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1、 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 26.226.2 用函数观点看一元二次方程用函数观点看一元二次方程 教学目标教学目标知识与技能知识与技能1总结出二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述 何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根2会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.过程与方法过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系情感态度价值观情感态度价值观通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体 会数形结合思想教学重点和难点教
2、学重点和难点重点重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点难点:二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学过程设计教学过程设计（一）问题的提出与解决（一）问题的提出与解决问题 如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线 将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位： s）之间具有关系h20t5t2考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到 20.
3、5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度 h 与飞行时间 t 的关系是二次函数中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ h=20t5t2.所以可以将问题中 h 的值代入函数解析式，得到关于 t 的一元二次方程，如果方程有 合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中 h 的值：否则，说明球的飞行高度不 能达到问题中 h 的值.解：（1）解方程 1520t5t2. t24t3=0. t11,t2 3.当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m.（2）解方程 2020t5t2. t24t40. t1t22.当
4、球飞行 2s 时，它的高度为 20m.（3）解方程 20.520t5t2. t24t4.10因为（4）244.10.所以方程无解.球的飞行高度达不到 20.5m.（4）解方程 020t5t2. t24t0. t10,t24.当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m，即 0s 时球从地面飞出.4s 时球落回地面播放课件：函数的图像，画出二次函数 h=20t5t2的图象，观察图象，体会以上问题 的答案.从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数 yx24x 的值为 3.求自变量 x 的值.可以解一元二次方程
5、x24x3（即 x24x30） .反过来，解方程 x24x30 又可以看作已知二次函数 yx243 的值为 0，求自变量 x 的值.一般地，我们可以利用二次函数 yax2bxc 深入讨论一元二次方程 ax2bxc0.（二）问题的讨论（二）问题的讨论二次函数（1）yx2x2；（2） yx26x9；（3） yx2x0.的图象如图 26.22 所示.中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ （1）以上二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由 此，你能得出相应的一元二次 方
6、程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.可播放课件：函数的图像， 输入 a,b,c 的值，划出对应的函数的图像，观察图像，说 出函数对应方程的解.可以看出：（1）抛物线 yx2x2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1.当 x 取公共 点的横坐标时，函数的值是 0.由此得出方程 x2x2=0 的根是2,1.（2）抛物线 yx26x9 与 x 轴有一个公共点，这点的横坐标是 3.当 x3 时，函数 的值是 0.由此得出方程 x26x9=0 有两个相等的实数根 3.（3）抛物线 yx2x1 与 x 轴没有公共点， 由此可知，方程 x2x1=0
7、没有实数 根.总结：一般地，如果二次函数 y=的图像与 x 轴相交，那么交点的横坐标2axbxc就是一元二次方程=0 的根.2axbxc（三）归纳（三）归纳一般地，从二次函数 yax2bxc 的图象可知，（1）如果抛物线 yax2bxc 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当 xx0时，函数的值是 0，因此 xx0就是方程 ax2bxc0 的一个根.（2）二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个 公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个 不等的实数根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.
8、由于作图或观察可中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.（四）例题（四）例题例 利用函数图象求方程 x22x20 的实数根（精确到 0.1）.解：作 yx22x2 的图象（图 26.23） ，它与 x 轴的公共点的横坐标大约是 0.7,2.7.所以方程 x22x20 的实数根为 x10.7,x22.7.播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像 估计出方程 x22x20 实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其 中的差异.（五）小结（五）小结总结本节的
9、知识点.（六）作业（六）作业:（七）板书（七）板书设计设计用函数观点看一元二次方程抛物线 yax2bxc 与方程 ax2bxc=0 的解之间的关系例题26.2 用函数的观点看一元二次方程（1） 教学目标： 1知识与技能： 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系. 2方法与过程： 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识. 3情感、态度与价值观： 进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想 教学重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够 运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点. 教学难点：进一
10、步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点 教学方法： 学生学法中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 教学过程：一、引言一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高 计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义.本节课，请同 学们共同研究，尝试解决以下几个问题. 二、探索问题二、探索问题 问题 1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面 的 A 处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为 0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的 抛物线路径落
11、下，如图(1)所示.根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是 yx22x .4 5(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? 问题 2：画出函数 yx2x3/4 的图象，根据图象回答下列问题. (1)图象与 x 轴交点的坐标是什么；(2)当 x 取何值时，y0?这里 x 的 取值与方程 x2x 0 有什么关系?3 4(3)你能从中得到什么启发? 对于问题(2)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，
12、函数 yx2x 的图象与 x 轴交点的横坐标，即为方程3 4x2x 0 的解；从“数”的方面看，当二次函数 yx2x 的函数值为 0 时，相应的3 43 4自变量的值即为方程 x2x 0 的解.更一般地，函数 yax2bxc 的图象与 x 轴交点3 4的横坐标即为方程 ax2bxc0 的解；当二次函数 yax2bxc 的函数值为 0 时，相应 的自变量的值即为方程 ax2bxc0 的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的 关系. 三、三、课堂练习：课堂练习： P23 练习 1、2. 五、小五、小结：结： 1通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2若二次函数 yax2bxc 的图象与
13、x 轴无交点，试说明，元二次方程 ax2bxc0 和一元二次不等式 ax2bxc0、ax2bxc0 的解的情 况. 六、作业：六、作业： 26.2 用函数的观点看一元二次方程（2） 教学目标： 中小学教育资源站（http:/)，百万资源免费下载，无须注册！中小学教育资源站 http:/ 1知识与能力： 复习巩固用函数 yax2bxc 的图象求方程 ax2bxc0 的解. 2方法与过程： 让学生体验函数 yx2和 ybxc 的交点的横坐标是方程 x2bxc 的解的探索过 程，掌握用函数 yx2和 ybxc 图象交点的方法求方程 ax2bxc 的解. 3情感、态度与价值观： 提高学生综合解题能力，
14、渗透数形结合思想. 教学重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点. 教学难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点. 教学方法： 学生学法 教学过程：一、复习巩固一、复习巩固1如何运用函数 yax2bxc 的图象求方程 ax2bxc 的解?2完成以下两道题：(1)画出函数 yx2x1 的图象，求方程 x2x10 的解.(精确到 0.1)(2)画出函数 y2x23x2 的图象，求方程 2x23x20 的解.二、探索问题二、探索问题 已知抛物线 y12x28xk8 和直线 y2mx1 相交于点 P(3，4m).(1)求这两个函数的关系式；(2)当 x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标.解：(1)因为点 P(3，4m)在直线 y2mx1 上，所以有 4m3m1，解得 m1所以 y1x1，P(3，4). 因为点 P(3，4)在抛物线 y12x28xk8 上，所以有41824k8 解得 k2 所以 y12x28x10(2)依题意，得 解这个方程组，得，yx1 y2x28x10)x13y14) x21.5 y22.5)所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5). 五五、小结：、小结： 如何用画函数图象的方法求方程的解? 六、作业：六、作业：
