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1、数学命题教学设计,华东师大数学系 李俊,第六讲,数学命题（原理、规则）教学,数学中的命题主要包括公理、定理、法则、公式，它们都是真命题。数学命题揭示了若干概念之间的联系。学习数学命题，不仅是为了掌握这些数学命题，而且是为了能运用它们解决实际问题或为进一步学习做必要的准备。与概念教学一样，也常常从具体例证开始。因为涉及几个概念以及它们之间的联系，所以学习层次和复杂程度会较概念学习高。,得出数学命题的一般顺序,已有知识发现命题，教师并不直接给出命题，学生通过回顾已有知识，观察、研究例证，推导或概括出命题。教学中应注意联系学生已有的知识，并为推导或概括铺设难度适中的台阶。接受命题例证检核，教师先给出
2、命题（可证明也可不证明），再通过例证引导学生理解命题的意义，类似于概念的下位学习。教学中应特别注意让学生体会命题自然合理的一面。,数学命题学习的认知过程,命题的教学,虽然课本已经给出定理、公式，但是如果让学生自己发现、创造，效果会更好要使学生了解命题的由来、解决什么问题要使学生认识命题的含义要使学生懂得命题的证明要使学生熟悉命题的使用指导学生整理命题系统,命题教学的一般过程,（1）发现或接受命题，为此，需要了解学生预备知识掌握情况；需要提供例证；需要引发认知冲突或营造问题情境。,变枯燥乏味为跃跃欲试,合并同类项今天，我们来一个点名做题比赛，我给出一个多项式：对这个多项式，由一个同学给出x、y各
3、一个值，让另一个同学说出这个多项式的值，好吗？如果回答正确，就可以再给出x、y各一个值，去考他想考的同学。生1：x=0.15，y=10，请生2回答。生2：师：我来回答吧，是1.5，想知道我是怎么算出来的吗？,命题教学的一般过程,（2）如需要证明，与学生一起研究证明方法，如不需要证明，则提供材料让学生体会命题规定的合理性。,命题教学的一般过程,（3）认识命题的条件与结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结构、功能、性质、使用步骤等角度分析以加深印象和理解。（4）循序渐进地应用（正用到逆用）命题，将命题纳入到已有的知识体系中去。（5）引申和拓广命题，问一问还有什么，使教学对有兴趣继续
4、钻研的学生具有开放性和启发性。,数学命题教学的设计重点,是什么(条件、范围、结论）为什么（推导/合理性）如何用（简单应用、逆用、变形等灵活应用）涉及例题和课堂练习的设计,引申和拓广：还有什么,结合案例，学习如何设计公式教学法则教学定理教学,公式法解一元二次方程,复习提问复习“直接开平方法”，如 x2=4；(x-2)2=7；(x-2)2=-7这种解法的理论依据是什么？局限性是什么？方程2x2+7x-4=0怎么解？配方成能够“直接开平方”，要求学生说明每一步的依据最关键是哪一步？它的运算依据是什么？,若把二次项的系数2改为3，-2，一般地，改为a0，对方程ax2+7x-4=0会配方吗？若把一次项系
5、数7变为b，把常数项-4变为c，对方程2x2+bx-4=0， 2x2+7x+c=0， ax2+bx+c=0 会配方吗？,公式推导,与课本不一样！,公式得出后的使用，要求说出a,b,c并解方程x2-3x+2=0 2x2=4-7x x2-2 x+2=0小结使用公式法解方程的完整过程 练习，达到熟练,小结公式是什么？读法？根由方程的系数a,b,c完全确定，与未知数写成什么字母无关。它回答了解方程的三个基本问题：有没有解？多少解？解是什么。步骤？公式怎么来的？配方，推导过程前半部分是“配方法”，后半部分是“直接开方法”，开方的实质是把一个二次方程化归为两个一次方程。公式法具有通用性和简单性。公式之外还
6、有什么？有了系数a,b,c，就能求出相应的根或者指出根不存在，那么，根与这三个系数之间应该有确定的关系，是什么呢？下节课继续研究。,法则教学,讲得不得法，容易给学生留下对数学的负面印象，失去学习的兴趣讲得好，也会让学生看到数学理性的一面，而且蕴含着数学之美联系已有知识讲法则的道理很重要如何变枯燥乏味为跃跃欲试,一初中教师花90秒介绍计算法则，然后是大量的例题加习题,想到杂技节目“抛盘子”“过了这个村就没了那个店”怎么教？,初中幂的除法,m,n是正整数，mn, 则有,如何就幂的除法讲道理,m,n是正整数，mn, 则有方法1：因为 所以，一般地有 方法2：因为方法3：因为,n个a,m-n个a,“有
7、理数大小的比较”,教材的安排：一周气温排序在数轴上描点体会数轴上排序规定的合理性（气温排序，正数排序）练习,教材设计缺乏层次，“硬灌”成分多，可考虑重新设计。可粗分为正数之间比、一正一负比、两个负数比三类可以设第一层次的问题：“+6和+2哪一个大？在数轴上，它们哪一个在右？+6比+2大，在数轴上，+6在+2的右边。我们记作+6+2或+2+6。”,第二层次问题，“想一想：甲地的温度是+4，乙地的温度是-10，哪一个地方暖和?在数轴上+4与-10哪个在右边?”,第三层次问题：“在数轴上，-3与-8哪一个在右边？”两个负有理数的大小比较，不再用甲乙两地温度比较的实际背景来引入，抽象到在数轴上比较，突
