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1、第九章 导 热 主要内容主要内容本章首先阐述导热的基本概念、基本定本章首先阐述导热的基本概念、基本定 律、导热问题的数学描述方法，为进一步求律、导热问题的数学描述方法，为进一步求 解导热问题奠定必要的理论基础，然后讨论解导热问题奠定必要的理论基础，然后讨论 几种简单的稳态导热、非稳态导热的分析解几种简单的稳态导热、非稳态导热的分析解 法。法。1研究方法研究方法从连续介质的假设出发从连续介质的假设出发，从宏观的角度来从宏观的角度来 讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响 因素之间的关系。因素之间的关系。 连续介质连续介质一般情况下，绝大多数固体、液体及气一般
2、情况下，绝大多数固体、液体及气 体都可以看作连续介质。但是当分子的平均体都可以看作连续介质。但是当分子的平均 自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时 ，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不，如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不 能认为是连续介质。能认为是连续介质。 29-1 导热理论基础 主要内容主要内容（1 1）与导热有关的基本概念；与导热有关的基本概念； （2 2）导热基本定律导热基本定律 ； （3 3）导热现象的数学描述方法。导热现象的数学描述方法。 为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。 1. 1. 导热的
3、基本概念导热的基本概念（1 1） 温度场温度场(temperature field)在在 时刻，物体内所有各点的温度分布称时刻，物体内所有各点的温度分布称 为该物体在该时刻的为该物体在该时刻的温度场温度场。 3一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直 角坐标系中，温度场可表示为角坐标系中，温度场可表示为非稳态温度场非稳态温度场：温度随时间变化的温度场，：温度随时间变化的温度场， 其中的导热称为其中的导热称为非稳态导热非稳态导热。 稳态温度场稳态温度场 ：温度不随时间变化的温度场，：温度不随时间变化的温度场， 其中的导热称为其中的导热称为稳态导热稳态导热。一维
4、温度场一维温度场 二维温度场二维温度场 三维温度场三维温度场4（2 2）等温面与等温线等温面与等温线在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或 面称为面称为等温线等温线或或等温面等温面。等温面上任何一条线都是等温面上任何一条线都是 等温线。如果用一个平面和一组等温线。如果用一个平面和一组 等温面相交等温面相交, , 就会得到一组等温就会得到一组等温 线。温度场可以用一组等温面或线。温度场可以用一组等温面或 等温线表示。等温线表示。 等温面与等温线的特征：等温面与等温线的特征：同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能同一时刻，物体中温度不同的等温面或
5、等温线不能 相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线）相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线） 或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于 物体的边界，不可能在物体中中断。物体的边界，不可能在物体中中断。 5（3 3）温度梯度温度梯度(temperature gradient)在温度场中，温度沿在温度场中，温度沿x x方方 向的变化率向的变化率( (即偏导数即偏导数) )很很明显明显, , 等温面法线方向等温面法线方向 的温度变化率最大，温度变化的温度变化率最大，温度变化 最剧烈。最剧烈。 温度梯度温度梯度：等温面法线方向的温
6、度变化率矢量：等温面法线方向的温度变化率矢量： n n等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。 温度梯度是矢量，指温度梯度是矢量，指 向温度增加的方向。向温度增加的方向。6在直角坐标系中，温度梯度可表示为在直角坐标系中，温度梯度可表示为 分别为分别为x x、y y、z z 方向的偏导数方向的偏导数; ; i i、j j、k k 分分 别为别为x x、y y、z z 方向的单位矢量。方向的单位矢量。 （4 4）热流密度热流密度 (heat flux)热流密度的大小和方向可 以用热流密度矢量q 表示 热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。ntdA
7、dq7在直角坐标系中，在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为可表示为 q qx x、q qy y、q qz z分别表示分别表示q q在三个坐标方向的分量的大小。在三个坐标方向的分量的大小。2. 导热的基本定律傅里叶傅里叶（ Fourier）于于18221822年提出了著名的导热基本年提出了著名的导热基本 定律定律，即即傅里叶定律傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度，指出了导热热流密度矢量与温度 梯度之间的关系。梯度之间的关系。对于对于各向同性物体各向同性物体, , 傅里叶定律表达式为傅里叶定律表达式为傅里叶定律表明傅里叶定律表明, , 导热热流密度的大小与温度梯度导热热流密度的大小与温度梯度
8、 的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。的绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。 8标量形式的傅里叶定律表达式为标量形式的傅里叶定律表达式为对于各向同性材料对于各向同性材料, , 各方向上的热导率各方向上的热导率 相等相等, , 由傅里叶定律可知由傅里叶定律可知, , 要计算导热热流量要计算导热热流量, , 需要知需要知 道材料的热导率道材料的热导率, , 还必须知道温度场。所以还必须知道温度场。所以, ,求解温求解温 度场是导热分析的主要任务。度场是导热分析的主要任务。9傅里叶定律的适用条件傅里叶定律的适用条件：（1 1）傅里叶定律只适用于各）傅里叶定律只适用于各 向同性物体。对于
