线性规划灵敏度分析

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1、实用运筹学 运用Excel建模和求解 第2章线性规划灵敏度分析Sensitivity Analysis for Linear Programming本章内容要点 线性规划灵敏度分析的概念和内容 使用Excel进行灵敏度分析 影子价格的经济意义和应用本章节内容2.1 线性规划灵敏度分析 2.2 单个目标函数系数变动 2.3 多个目标函数系数同时变动 2.4 单个约束右端值变动 2.5 多个约束右端值同时变动 2.6 约束条件系数变化 2.7 增加一个新变量 2.8 增加一个约束条件 2.9 影子价格 （Shadow Price）本章主要内容框架图2.1 线性规划灵敏度分析u 在第1章的讨论中，假

2、定以下的线性规划 模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常 数，并根据这些数据，求得最优解。2.1 线性规划灵敏度分析u 其实，系数cj、bi、aij都有可能变 化，因此，需要进行进一步的分 析，以决定是否需要调整决策。u 灵敏度分析研究的另一类问题是 探讨在原线性规划模型的基础上 增加一个变量或者一个约束条件 对最优解的影响。2.1 线性规划灵敏度分析u 对例1.1进行灵敏度分析最优解为（2，6）， Max z36002.1 线性规划灵敏度分析u问题1：如果门的单位利润由原来的300元提升到500元， 最优解是否会改变？对总利润又会产生怎样的影响? u问题2：如果门和窗的单位利润都发生变

3、化，最优解会不 会发生改变？对总利润又会产生怎样的影响? u问题3：如果车间2的可用工时增加1个小时，总利润是否 会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? u问题4：如果同时改变多个车间的可用工时，总利润是否 会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? u问题5：如果车间2更新生产工艺，生产一扇窗户由原来的 2小时下降到1.5小时, 最优解是否会发生改变？总利润是 否会发生变化？ u问题6：工厂考虑增加一种新产品，总利润是否会发生变 化？ u问题7：如果工厂新增加用电限制，是否会改变原来的最 优方案？2.2 单个目标函数系数变动u 下面讨论在假定只有一个系数cj改变，其他 系数均保持

4、不变的情况下，目标函数系数 变动对最优解的影响。 u 如果当初对门的单位利润估计不准确，如 把它改成500元，是否会影响求得的最优解 呢？ u 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 “规划求解”） u 方法2：运用“敏感性报告”寻找允许变化 范围2.2 单个目标函数系数变动u方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解” ） u可以借助电子表格互动地展开灵敏度分析。当模型参数发 生改变时，只要改变电子表格模型中相应的参数，再通过 重新运行Excel“规划求解”，就可以看出改变参数对最 优解的影响。 需要一 个一个 地进行 尝试， 效率略 显低下 2.2 单个目标函数系数变动u 方法2：运

5、用“敏感性报告”寻找允许变化范围 生成“敏感性报告” 读懂相应的信息2.2 单个目标函数系数变动u 结果： 最优解没有发生改变，仍然 是（2，6） 由于门的单位利润增加了 200元，因此总利润增加了 （500300） 2400元。2.2 单个目标函数系数变动u 图解法（直观） 可以看到， 最优解（2，6）保持不变 2.3 多个目标函数系数同时变动u 假如，以前把门的单位利润（300元）估计 低了，现在把门的单位利润定为450元；同 时，以前把窗的单位利润（500元）估计高 了，现在定为400元。这样的变动，是否会 导致最优解发生变化呢？u 方法1：使用电子表格进行分析（重新运行 “规划求解”）

6、u 方法2：运用“敏感性报告”进行分析（百 分之百法则）2.3 多个目标函数系数同时变动u 方法1：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”）可以看到，最优 解并没有发生变 化，总利润由于 门和窗的单位利 润的改变相应地 改变了(450300)2 (400500)6 3002.3 多个目标函数系数同时变动u 方法2：运用“敏感性报告”进行分析 u 百分之百法则:如果目标函数系数同时 变动，计算出每一系数变动量占该系 数允许变动量（允许的增量或允许的 减量）的百分比，而后，将各个系数 的变动百分比相加，如果所得的和不 超过100%，则最优解不会改变；如果 超过100%，则不能确定最优解是否改

