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1、1第九节第九节 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题A A 组组 基础题组基础题组1.(2014 北京,19,14 分)已知椭圆 C:x2+2y2=4.(1)求椭圆 C 的离心率;(2)设 O 为原点.若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OAOB,求线段 AB 长度的最小值.2.(2017 北京东城一模)已知椭圆 W:+=1(ab0)的左右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点2222P 满足|PF1|+|PF2|=2.3(1)求椭圆 W 的标准方程及离心率;(2)如图,过点 F1作直线 l1与椭圆 W 交于点 A,C,过点 F2作直线 l2l1,且 l
2、2与椭圆 W 交于点 B,D,l1与l2交于点 E,试求四边形 ABCD 的面积的最大值.3.(2016 北京西城期末)已知椭圆 C:+=1(ab0)的离心率为,点 A在椭圆 C 上,O 为坐标原点.222232(1,32)2(1)求椭圆 C 的方程;(2)设动直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,且 l 与圆 x2+y2=5 相交于不在坐标轴上的两点 P1,P2,记直线 OP1,OP2的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2为定值.4.(2016 北京朝阳一模)已知椭圆 C:+=1 的焦点分别为 F1,F2.2 42 2(1)求以线段 F1F2为直径的圆的方程;(2)过点 P(4,0)任
3、作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N.在 x 轴上是否存在点 Q,使得PQM+PQN=180?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.B B 组组 提升题组提升题组5.(2017 北京海淀二模)已知 F1(-1,0)、F2(1,0)分别是椭圆 C:+=1(a0)的左、右焦点.222 3(1)求椭圆 C 的方程;(2)若 A,B 分别在直线 x=-2 和 x=2 上,且 AF1BF1.(i)当ABF1为等腰三角形时,求ABF1的面积;(ii)求点 F1,F2到直线 AB 距离之和的最小值.6.(2016 北京海淀二模)已知曲线 C:+=1(y0),直线 l:y=kx+1
4、与曲线 C 交于 A,D 两点,A,D 两点在2 42 3x 轴上的射影分别为点 B,C.(1)当点 B 坐标为(-1,0)时,求 k 的值;3(2)记OAD 的面积为 S1,四边形 ABCD 的面积为 S2.(i)若 S1=,求|AD|的值;2 63(ii)求证: .121 24答案精解精析答案精解精析A A 组组 基础题组基础题组1. 解析 (1)由题意,知椭圆 C 的标准方程为+=1.2 42 2所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2.因此 a=2,c=.2故椭圆 C 的离心率 e= =. 22(2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x00.因为
5、OAOB,所以=0,即 tx0+2y0=0,解得 t=-.200又+2=4,2020所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2(0+200)2=+4202042020=+4204 - 20 22(4 - 20)20=+4(00.即(-16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)0,解得 k2 .1 6设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=,y1=k(x1-4),y2=k(x2-4).16222+ 1322- 422+ 1k1+k2=+=0,11- 22- 即(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(x1-m)k(x2-4)+(x2-m)k
6、(x1-4)=0,当 k0 时,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0,所以 2-(m+4)+8m=0,322- 422+ 116222+ 1化简得=0,所以 m=1.8( - 1)22+ 1当 k=0 时,也成立.所以存在点 Q(1,0),使得PQM+PQN=180.8B B 组组 提升题组提升题组5. 解析 (1)由题意可得 a2-3=1,所以 a2=4,所以椭圆 C 的方程为+=1.2 42 3(2)由题意可设 A(-2,m),B(2,n),因为 AF1BF1,所以=0,11所以(1,-m)(-3,-n)=0,所以 mn=3.(i)因为 AF1BF1,所以当ABF1为等腰三角形时
7、,只能是|AF1|=|BF1|,即=,2+ 19 + 2化简得 m2-n2=8.由可得或 = 3, = 1? = - 3, = - 1,?所以= |AF1|BF1|= ()2=5. 11 21 210(ii)直线 AB:y=(x+2)+m, - 4化简得(n-m)x-4y+2(m+n)=0,设点 F1,F2到直线 AB 的距离分别为 d1,d2,则 d1+d2=+.|2( + ) - ( - )|( - )2+ 16|2( + ) + ( - )|( - )2+ 16因为点 F1,F2在直线 AB 的同一侧,所以 d1+d2=4| + |( - )2+ 16=4.2+ 2+ 22+ 2- 2
8、+ 16因为 mn=3,所以 m2+n22mn=6(当且仅当 m=n 时取等号),d1+d2=4=4,2+ 2+ 62+ 2+ 101 -42+ 2+ 10所以 d1+d2=42.1 -42+ 2+ 103当 m=n=或 m=n=-时,点 F1,F2到直线 AB 的距离之和取得最小值 2.3336. 解析 (1)因为 B(-1,0),9所以设 A(-1,y0),代入+=1(y0),解得 y0= ,2 42 33 2将 A代入直线 y=kx+1,(- 1,32)得 k=- .1 2(2)(i)解法一:设点 E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,
9、2 4+2 3= 1, = + 1?所以 = 96(22+ 1),1+ 2=- 83 + 42,12=- 83 + 42,?因为 S1= |OE|(|x1|+|x2|)= 1|x1-x2|= |x1-x2|,1 21 21 2而|x1-x2|=,96(22+ 1)3 + 42所以 S1= 1 296(22+ 1)3 + 42=,2 622+ 13 + 42所以=,2 622+ 13 + 422 63所以= ,解得 k=0,22+ 13 + 421 3所以|AD|=.2 2 63 14 63解法二:设点 E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,2
10、 4+2 3= 1, = + 1?10所以 = 96(22+ 1),1+ 2=- 83 + 42,12=- 83 + 42,?点 O 到直线 AD 的距离 d=,11 + 2|AD|=|x1-x2|=.1 + 21 + 296(22+ 1)3 + 42所以 S1= |AD|d= =.所以= ,1 21 296(22+ 1)3 + 422 622+ 13 + 422 6322+ 13 + 421 3解得 k=0.所以|AD|=.2 2 63 14 63(ii)证明:因为 S2= (y1+y2)|x1-x2|,1 2所以=,121 2|1- 2|1 2(1+ 2)|1- 2|1 1+ 2而 y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2,所以= = .121- 83 + 42+ 23 + 42 63 61 2