9、各向异性物体向同性物体。对于各向异性物体 ，热流密度矢量的方向不仅与温，热流密度矢量的方向不仅与温 度梯度有关度梯度有关, ,还与热导率的方向还与热导率的方向 性有关性有关, , 因此热流密度矢量与温因此热流密度矢量与温 度梯度不一定在同一条直线上。度梯度不一定在同一条直线上。 （2 2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和 非稳态导热问题，对于极低温（接近于非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K0K）的导热问的导热问 题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程, , 如如 大功率、短脉冲大功率、短脉冲( (脉
10、冲宽度可达脉冲宽度可达1010-12-121010-15-15s s) )激光瞬态激光瞬态 加热等加热等, , 傅里叶定律不再适用。傅里叶定律不再适用。 xyqxqyqnxy103. 热导率（导热系数） 热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定 律表达式律表达式 绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。11物质的热导率在数值上具有下述特点物质的热导率在数值上具有下述特点: : (1) (1) 对于同一种物质对于同一种物质, , 固态的热导率值最大固态的热导率值最大, ,气态的气态的 热导率值最小；热导率值最
11、小；(2)(2)一般金属的热导率大于非金属的热导率一般金属的热导率大于非金属的热导率 ； (3)(3)导电性能好的金属导电性能好的金属, , 其导热性能也好其导热性能也好 ； (4)(4)纯金属的热导率大于它的合金纯金属的热导率大于它的合金 ；(5)(5)对于各向异性物体对于各向异性物体, , 热导率的数值与方向有关热导率的数值与方向有关 ； (6)(6)对于同一种物质对于同一种物质, , 晶体的热导率要大于非定形态晶体的热导率要大于非定形态 物体的热导率物体的热导率。 热导率数值的影响因素较多热导率数值的影响因素较多, , 主要取决于物质的主要取决于物质的 种类、物质结构与物理状态种类、物质
12、结构与物理状态, , 此外温度、密度、湿度此外温度、密度、湿度 等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率 的影响尤为重要。的影响尤为重要。 12温度对热导率的影响：温度对热导率的影响：一般地说一般地说, , 所有物质的热所有物质的热 导率都是温度的函数导率都是温度的函数, ,不同不同 物质的热导率随温度的变化物质的热导率随温度的变化 规律不同。规律不同。 纯金属的热导率随温度的纯金属的热导率随温度的 升高而减小。升高而减小。 一般合金和非金属的热导一般合金和非金属的热导 率随温度的升高而增大。率随温度的升高而增大。 大多数液体（水和甘油除大多
13、数液体（水和甘油除 外）的热导率随温度的升高外）的热导率随温度的升高 而减小。而减小。13在工业和日常生活中常见的温度范围内在工业和日常生活中常见的温度范围内, , 绝大多数绝大多数 材料的热导率可近似地认为随温度线性变化材料的热导率可近似地认为随温度线性变化, , 并表示为并表示为 0 0为按上式计算的为按上式计算的0 0下的热导率值，并非热导率下的热导率值，并非热导率 的真实值的真实值, ,如图所示。如图所示。 b b为由实验确定的常数，其数为由实验确定的常数，其数 值与物质的种类有关。值与物质的种类有关。 14多孔材料的热导率多孔材料的热导率 绝大多数建筑材料和绝大多数建筑材料和保温材料
14、保温材料（或称（或称绝热材料绝热材料）都）都 具有多孔或纤维结构具有多孔或纤维结构( (如砖、混凝土、石棉、炉渣等如砖、混凝土、石棉、炉渣等), ), 不是均匀介质不是均匀介质, ,统称统称多孔材料多孔材料。 多孔材料的热导率是指它的多孔材料的热导率是指它的表观热导率表观热导率, , 或称作或称作折折 算热导率算热导率。用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于用于保温或隔热的材料。国家标准规定，温度低于 350350时热导率小于时热导率小于0.120.12 W/(mW/(m K)K)的材料称为的材料称为保温材料保温材料。保温材料保温材料（或称（或称绝热材料绝热材料）：）：15多孔材料的热导
15、率随温度的升高而增大。多孔材料的热导率随温度的升高而增大。 多孔材料的热导率与密度和湿度有关。一般情况下多孔材料的热导率与密度和湿度有关。一般情况下 密度和湿度愈大，热导率愈大。密度和湿度愈大，热导率愈大。典型材料热导率的数值范围典型材料热导率的数值范围纯金属纯金属 50415 W/(mK) 合金合金 12120 W/ /(mK) 非金属固体非金属固体 140 W/ /(mK) 液体液体( (非金属非金属) ) 0.170.7 W/ /(mK) 绝热材料绝热材料 0.030.12 W/ /(mK) 气体气体 0.0070.17 W/ /(mK) 164. 导热问题的数学描述（数学模型） （1
16、1）导热微分方程式的导出）导热微分方程式的导出 导热微分方程式导热微分方程式+ +单值性条件单值性条件建立数学模型的目的建立数学模型的目的：求解温度场：求解温度场依据依据：能量守恒和傅里叶定律。：能量守恒和傅里叶定律。 假设假设： 1 1）物体由各向同性的连续介质组成）物体由各向同性的连续介质组成； 2 2）有内热源，强度为）有内热源，强度为 ，表示单位时间、单位，表示单位时间、单位 体积内的生成热，单位为体积内的生成热，单位为W/mW/m3 3。 1 1）根据物体的形状选择坐标系）根据物体的形状选择坐标系, , 选取物体中的选取物体中的 微元体作为研究对象；微元体作为研究对象； 导热数学模型的组成导热数学模型的组成：步骤步骤：2 2）根据能量守恒）根据能量守恒, , 建立微元体的热平衡方程式；建立微元体的热
