移，则展开由dxidxj的任意性，其项前系数为零。即所以位移转动张
2、量必为反对称张量。满足此条件的相对位移张 量称为相对刚体位移张量 或转动张量将相对位移张量分解为其中第二项第一项为不包含刚体位移的相对位移张量，即由变形产生 的相对位移张量。称为应变张量，记为 。三. 应变张量反对称，即为转动张量，记为应变张量是对称张量3-2 几何方程Cauchy方程xyzOP建立应变与位移的关系，揭示应变张量各分量的物理意义考察P点， 分别沿 x、y、z正向引三正 交线元 r、s、t变形后P点移动到P点P三线元的长度和相对夹角也发生变化将三线元变形前后的位置分别向三坐 标面投影，建立其应变和位移的关系投影引起的误差为高阶微量以向yz平面投影分析为例设P点的坐标为 y、z s
3、、t 的长度为dy、dz 点P到P 的位移为 v、w s点到s 的位移为 vs 、ws由正应变的定义由切应变的定义t点到t 的位移为 vt 、wtyzOPP若向xy平面投影同理可得若向zx平面投影同理可得综合之此方程组表明了应变与 位移的关系，称为几何 方程或Cauchy方程对比应变张量各分量，可见应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同，但 工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可由 应变张量描述几何方程可表示为3-3 应变张量的性质由于应变张量是对称二阶张量，因此与应力张量具有类似的性质一. 任意方向的正应变和任意两垂直方向的切应变1.设一点的应变状态为ij ，则该点任意方向N (l
4、1 , l2 , l3) 正应变2.设一点的应变状态为ij ，两垂直方向分别为 r ( l1 , l2 , l3 ) 和s ( l1 , l2 , l3 ) ，则该点rs方向上的切应变二. 应变状态的坐标变换设一点的应变状态在 Oxyz 坐标系下的应变张量为ij ，旋 转后的坐标系为 Oxyz ，两坐标系间的方向余弦为lij ，则三. 主应变、主方向设一点的应变状态为ij，xyzOrst123过此点可作任意组三向正交线元， 总存在一组线元在变形前后始终保持正交，即两两方向上的切 应变为零。 将该组线元方向称为应变主方向，沿主方向的正应 变称为主应变。（该组线元所构成的三轴又称为应变主轴，两 两
5、线元构成的平面称为应变主平面。）由以上定义，类似主应力分析可得 1. 主平面（主方向）方程其中 为主应变，lj 为主方向2. 主应变方程（特征方程）3. 应变不变量三实根按 1 2 3 排序4. 最大最小应变最大正应变 max 1最小正应变 min 3最大最小切应变5. 八面体应变八面体表面法线方向的正应变八面体表面上两正交方向的切应变6. 应变强度四. 体积应变和应变张量分解1. 体积应变由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。xyzOP变形前微元体体积变形后微元体边长其中， 表示切应变的高价微量变形后微元体体积定义体积应变可见应变张量的第一不变量的物理意义为体积应变考察
6、位移场即其散度说明应变张量的第一不变量或体积应变的数学意义为位移场 的散度当 = 0时，称为物体是不可压缩的，因此不可压缩的条件为：应变张量的第一不变量为零或位移场的散度为零2. 应变张量的分解与应力张量的分解类似，可将应变张量分解为球张量和偏张量其中只有体积改变而无形状改变只有形状改变 而无体积改变不变量3-4 变形协调方程一. 问题的提出 1. 根据连续性假定，受力物体在变形前后都是连续的。3. 由于几何方程是导出关系，数学上它们之间并不是相互独立 的，而存在着一定的相互制约关系。 2. 由几何方程可知，给定位移函数ui可唯一地确定应变分量ij。4. 物理上，相互独立的应变分量不能保证物体
7、的连续性，物 体内在变形时会出现分裂和重叠。二. 变形协调关系应变分量间的关系考察几何方程在xy平面内所以同理，考察yz和zx平面可得故得第一组变形协调方程考察故得第二组变形协调方程如果作不同的数学运算组合可得若干组变形协调方程 若把几何方程和变形协调方程视为泛定方程组，因仅联系 九个量（六个应变、三个位移），需九个独立方程。而几何方 程有六个，故在若干组变形协调方程中，只有三个方程独立。 需要指出，变形协调方程是应变张量的禀性方程。即，满 足变形协调方程是任何真实应变张量的必要条件。3-5 位移边界条件给定边界上的位移和约束情况（如沉降，固定等），被 称为位移边界。即例 ：ABCDxy1. AD边：限定位移为零 。其中s为给定边界表现为曲面（线）方程弹性层ABCDzhO 弹性半空间2. AB边：分界面s位移连续 。设弹性层位移为ui弹性半空间位移为ui则
