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1、第三章 光学成像系统的频率特性3.1 透镜的位相变换作用 入射光波在入射平面内的光场分布 与出射平面光场分布 关系为3.2 透镜的傅里叶变换性质物在透镜前3.2 透镜的傅里叶变换性质物在透镜后3.2 透镜的傅里叶变换性质 结论(1) 在一般情况下，频谱面上的光场分布是物频谱函 数与一个二次位相因子的乘积，因而是物函数的近似 傅里叶变换，即准傅里叶变换。 （2）将输入面置于透镜前焦面上，可得到物函数的 准确傅里叶变换（3）照明光源，既可以用单色轴向平行光照明，也 可以用光轴上的单色点光源照明。（4）绝大多数情况下是采用单色轴向平行光照明， 因而物面位于透镜前焦面上并用轴向平行光照明的光 路具有特
2、殊的意义。 透镜傅里叶变换光路变换 性质物面位置光源 位置变换平面位置二次相位因子空间频率前焦面 后焦面 无无透镜前处后焦面紧靠透镜 后焦面透镜后处后焦面傅里叶变换准傅里叶变换 在光学信息处理中，通常是通过对物频谱的处理来达到对物所成的像进 行处理的目的。如果频谱函数在空间尺度上能按一定比例缩放，则对光 学信息处理在应用上将带来一定的灵活性。 当物在透镜后方时，采用平行光照明，有 可起到调节频谱大小的作用。 当采用平行光照明时，若物位于透镜之前，则不管物面是否位于前焦面 上，空间频率与频谱面上的空间尺度之间的比例是固定不变的，即 当物位于透镜之前，且 d0=0 ，则空间频率与频谱面上的空间尺度
3、之 间的比例随q大小改变的，即 在用单色平行光照明物面时，不论物在透镜前 的任意位置上，频谱面总是在后焦面上。 物理解释：对物函数作傅里叶变换，频谱函数 代表空间频率为 的指数基元的权重 密度。而空间频率一定的指数基元为传播方向 一定的单位振幅的平面波。该平面波经过透镜 之后，必然会聚在透镜后焦面的一点上。 透镜的傅里叶变换性质 说明频率坐标与位置坐标的关系x fx(x,y)f3.3 透镜孔径对透镜傅里叶变换的影响透镜孔径的大小总是有限的，它对其傅里叶变换特性会产 生影响。当物在透镜前，且用平行光垂直照明 ，有下面，我们在忽略透镜孔径的衍射作用条件下，仅从几 何光学近似出发，研究透镜孔径函数对
4、光线的限制作用透镜孔径对光线的限制作用频谱面上任意一点处的光场可以看作是整个物体上所有 各点发出的一切以方向余弦传播的平行光线经透镜会聚后 的叠加，光线受到了透镜孔径的限制，只有其中一部分能 进入透镜并被会聚。 x fx(x,y)f透镜孔径对光线的限制作用xyx0y0M(x,y)f 只有在孔径投影区内的物体发出的以方向余弦传播的光线才能通过透镜会聚于M点，而投影 区外物体发出的该方向光线将不能进入透镜而受到 限制。此时M点的光场将不能完全代表整个物在该 方向平面波所对应的空间频率的谱值。 如果物体在孔径投影区之外，则表明物体上以OM 方向传播的平面波完全不能通过透镜而会聚，此时 M点的光场为零
5、。 薄透镜相当于一个 低通滤波器，它限制 了高频分量的通过。xyx0y0M(x,y)f透镜的截止频率 透镜的截止频率是指恰 好不能通过透镜的平面 波所对应的空间频率。 以物在前焦面上且用单 色平面被垂直照明的情 况为例 。 设透镜的焦距为 f，孔径 为D，物体大小为x fxf0ffl D透镜的截止频率则对应的截止频率为截止频率 与透镜孔径D有关。透镜孔径D越大时， 截止频率 越高，能通过透镜的高频分量就越多， 频谱面上得到的物体的傅里叶变换就越准确。角所对应对应 的空间频间频 率x fx f0ffl D物体准确傅里叶变换的最大空间频率物体的最大空间频率 不超过某一数值，在 频谱面上仍然可得到