7、 变，只能通过重新规划求解来判断了2.3 多个目标函数系数同时变动u 但是变动百分比之和超过100%并不一 定表示最优解会改变。例如，门和窗 的单位利润都减半变动百分比超过了100%， 但从右图看最优解还是（2 ，6），没有发生改变。这 是由于这两个单位利润同 比例变动，等利润直线的 斜率不变，因此最优解就 不变。2.4 单个约束右端值变动u 单个约束右端值变动对目标值的影响 u 如果车间2的可用工时增加1个小时， 总利润是否会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? u 方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行“规划求解”） u 方法2：从“敏感性报告”中获得关 键信息（影子价格，Sha

8、dow Price）2.4 单个约束右端值变动u 方法1：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”）总利润为3750元， 增加了：3750- 3600=150元。由于 总利润增加了，而 目标函数系数不变 ，所以最优解一定 会发生改变，从图 中可以看出，最优 解由原来的（2，6 ）变为（1.667， 6.5） 2.4 单个约束右端值变动u 方法2：从“敏感性报告”中获得关键信息 u 在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函 数值的条件下，影子价格（Shadow Price）是 指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标 值增加（或减少）的数量 第二个约束条件（ 车间2的工时约束） 的影子价格是

9、150， 说明在允许的范围 6，18（即12-6 ，12+6）内，再增 加（或减少）一个 单位的可用工时， 总利润将增加（或 减少）150 2.4 单个约束右端值变动u 图解法（直观） 可以看到， 在这个范围内， 每次车间的约束 右端值增加（或 减少）1，交点的 移动就使利润增 长（或减少）影 子价格的数量（ 150元）2.5 多个约束右端值同时变动u 多个约束右端值同时变动对目标值 的影响 u 将1个小时的工时从车间3移到车间2 ，对总利润所产生的影响 u 方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行“规划求解”） u 方法2：运用“敏感性报告”进行分 析（百分之百法则）2.5 多个约束右端值同

10、时变动u 方法1：使用电子表格进行分析 （重新运行“规划求解”）总利润增 加了3650- 3600=50（ 元），影 子价格有 效。2.5 多个约束右端值同时变动u 方法2：运用“敏感性报告”进行分析 u 百分之百法则：如果约束右端值同时变动， 计算每一变动占允许变动量（允许的增量或 允许的减量）的百分比，如果所有的百分比 之和不超过100%，那么，影子价格依然有效 ，如果所有的百分比之和超过100，那就 无法确定影子价格是否依然有效，只能通过 重新进行规划求解来判断了2.5 多个约束右端值同时变动u在影子价格有效范围内，总利润的变化量 可以直接通过影子价格来计算。 u比如将车间3的3个工时转

11、移给车间2，由 于u所以，总利润的变化量为2.6 约束条件系数变化u 如果车间2更新生产工艺，生产一扇窗户由原来的2 小时下降到1.5小时, 最优解是否会发生改变？总 利润是否会发生变化？ u 使用电子表格进行分析(重新运行“规划求解”)规划求解后，最 优解发生了改变 ，变成了（2/3， 8），总利润也由 3600元增加到了 4200元。可见， 车间2更新生产工 艺后，为工厂增 加了利润。2.7 增加一个新变量u例2.1 如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利 润为400元。生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3 各2、1、1工时,总利润是否会发生变化？ u使用电子表格进行分析(重新