8、出绝对值的几何意义。,类比思想、转化思想,-8,-3,第四层次，归纳出结论“在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的大。”以及“正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小。”,归纳思想,数学知识教学的常见病,没有形成基础，强加于人对使用的条件印象模糊，不会应用死背概念和定理的表述，不抓实质，理解不深，无法对付变化造成不让学生参与形成概念的生动过程，降低概括水平；不揭示命题的形成过程，降低了理解水平；忽视数学方法的探讨过程，加重学生记忆负担，降低了分析水平。学生只会复制，不能发展，因循守旧，不能开拓创新。,定理的教学,定理因综合性更强而使教学更为复杂和困难已有知
9、识的熟练数学语言的听说读写 形成逻辑推理的思维,平面几何的语言入门教学杨裕前,对常州10个学校500名学生作的调查“你学习平面几何觉得什么最难？” 28.7%选择了 “几何语言的理解和叙述”，38.17%选择了“讲清道理”“过A、B、C三点（不在一直线上，给出图形）中每两点画直线，可以画几条直线？” 13.2%的学生虽能正确画图但答“可以画一条直线”“读句画图：三条直线两两相交” 20.8%的学生不能正确画出图形“任作直线AB，在AB上任取一点C，在AB外任取一点D，分别过C、D两点作AB的垂线” 30%的学生画成右图。,为何有困难？,教学内容从“数”到“形”发生突变初中代数中更多借助符号下描
10、述性定义，文字与符号对照着写，但是，动态的图形、字母标识不定，使描述几何的文字语言无法如此统一成符号语言。简炼、严密的几何语言在起始阶段大量引进和使用 日常生活语言对几何语言产生负迁移,为何有困难？,简炼、严密的几何语言在起始阶段大量引进和使用 分不清“相邻”、“互相”、“等量”、“等边”这类词语涉及几个图形或几个量。对于“连结”、“反向延长”、“延长到，使=”等作图语言，学生更为陌生，常常在转化为作图动作时发生困难或错误，若是独立写作法，更为困难和不规范。“每两点”、“两两”、“任意（画、取）”、“分别”等几何术语也困难日常生活语言对几何语言产生负迁移“有”与“有且只有”，“平面”、“在上”
11、,相应的教学策略不要过早地将精确的形式化强加给学生,铺设阶梯，减小难度重视文字语言、图形、符号语言的互译训练通过比较、归类、辨析、判断等训练提高学生理解和使用几何语言的精确性“一划二画三写”“一划”就是用不同的线把定理的题设和结论区分开来，要求在划线时突出定理的本质部分。“二画”就是画出定理所对应的图形。“三写”就是用符号语言表达题设和结论，允许采用等同的条件。,形成逻辑推理的思维,初学证明时，有的学生会分不清何时举例可以证明，何时举例不能证明分不清要证明的结论，证明过程中条件、结论一起用，用特殊图形解读一般条件分不清应用定理前，先要陈述满足所有条件，不能缺也不能多对策,勾股定理的一个设计,日
12、本教材的编排是在章首提出两个问题：Q1 下图,中，分别以直角三角形ABC的3条边为边向外画正方形。Q2 求出Q1中各个正方形的面积，填入下表。并在图中画与,不同的直角三角形，用相同的方法求面积。,猜想证明（三平方）定理,证法一,自由研究：勾股定理的其他证明,还有没有其他证明方法？利用附录中的图来考虑一下,附录给的三种图示证法,淡化发现与证明，注重应用,该日本教材还设立2小节讲定理在平面图形中的应用（求平面中如边长、弦长、圆心距等、求两点间的距离、探究在数轴上表示带根号的数字的方法等问题）和它在空间图形中的应用（求空间中如长方体对角线长等问题）。,知道三边长，能求三角形面积吗？,小明：“不知道三
13、角形的高就没法求面积。”惠子：“作顶点A到BC的垂线AH，并设BH=xcm 。”小明：“ABH和ACH可以用勾股定理。那么AH2可以表示成两个方程式，x的方程式可以表示为 。”惠子：“若知道x的值，则AH的值也可知。3边的长都知道的话，那么三角形的面积也可以知道了！”,在圆锥中，从底面圆上一点出发，沿着圆锥侧面绕行一周。请回答以下问题。（1）求圆锥的高和体积。（2）求绕行轨迹的最短长度。,一般认知发展过程,言语连锁学习水平：会说，会背，但不理解命题的本质正向产生式水平（正用水平）：已在心理上形成“若，则”这一正向产生式，能够由满足命题的条件信息推出结论信息逆向产生式水平（逆用水平）：已在心理上形成“要，就要”这一逆向产生式，能够由结论信息出发，追寻结论成立的充分条件变形产生式水平（变形使用水平）：已在心理上形成变形产生式，能够由问题的部分信息检索出相关的数学命题模式，并根据当前解决问题的需要对数学模式进行变形使用，解决问题。,小结,数学命题的教学要求，其基本精神与数学概念教学是相同的，要联系学生的现实，最后要在整体上建构，但它也还有自己的特点，那就是更加重视从逻辑上去论证或分析，更加重视证明与运用，寻求从多种角度去讲道理。,
