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1、第二章 系统辨识常用输入信号及经典辨识方法主讲人：王树彬1合理选用辨识的输入信号是能否获得好的辨识结 果的关键之一。为了使系统可辨识，输入信号必须满足一定的条 件。最低要求是在辨识时间内系统的动态必须被输入 信号持续激励。也就是说，在试验期间输入信号必须 充分激励系统的所有模态。更进一步，输入信号的选择应能使给定问题的辨 识模型精度最高。这就引出了最优输入信号设计问题。2Goodwin和Payne（1977）有如下结论：如果模 型结构是正确的，且参数估计值是无偏最小方差估计，则参数估计值的精度通过Fisher信息 矩阵M依赖于输入信号u(k)。最优输入信号是具有脉冲式自相关函数的信号，即当N很
2、大时，白噪声或M序列可近似满足这一要 求；当N不大时，并非对所有的N都能找到这种输入信号。3在具体工程应用中，选择输入信号时还应考虑 以下因素：1）输入信号的功率和幅度不宜过大，以免使 系统工作在非线性区，但也不应过小，以致信 噪比太小，直接影响辨识精度；2）输入信号对系统的“净扰动”要小，即应使 正负向扰动机会几乎均等；3）工程上要便于实现，成本低。辨识中常用的输入信号有白噪声或伪随机信号41帕塞瓦尔（Parseval）定理与功率谱2.1 谱密度与相关函数Parseval定理：确定性信号x(t)的总能量为：5随机过程x(t)的谱密度与自相关函数构成一组傅立叶变换对：2维纳辛钦关系式：定义互谱
3、密度为互相关函数的傅立叶变换：6应用维纳辛钦关系式，可以证明，的线性系统，在随机输入下的输出谱密度关系告诉我们：要充分激励系统，就要 使输入信号的频谱“宽”于系统频谱 。对于频率响应为输出谱密度和互谱密度分别为：7无记忆性，即t时刻的数值与t时刻以前的过去值无关，也 不影响t时刻以后的将来值。从另一意义上说，即不同时刻的随机信号互不相关。2.2 白噪声均值为0，谱密度为非0常数的平稳随机过程定义：1. 2. ，其中，为Dirac函数，即，=0 0，0且的傅立叶变换为 1，频谱宽 度无限。1. 白噪声8有色噪声是指每一时刻的噪声和另一时刻的噪声相关，因而其谱密度也不再是常数。在工业生产实际中，白
4、噪声在 物理上是不存在的，常见的往往是有色噪声。2. 有色噪声有色噪声的表示定理：设平稳噪声序列e(k)的谱密度，使得在输入为白噪声序列的情况下，环节的输出是谱密 度为的平稳噪声序列e(k)。是的实函数，则必定存在一个渐近稳定的线性环节白噪声 线性环节 有色噪声(成形滤波器)w(k) H(z-1 ) e(k)93. 白噪声的产生及其MATLAB仿真如何在计算机上产生统计上比较理想的各种不同分布的白噪声序列是系统辨识仿真研究的一个重要问题。目前已有大量应用程序可供查询或调用。这里介绍一些最常用方法的基本原理。在具有连续分布的随机数中，（0，1）均匀 分布的随机数是最简单、最基本的一种。有了 （0
5、，1）均匀分布的随机数，便可以产生其 他任意分布的随机数和白噪声。三类方法：Rand百万随机数、物理方法、数学方法10（0，1）均匀分布的随机数的产生 在计算机上产生（0，1）均匀随机数的方法很多， 其中最简单、最方便的是数学方法。乘同余法 先用递推同余式产生正整数序列xiMod为取M的余数，M为2的方幂，即M2k，k为大于2的 整数，A取适中值, 初值x0取正奇数，如x01 。再令可以证明序列i为伪随机数序列，循环周期可达2k-2下一个随机数是上一个随机数乘以A对M取余而得到的, 11A=6; x0=1; M=255; f=2; N=100; %初始化； x0=1; M=255; for k
6、=1: N %乘同余法递推100次；x2=A*x0; %分别用x2和x0表示xi+1和xi-1；x1=mod (x2,M); %取x2存储器的数除以M的余数放x1（xi）中；v1=x1/256; %将x1存储器中的数除以256得到小于1的随机数放v1中；v(:,k)=(v1-0.5 )*f; %将v1中的数（ ）减去0.5再乘以存储器f中的系数，存 放在矩阵存储器v的第k列中，v(:,k)表示行不变、列随递推循环次数变化； x0=x1; % xi-1= xi；v0=v1; end %递推100次结束； v2=v %该语句后无；，实现矩阵存储器v中随机数放在v2中，且可 直接显示在MATLAB的
7、window中； k1=k; %grapher %以下是绘图程序； k=1:k1; plot(k,v,k,v,r);1213Li1.m A=19;N=200;x0=37;f=2;M=512; for k=1:Nx2=A*x0x1=mod(x2,M)v1=x1/512v(:,k)=(v1-0.5)*fx0=x1v0=v1 end v2=v k1=k k=1:200; plot(k,v)14(0,1)均匀分布随机数的产生仿真举例利用乘同余法，37选R2，A19，k=9,M=512,递推100次调用random.m1516产生（1，1）均匀分布的白噪声只要将产生的（0，1）均匀分布的随机数统统减去0
