信号与系统 周期信号的傅立叶级数展开

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1、信号与系统 4.2 4.2 周期信号的周期信号的傅立叶级数展开傅立叶级数展开 信号与系统周期信号: 定义在区间 ，每隔一定时间 T ，按相同规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为f (t)=f ( t+mT )周期信号周期信号其中 m 为整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。信号与系统周期信号的特点：（1）它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，时间范围为 周期信号周期信号（2）如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信号 可以写成（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有信号与系统正交性:（m 和 n 都是整数） 三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的

2、傅立叶级数三角函数集在区间 内是一完备正交函数集。信号与系统三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数满足一定条件的周期函数 可用三角函数集表示为狄里 赫利 条件称为傅立叶系 数三角形式的傅立叶级数三角形式的傅立叶级数信号与系统还可以写成下面形式两种形式之间系数有如下关系:或三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数三角形式的傅立叶级数信号与系统其中直流分量： 基波：二次谐波：依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分量的线性组合。根据前面的傅立叶系数公式知道：是 n 的偶函数， 是 n 的奇函数

3、。是 n 的偶函数， 是 n 的奇函数。三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数信号与系统关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。 幅度频率特性和相位频率特性三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数信号与系统例：将图示的对称方波信号展成三角形式傅立叶级数解：直接代入公式有三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数信号与系统直接代入公式有三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数信号与系统所以有三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数信号与系统例求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。周期锯

4、齿波的傅里叶级数展开式为直流基波谐波三角函数形式的傅立叶级数三角函数形式的傅立叶级数信号与系统正交性:（m 和 n 都是整数） 指数函数集在区间 内也是一完备正交函数集。指数函数形式的傅立叶级数指数函数形式的傅立叶级数当是一个完备的正交函数集。信号与系统式中 称为傅立叶系数，是复数。周期信号 ，周期为 ，角频率该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。复指数形式的傅立叶级数复指数形式的傅立叶级数其中指数函数形式的傅立叶级数指数函数形式的傅立叶级数信号与系统分量的频率是 ，而分量 的频率是 。除了直流分量 ，单独一个 不能构成物理上一个谐波分量，必须是对称的两个分量 和 才构成物理上的一个谐波

5、分 量。在三角形式的傅立叶级数中，系数 中的下标变量取值范围为 ，在复指数形式的傅立叶级数中，系数 中的下标变量取值范围是指数函数形式的傅立叶级数指数函数形式的傅立叶级数负频率的出现完全是数学运算的结果，并没有确切的物理含义。三角形 式的傅里叶级数物理含义明确，而指数形式的傅里叶级数数学处理方便， 而且很容易与后面介绍的傅里叶变换统一起来。信号与系统两种形式傅立叶级数中系数的关系:两种级数之间的关系两种级数之间的关系 信号与系统利用欧拉公式利用欧拉公式两种级数之间的关系两种级数之间的关系 是复数信号与系统例： 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数解： 直接代入公式有所以指数函数形式的傅

6、立叶级数指数函数形式的傅立叶级数信号与系统三角函数形式的傅立叶级数（总结）三角函数形式的傅立叶级数（总结）称为傅 立叶系数三角形式的傅立叶级数三角形式的傅立叶级数信号与系统其中直流分量： 基波：二次谐波：依次类推，还有三次谐波、四次谐波、高次谐波等概念。周期信号的傅立叶级数展开说明周期信号可以分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分量之和。三角函数形式的傅立叶级数（总结）三角函数形式的傅立叶级数（总结）信号与系统式中 称为傅立叶系数，是复数。周期信号 ，周期为 ，角频率该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。复指数形式的傅立叶级数复指数形式的傅立叶级数其中指数函数形式的傅立叶级数（总结）指数

7、函数形式的傅立叶级数（总结）信号与系统傅里叶级数系数之间的关系 信号与系统一般来说，一个周期信号的傅里叶系数，或者说它的频 谱跟信号的波形有如下关系(1)傅里叶级数所取项数愈多，相加后波形愈逼近原信号(2)当信号是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿， 而低频分量主要影响脉冲的顶部，波形变化愈剧烈，包含的高 频分量愈丰富；变化愈缓慢，包含的低频分量愈丰富。(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输 出波形一般要发生失真。信号与系统P87 图4-2-2信号与系统用有限项来逼近函数，则称为部分和。在不连续点附近，部分和有起伏，其峰 值几乎与N无关。随着N的增加，部分和的起 伏就

8、向不连续点压缩，但是对有限的N值，起伏的峰值大小保持不变而趋于一个常数，它 大约等于总跳变值的9。这种现象叫吉伯斯(J. Gibbs)现象。吉布斯现象（有限项傅立叶级数 ）信号与系统1.周期信号的频谱为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量，各分 量所占的比重怎样，就采用了称为频谱图的表示方法。周期信号的频谱周期信号的频谱在傅立叶分析中，把各个分量的幅度 或 随频率或角频率 的变化称为信号的幅度谱。而把各个分量的相位 或 随频率或角频率 的变化称 为信号的相位谱。幅度谱和相位谱通称为信号的频谱。信号与系统；信号与系统知道了信号的频谱，也就知道了原来的信号本身，信号 的频谱是信号的另

