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1、余弦定理在生活中的应用小组成员：王雅蓉;杨盛丹;佘玉翡;张丽娇;高思媛;张丽娟。1、向量的数量积：2、勾股定理：AaBCbc证明：余弦定理的着推导过程余弦定理的着推导过程思考题：若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.ABCabc解：余弦定理的推导过程定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。余弦定理可以解决以下两 类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹 角，求第三边和其他两个 角。推导公式：ABCabc余弦定理的证明证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建 立如图所示的坐
2、标系，则A、B、 C三点的坐标分别为：余弦定理的证明bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建 立如图所示的坐标系，则A、B、 C三点的坐标分别为：余弦定理的证明ABCabcD当角C为锐角时证明：过A作AD CB交CB于D在Rt 中在 中余弦定理的证明当角C为钝角时 证明：过A作AD CB交BC的延长线于D 在Rt 中在 中bAacCBD例.已知b=8,c=3,A=600求a.a2=b2+c22bccosA=64+9283cos600=49 定理的应用定理的应用解：a=7余弦定理在实际生活中的应用正、余弦定理在测量、航海、物理、几何、天 体运行等方面的应用十分广
3、泛，解这类应用题 需要我们吃透题意，对专业名词、术语要能正 确理解，能将实际问题归结为数学问题.求解 此类问题的大概步骤为：（1）准确理解题意，分清已知与所求，准确理 解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角 、视角、象限角、方位角等； （2）根据题意画出图形； （3）将要求解的问题归结到一个或几个 三角形中，通过合理运用正弦定理、余 弦定理等有关知识建立数学模型，然后 正确求解，演算过程要简练，计算要准 确，最后作答.1.测量中余弦定理的应用 例1 某观测站在目标南偏西方向，从出发有一条南 偏东走向的公路，在处测得公路上与相距31千米的处 有一人正沿此公路向走去，走20千米到达，此时测得 距
4、离为千米，求此人所在处距还有多少千米？ 分析：根据已知作出示意图，分析已知及所求，解，求角.再解，求出，再求出，从而求出（即为所求）.解：由图知，在 中，由余弦定理，得. 即. 整理，得， 解得 或 （舍）. 故 （千米）. 答：此人所在D处距还有15千米.评注：正、余弦定理的应用中，示意图起着关键的作用 ，“形”可为“数”指引方向，因此，只有正确作出示意 图，方能合理应用正、余弦定理.东北2.航海中余弦定理的应用 例2 在海岸处，发现北偏东方向，距为海里的处有 一艘走私船，在处北偏西方向，距为2海里的处的缉 私船奉命以海里/小时的速度追截走私船.此时走私船 正以海里/小时的速度从处向北偏东方
5、向逃窜，问缉私 船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时 间？ 分析：注意到最快追上走私船，且两船所用时间相等，可画出示意图，需求的方位角及由到所需的航行时间.解：设缉私船追上走私船所需时间为小时，则有 ， 在 中， ， ， ， 根据余弦定理可得.根据正弦定理可得. ，易知方向与正北方向垂直，从而.在 中，根据正弦定理可得： ， ， ，则有 ， 小时 分钟. 所以缉私船沿北偏东 方向，需 分钟才能追上走私船.评注：认真分析问题的构成，三角形中边角关系的分析，可为解题的方向提供依据.明确方位角是应用的前提，此题边角关系较复杂要注意正余弦定理的联用.3.航测中余弦定理的应用 例3 飞机的航线
6、和山顶在同一个铅直平 面内，已知飞机的高度为海拔m，速度 为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为， 经过秒后又看到山顶的俯角为，求山顶 的海拔高度（精确到m）. 分析：首先根据题意画出图形，如图，这样可在和中解出山顶到航线的距离，然后再根据航线的海拔高度求得山顶的海拔高度. 解：设飞行员的两次观测点依次为 A和B，山顶为 ，山顶 到直线的距离为 . 如图，在 中，由已知，得 ， ， . 又 （km）, 根据正弦定理，可得 ， 进而求得， （m）, 可得山顶的海拔高度为 （m）. 评注：解题中要认真分析与问题有关的三角形，正确运用正 、余弦定理有序地解相关的三角形，从而得到问题的答案. 4.炮兵观
7、测中余弦定理的应用 例4 我炮兵阵地位于地面处，两观察所分别 位于地面点和处，已知米，目标出现于地 面点处时，测得，（如图），求炮兵阵地到目 标的距离（结果保留根号）. 分析：根据题意画出图形，如图，题中的四点、 可构成四个三角形.要求的长，由于，只需知道和的长 ，这样可选择在和中应用定理求解. 综上，通过对以上例题的分析，要能正 确解答实际问题需： （1）准确理解有关问题的陈述材料和应 用的背景； （2）能够综合地，灵活地应用所学知识 去分析和解决带有实际意义的与生产、 生活、科学实验相结合的数学问题.定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。推导公式：小结：2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的 问题：（1）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两个角。 所以我们要好好学习数学这门课程，它 与我们的生活息息相关，它也给我们带 来乐趣，它使我们的生活丰富多彩，学 好它，相信我们的未来会更加美好!谢谢观看！再见！