8、.5, 原随机序列变成 了（0.5，0.5）的白噪声，然后乘以存储器f中预置的系数，便可得到 任意幅值的白噪声。f21718L=500; %仿真长度 d=1 -1.5 0.7 0.1; c=1 0.5 0.2; %D、C多项式的系数(可用roots命令求其根) nd=length(d)-1; nc=length(c)-1; %nd、nc为D、C的阶次 xik=zeros(nc,1); %白噪声初值，相当于(k-1).(k-nc) ek=zeros(nd,1); %有色噪声初值 xi=randn(L,1); %randn产生均值为0，方差为1的高斯随机序列（白噪声序列）for k=1:Le(k)
9、=-d(2:nd+1)*ek+c*xi(k);xik; %产生有色噪声%数据更新for i=nd:-1:2ek(i)=ek(i-1);endek(1)=e(k);for i=nc:-1:2xik(i)=xik(i-1);endxik(1)=xi(k); endsubplot(2,1,1); plot(xi); xlabel(k); ylabel(噪声幅值); title(白噪声序列); subplot(2,1,2); plot(e); xlabel(k); ylabel(噪声幅值); title(有色噪声序列 );%白噪声及有色噪声序列的产生191. M序列的产生2.3 伪随机序列伪随机序列是
10、一种很好的辨识输入信号，它具有近似白噪声的性质，不仅可以保证较好的辨识效果，而且工程 上又易于实现。应用领域：通信、雷达、导航、密码学、声学、数字跟踪 系统、网络系统故障诊断等M序列，二位式最大长度线性反馈移位寄存器序列，是伪随机二位式序列最简单的一种，由带有线性反馈逻辑电路 的移位寄存器产生。20移位寄存器：移位寄存器由触发器串联而成，分别以0，1表示两种状态 。当移位脉冲来到时，每位的内容（0或1）移到下一位，最 后一位的内容就是输出。为保持连续工作，将最后2级寄存器模2加后反馈到第1级 的输入端(M序列)。 211111 0111 0011 0001 1000 0100 0010 100
11、1 1100 0110 1011 0101 1010 1101 1110 1111一个四级移位寄存器若初始状态为（0000），则输出为全零序列若初始状态为（1111），则寄存器内容： 输出序列为：111100010011010 1111周期为1522%M序列及逆M序列的产生 clear all; close all;L=60; %M序列长度 x1=1; x2=1; x3=1; x4=0; %移位寄存器初值 S=1; %方波初值for k=1:LIM=xor(S,x4); %进行异或运算,产生逆M序列if IM=0u(k)=-1;elseu(k)=1;endS=not(S); %产生方波M(k)
12、=xor(x3,x4); %进行异或运算,产生M序列x4=x3; x3=x2; x2=x1; x1=M(k); %寄存器移位 end subplot(2,1,1); stairs(M); grid; axis(0 L/2 -0.5 1.5); xlabel(k); ylabel(M序列幅值); title(M序列); subplot(2,1,2); stairs(u); grid; axis(0 L -1.5 1.5); xlabel(k); ylabel(逆M序列幅值); title(逆M序列 );2324X1=1;X2=0;X3=1;X4=0; %移位寄存器输入Xi初T态（0101）， Y
13、i为移位 寄存器各级输出 m=60; %置M序列总长度 for i=1:m %1# Y4=X4; Y3=X3; Y2=X2; Y1=X1;X4=Y3; X3=Y2; X2=Y1; X1=xor(Y3,Y4); %异或运算if Y4=0 U(i)=-1;elseU(i)=Y4; end end M=U %绘图 i1=i k=1:1:i1; stem(k,U,filled) xlabel(k) ylabel(M序列) title(移位寄存器产生的M序列)2526-1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 11 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -11
14、 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1-1 1 1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 1-1 -1 1 127四位移位寄存器产生的序列周期不可能超过16，全零初态导致全零序列四位移位寄存器产生的序列最大周期只能是15如果一个移位寄存器的输出序列周期达到最大，这个序列称为最大长度二位式序列或M序列。如果输出序列的周期比最大周期小，就不是M序列。N级移位寄存器产生的序列的最大周期为N2n1281) n级移位寄存器产生的序列的最大周期为N2n12) M序列的一个周期中，“0”出现的次数为（N-1）/2“1”出现的次数为（N+1）/2，当N较大时，0，1出现的 概率几乎是相等的。1/2.3) M序列中某种状态连续出现的段称为游程。一个周期中有 2n-1个游程，游程长度为1n，但出现的概率是随机的。其中 0的游程和1的游程各占一半长度为1的游程有2n-2个，长度为2的游程有2n-3个，长度为3 的游程有2n-4个，以此类推，最后，长度为n的游程有1个。2M序列的性质294)移位可加性：5) 2个彼此移位等价的相异M序列，按位模2加后得到的和序列仍为6)M序列一个4级M序列 1111000100110101111延迟7bit的序列 0011010111100