9、一种表示，信号的频谱提供了从另一个角 度来观察和分析信号的途径。周期信号的频谱三角形式的傅立叶级数频率为非负的，对应的频谱一般称为 单边谱，而指数形式的傅立叶级数频率为整个实轴，所以称 为双边谱。周期信号的频谱实际上就是它的直流、基波、以及各个 谐波分量的幅度和相位随频率的分布情况，或者说是它的各 种频率分量的分布情况。信号与系统(3) 收敛性谱线幅度随 而衰减到零。各频谱的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱 线的高度也无限减小周期信号频谱的特点：(1)离散性谱线是离散的而不是连续的，因此称为离散频谱；(2) 谐波性谱线所在频率轴上的位置是基波频率的整数倍；周期信号的频谱

10、周期信号的频谱信号与系统信号的频谱是一个非常重要的概念，对系统而言还引 申出了频率响应的概念。周期信号的频谱并由此发展了信号与系统分析的另一种非常重要的方 法，即频域分析方法，这些概念和方法的掌握对后续课程 的学习，比如自动控制原理、数字信号处理、通信原理等 课程的学习都是至关重要的。 信号与系统请画出其幅度谱和相位谱。例解：化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 X周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统化为指数形式整理指数形式的傅里叶级数的系数周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统谱线指数形式的频谱图周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统三角函数形式的频谱图指数形式

11、的频谱图周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统典型周期信号的频谱T：脉冲周期：脉冲宽度A：脉冲幅度：基频第一步：首先展开为三角形式的傅立叶级数f(t)是偶函数bn=0周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统第二步：展成指数形式傅立叶级数周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统第三步：频谱分析与之比值有关，取 与包络线均为为离散频率周期信号的频谱周期信号的频谱当 时即1 抽样函数信号与系统令 将 代入得即 （取 ） 计算第一个振幅为零的谐波次数n幅度频谱图周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统0 an 00Fn0Fn0即即0相位频谱图周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统周期矩形脉冲信号的傅立叶系数

12、为 频谱图： 若把相位为零的分量的幅度看作正值， 把相位为的分量的幅度看作负值，那 么幅度谱和相位谱可合二为一。幅度谱相位谱周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统各条谱线顶点的联线称为谱线包络线。如 果把按抽样函数规律变化的频谱包络线看 成一个个起伏的山峰和山谷，其中最高峰 称为主峰。包含信号主要频谱分量的 这段频率范围称为矩形脉冲信号的有效频带宽度或带宽，即矩形脉冲的频带宽度为主峰高度 包络主峰两侧第一个零点为或周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统第四步：讨论频谱结构与 、T 的关系1.当 不变，T增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减 小 当非周期信号连续频率非周期信号连续频谱2.

13、当T不变， 减小时振幅为0的谐波频率T不变间隔不变周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统随着T的增大，各条谱线高度减小、谱线变密。当T时，则各条谱线 高度0 ，各谱线间隔也 0 ，这时周期信号已转化为非周期信号，离散谱 线变为连续谱线期信号的 频谱周期信号的频谱周期信号的频谱信号与系统 周期信号的频谱周期信号的频谱振幅为0的谐波频率间隔不变信号与系统周期信号的平均功率为根据傅立叶级数展开有即称为周期信号的帕什瓦尔(Parseval)定理。表明周期信号的平均 功率等于各个复指数信号分量的平均功率之和，即总平均功率 是各个分量平均功率之和 周期信号的平均功率和功率谱周期信号的功率谱周期信号的功率谱

14、 信号与系统帕什瓦尔公式还可以写成各平均功率分量 与频率的关系，称为周期信号的功率频谱， 简称功率谱。周期信号的功率谱也是离散谱。从周期信号的功率谱中可以看 出各平均功率分量随频率的分布情况，周期信号在时域中的平均功率等于频域中的直流分量和各次谐波 分量的平均功率之和。周期信号的功率谱周期信号的功率谱 另外还可以确定在周期信号的有效频带宽度内谐波分量所具 有的平均功率占整个周期信号的平均功率之比。信号与系统例：试求图示周期矩形脉冲在有效频带宽度 内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比，其中已知 A=1, T=0.25s, =0.05s。周期信号的功率谱周期信号的功率谱 信号与系统

15、解：根据前面傅立叶级数展开，图示周期矩形脉冲的傅立叶系数为信号总平均功率为将A1，T0.25s， =0.05s，0 =2 /T=8 代入得周期信号的功率谱周期信号的功率谱 信号与系统在有限带宽 内有直流分量、基本分量和四个谐波分量。有限带宽内信号各个分量的平均功率之和为周期信号的功率谱周期信号的功率谱 信号与系统当周期信号具有某种对称性时，在傅立叶级数展开过程中，傅立叶系数 的计算大为简化。（1）偶对称周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统（2）奇对称周期信号的对称性与傅立叶系数 信号与系统（3）偶半波对称偶半对称信号的第二个半周波形与第 一个半周波形相同，其基波频率为 20，进行傅立叶级数展开时只含有偶次谐波项，所以偶半波对称信号有 时称为偶谐信号。 周期信号的对称性与傅立叶系数 n为偶数时n为奇数时n为偶数时信号与系统（4）奇半波对称周期信号的对称性与傅立叶系数 n为偶数时n为奇数时n为奇数时奇半对称信号的第二个半周 波形为第一个半周波的负值 。进行傅