6、准确的傅里叶频谱。 当物体的最大空间频率 所对应的平面波以角传播时，物体上所有 的点发出该频率分量光 波的都能通过透镜，此 时有对应的最大准确空间频率为：x fxfmaxffl D综上所述： 如果物体的最大空间频率不大于 ，则该系统 能实现对物体的准确傅里叶变换。 如果物体存在高于 的频率分量，则对于物体中 大于截止频率的频率分量，将完全不能通过系统， 全部被透镜孔径所拦截。 对于物体中 在 范围内的频率分量，只有 一部分光线能通过透镜，即存在不同程度的渐晕， 因而得到的傅里叶变换不是准确的。1. 本节所讨论的薄透镜的傅里叶变 换性质，那是在近轴条件下得到 的。 2. 对于非近轴情况下的傅里叶
7、变换 必须使用专门设计的傅里叶变 换镜头才能获得理想的傅里叶频 谱。 3.4 正薄透镜的成像物体后表面光场： 象面光场：物光波场函数分解为无数 个点光源复振幅之和。 光波的传播过程是线性的，成像系统也可以看成是线性系统， 如果能求出单位脉冲(函数)通过系统后的响应表达式，将它与 每个相应物面元上的复振幅相乘后求和，就可得到输出面上的 复振幅分布。 x, ydid00x, yx0, y01正薄透镜的成像 物面上 点的单位脉冲在透镜前表面上的光场分布为 （近轴光线） 在透镜后表面上的光场分布为 利用菲涅耳衍射公式，得到像平面上的光场分布，即脉冲 响应 脉冲响应 由于满满足高斯公式设透镜的横向放大率
8、为 ，则略去所有常数位相因子，振幅点扩散函数的形式变成对应对应 于物点 的几何像点位置为上式左边可以写成 的形式 在近轴条件下透镜成像系统是空间不变系统。 当透镜孔径比 大很多时，在坐标 中， 在无限大的区域内可认为 正透镜的成像 在相干光照明情况下，物面光场分布 经透镜后在像面上的光场分布为 对于几何像有 若用几何像的位置坐标代替物面坐标，则积分 运算可在像面上进行，即 或者 该式表明，实际像是几何像与脉冲内应在像面 上卷积的结果，这是考虑了衍射效应后系统所 成的像。衍射效应愈强，振幅点扩散函数的分 布也就愈宽，则卷积的平滑作用愈强。系统的 分辨率愈低像质下降。 3.5 衍射受限系统成像分析
9、 衍射受限系统:一个光学成像系统不存在任何几何像差 ，其成像过程只受到有限大小的孔径衍射 的影响，则称该成像系统为衍射受限系统 。 光学成像系统的黑箱模型 1.光学成像系统通常是由多个光学元件(如正透镜、 负透镜、光阑、转向棱镜等)组成的。2.系统中总是存在一个实际起限制光束通光孔径作 用的孔径光阑。孔径光阑是光学系统的特征元件 之一。 3.孔径光阑经它前面的光学元件所成的像就是系统 的入射光瞳(简称入瞳)，而孔径光阑经它后面的光 学元件所成的像是系统的出射光瞳(简称出瞳)。 4.入瞳和出瞳是一对等光程共轭面。系统的衍射效 应归结于是由入瞳引起的，或是由出瞳引起例， 二者完全等价。 成像系统黑
10、箱模型任何一个复杂的光学成像系统的所有光学元件都装入 一个黑箱中，入瞳和出瞳是它的两个端面，其对光的 衍射效应都可以只归结于黑箱两端面上的入瞳或出瞳 的作用，这就是一般光学成像系统的黑箱模型。 A(xi,yi)y0x0yxyxyixiA(x0,y0)物面黑箱像面系统的成像过程 1.物平面到入瞳面，满足菲涅耳衍射； 2.入瞳面到出瞳面，可用脉冲响应确定系统作用； 3.出瞳面到像平面，满足菲涅耳衍射。成像过程： 物平面上任一物点发出的发散球面波投射在黑 箱模型的入瞳上，光波在有限大小的入瞳处发生衍射 ，入瞳面上每一点都成为次级子波源，次级子波源再 传播到出瞳面，然后光波最终在像面上形成以几何像 点