12、运行“规划求解”)最优解 (2,5.5,1）, 最大利润 是3750元 。可见新 产品为工 厂增加了 利润2.8 增加一个约束条件u 比如工厂关心电力供应限制(例2.2 假定生产两种 新产品每件需要消耗电力分别为20kw、10kw，工厂 总供电最多为90kw),最优解是否会发生变化? u 使用电子表格进行分析(重新运行“规划求解”)可见电力约束 的确限制了新 产品门和窗的 产量，最优解 变成(1.5,6), 总利润也相应 的下降为3450 元。2.9 影子价格（1）影子价格是根据资源在生产中作 出的贡献而做的估价。它是一种边 际价格，其值相当于在资源得到最 优利用的生产条件下，资源（约束 右端

13、值）每增加一个单位时目标函 数值的增加量； （2）影子价格的经济意义和应用2.9 影子价格u 资源的影子价格实际上是一种机会成本。在 纯市场经济条件下，当资源的市场价格低于 影子价格时，可以买进这种资源，反之，可 以卖出。随着资源的买进和卖出，它的影子 价格也将随之发生改变，一直到影子价格与 市场价格保持同等水平，才处于平衡状态。 u 当资源的影子价格为0时，表明该种资源未得 到充分利用。当资源的影子价格不为0时，表 明该种资源在生产中已耗费完毕。 u 可以利用影子价格计算产品的隐含成本（单 位资源消耗量相应的影子价格后求和）。 当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产 品有利，可计划安排生产；

14、否则用这些资源 生产别的产品更为有利。2.9 影子价格u 一般来说，对线性规划问题的求解就是确定资 源的最优分配方案，所以对资源的估计直接涉 及到资源的最有效利用。 u 如在大公司内部，可借助资源的影子价格确定 一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用 和考核企业经营的好坏。 u 又如在社会上可对一些最紧缺的资源，借助影 子价格规定使用这种资源一个单位必须上交的 利润额，以使一些经济效益低的企业自觉地节 约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大的经济 效益。2.9 影子价格u 例2.3 某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿 纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100 人，每天白坯纸的供应量为30

15、000千克。如果单独 生产各种产品时，每个工人每天可生产原稿纸30捆 、或日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗 为：每捆原稿纸用白坯纸10/3千克、每打日记本用 白坯纸40/3千克，每箱练习本用白坯纸80/3千克。 已知生产各种产品的盈利为：每捆原稿纸1元、每 打日记本2元，每箱练习本3元。试讨论在现有生产 条件下使该厂盈利最大的方案。 u 如白坯纸供应量不变，而工人数量不足时，可从市 场上招收临时工，临时工费用为每人每天15元，问 该厂是否招临时工及招收多少人为宜。2.9 影子价格u 设该厂每天生产原稿纸x1捆、日记 本x2打、练习本x3箱2.9 影子价格u Excel求解结果为：生

16、产原稿纸1000 捆，日记本2000打，练习本不生产 ，此时的总利润最大，为5000元2.9 影子价格u生成“敏感性报告” u工人约束的影子价格为20元，与临时工每人每天费用15元相比，影 子价格要大，所以每招一名临时工，能为工厂多盈利20-15=5（元） ，招收的人数在允许的增量200人范围内当工人数 量不足时 ，可从市 场上招收 临时工， 最多招收 200人为 宜 2.9 影子价格（补充）u 补充 某外贸公司准备购进两种产品A1和A2。 购进产品A1每件需要10元，占用5m3的空间， 待每件A1卖出后，可获纯利润3元；购进产品 A2每件需要15元，占用3m3的空间，待每件A2 卖出后，可获纯利润4元。公司现有资金1400 元，有430m3的仓库空间存放产品。试讨论在 现有条件下使该公司盈利最大的方案。 u 现在公司有另外一笔资金585元，准备用于投 资。这笔资金可以用来购买产品A1、A2，也可 以用来增加仓库的容量（假设增加1m3的仓库 空间需要0.8元）。问应如何进行投资使公司 获得更多的利润。2.9 影子价格（补充）