11、为中心的光瞳的夫琅和费衍射图样。 成像过程衍射受限系统（无像差系统）： 物面上任一点发出的发散球面波投射 到入瞳上，被系统变换为出瞳上的会聚球 面波会聚于成像面。有像差系统： 物面上任一点发出的发散球面波投射 到入瞳上，出瞳上透射波场明显偏离理想 球面波，偏离程度由像差决定。衍射受限系统脉冲响应物点发出的球面波，在像方得到的将是一个 被出瞳所限制的球面波，该球面波以几何像点为中 心的。由于光瞳的限制作用，像面上光场是以理想 像点为中心的出瞳孔径的夫琅和费衍射图样。变换坐标为理想像点位置脉冲响应（点扩散函数）衍射受限系统的成像规律设物光波场复振幅分布 各点是相干的像面上光场分布其中脉冲响应：理想
12、像分布：像面上的光强分布为：并且有：注意到：脉冲响应有：在衍射受限系统中，在相干照明条件下，系统脉冲响 应函数 是光瞳函数 的傅里叶变换 。由此可见光瞳函数的重要性。3.6 衍射受限系统的相干传递函数1. 相干传递函数（CTF）的概念CTF: coherent transfer function 由于衍射受限的相干成像系统对于复振幅是线性的 。在空城中，系统的成像特性由脉冲响应函数表示，它满足卷积方程相干传递函数对上式两边分别进行傅里叶变换并运用卷积定理， 则得到相干成像系统在频域中的物像关系式相干传递函数定义义脉冲响应应函数的傅里叶变换变换为为相干成像系统统的CTF，即 因为CTF反映了在相
13、干照明时，光学成像系统对 不同空间频率光波的传递能力，所以又称为 成像系统的频率响应或频率特性。 相干传递函数在衍射受限系统中，脉冲响应函数是光瞳函数的傅里 叶变换，即因而CTF为 式中P的负号是因一个函数连续进行两次傅里叶变换 所产生的。它表示CTF正比于反射坐标中的光瞳函数 。当把光瞳面上坐标反向时，这个负号便可略去。相干传递函数由于一般的光瞳函数都是对光轴呈中心对称 的，坐标反向的结果不会产生任何实质性的影响。 因此，在讨论相干成像系统的CTF时通常写成 结论：2. 相干成像系统的CTF只有两个取值：1或0。因为为成像系统统的光瞳函数 只有两个取值值1.相干成像系统的CTF等于光瞳函数，
14、只要将光瞳函 数 中的空间坐标变量x、y改换成频域变量即可.3光学系统的作用相当于一个低通滤波器 CTF的截至频率把能通过系统的光波的最大空间频率称为该系统的 截止频率，用 表示。空间频率低于截止频率的光波能无衰减地通过系 统，而空间频率高于截止频率的光波则完全不能 通过系统。这表明光学系统的作用相当于一个低 通滤波器。通光谱带由光瞳的形状及尺寸决定。 CTF计算举例 1. 方形光瞳 设相干成像系统的出射光瞳是边长为 的正方形此时光瞳函数为二维矩形函数系统的CTF也为二维矩形函数： 截止频率为最大截止频率Hc(fx, fy)fxfy1/2di1/2di12图形光瞳 当光学成像系统的出瞳为直径等
15、于 的圆孔时， 其光瞳函数为圆域函数CTF也为圆域函数截止频频率在所有方向上均为为fy fx1/2di1/2diHc(fx,fy)1对CTF的简要说明CTF表示光学成像系统对统对 物分布中空间频间频 率为为 的平面谐波的传递能力。它是脉冲响应函数的傅里叶 变换。它的函数形式与光瞳函数相同。 反映了平面谐谐波通过过系统统后复振幅的变变化，对 于任意复杂的输入，经傅里叶变换后得到一系列不同 方向(即不同空间频率)的平面谐波，而频谱 则表 示这些平面谐波复振幅的权重因子。每个方向的平面 谐波复振幅乘以该频率的传递函数值，就得到相应输 出平面谐波的复振幅。对CTF的简要说明CTF是在频域内表征光学系统对平面谐波的 传递能力，而光瞳函数则是在空城中描述该系统对 球面波的限制作用。只有能通过出瞳的光波才能到 达像面综合为像的复振幅分布。可见，CTF和光瞳 函数虽然是不同域中的不同表示方法，但它们所表 示的问题的实质是相同的，二者是等价的，函数形 式也是相同的。 因为CTF是频域中的
