《傅立叶变换与频域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅立叶变换与频域分析（57页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章傅立叶变换与频域分析第一节 傅立叶变换及其意义（Fourier Transform） 第二节 快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform）第三节 傅立叶变换的性质（Properties of the Fourier Transform） 第四节 频域分析（Frequency Domain analysis） 第五节 频域分辨率和谱图表示（Frequency Resolution in Frequency Domain） 第六节 幅值平方相干函数（Magnitude-Squared Coherent Function） 第七节 频域滤波（Filtering in Freq
2、uency Domain）2 第一节 傅立叶变换及其意义 （Fourier Transform） 9.1.1 傅立叶变换的意义及各种变换对如果一个LTI系统的输入可以表示为周期复指数的线性 组合，则输出也一定能表示成这种形式，并且输出线性 组合中的加权系数与输入中对应的系数有关。 图9.1各种信号的傅立叶级数和傅立叶变换对 ： 傅立叶变换的意义 把一个无论多复杂的输入信号分解成 复指数信号的线性组合，那么系统的输出 也能通过图9.1的关系表达成相同复指数信 号的线性组合，并且在输出中的每一个频 率的复指数函数上乘以系统在那个频率的 频率响应值。 一个域离散必然另外一个域周期，相反的 ，如果一个
3、域连续必然另外一个域是非周 期的。5 9.1.2 离散傅立叶变换（DFT ） 离散傅立叶变换的导出有多种方法，比较方便，同时 物理意义也比较清晰，是从离散时间傅立叶变换（DTFT）和从离散傅立叶级数（DFS）入手。 【例9-1】试计算常用信号 和 的N点DFT。 解： 旋转因子具有下列性质： 周期性:共轭对称性:可约性: 第二节 快速傅立叶变换 （Fast Fourier Transform）FFT是对计算DFT的快速算法的总称，FFT算 法很多，最经典的一种就是库利图基算法 ，包括基于时间抽选和频率抽选的以二为基 底的FFT算法；由以二为基底发展了任意基 数的FFT算法。 设序列的长度N2m
4、，其中m为正整数，如果不满 足该条件，可以通过补零方法来达到该条件。既 然点长为偶数，就先把序列分成两组，偶数项为 一组，奇数项为一组，分别用两个序列来表示：(9-1) 则N点DFT运算也相应分为两组：根据的可约性，有 ，上式变成： 其中 分别为 的N/2点DFT： (9-2) (9-3) 利用 的隐含周期性可以得到 另外一半值. 从而得到N点DFT分解计算式：(9- 4) 将式（9-4）用信号流图表示，如图9-2，左边表示输入 ，右边表示输出，支路上的箭头表示乘法运算，乘的 因子只对有相位变换而没有幅度变换，所以被称为旋 转因子，由于此图像蝴蝶，故称为蝶形运算。一个蝶 形运算只包括一次复数乘
5、法、两次复数加法。图9-2 蝶形流图12 第三节 傅立叶变换的性质（ Properties of the Fourier Transform） 设序列和都是N点长，它们对应的N点DFT 分别为 和 ,来讨论傅立叶变换的一 些性质。 1. 线性a，b为任意常数。如果两个序列的长度不同 则短的序列补零使得两个序列长度相同即 可。 13 2.时间翻转特性证明： 这里需要补充3.序列的循环移位因而有序列的循环移位在第六章详细介绍过 ，这里简单给出循环移位的定义：14 即序列的循环移位相当于频域的相移。根据时域和频 域的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制 ：上式表示的含义为，先将序列 以N为周期进
6、行周 期性延拓，得到 ，然后再进行移 位，得到 ，最后取主值序列，得到 仍然是一个N点长的序列。 循环移位后的DFT为:因此，序列循环移位后的DFT为：15 4.循环卷积第六章介绍了循环卷积的计算，这里考虑时域循环卷积 结果和频域的关系。设 则有:通常把式（9-5）称为循环卷积，它的结果仍然是N点长的序列, 循环卷积交换序列的先后次序得到的结果都相同。时域和频 域的对偶关系，可以得到频域循环卷积对应时域相乘：(9-5)时域循环卷积对应于DFT的相乘，注意不要和线性卷积混淆， 两个序列线性卷积对应于DTFT的相乘：16 式中 表示循环卷积运算符，式中 表示线性卷积运算符。循环 卷积和线性卷积存在
7、一定关系，由第六章知道，循环卷积 是N点循环卷积结果， 序列长度为N，线性卷积 序列长 度为2N1。假设序列 是 两 个序列的L点循环卷 积，LN，就需要对 补零，然后以L为周期进行周期 延拓, 则它们的L点循环卷积为：(9-6)17 【例9-2】设有两序列分别为 求它们的线性卷积和5点循环卷积。式（96）表示循环卷积是线性卷积以L为周期进行周期 延拓，然后取L点主值的结果。明显，如果 线性 卷积就等于循环卷积结果，如果 ,则循环卷积是线 性卷积以L为周期延拓的混叠。解：线性卷积 ,直接计算得 到6点序列值： 循环卷积 ，用表格法来计算，如表9.2所示。 18 表9.2 表格法求循环卷积 n
8、1 1 1 0 0 0 2 0 5 4 3 7 1 3 2 0 5 4 5 2 4 3 2 0 5 9 3 5 4 3 2 0 12 4 0 5 4 3 2 9 我们利用上述结果来验证式（96）是否正确.对线性卷 积结果 以5为周期进行周期延拓,则有19 结果和5点循环卷积相同，比较这两个卷积结果 ，发现只有两点（n0，n5）发生了重叠，其 它点结果都相同。5.共轭对称性我们知道任意一个信号可以表示成它的奇对称 部分和偶对称部分之和，那里的对称是关于坐标原 点或者纵坐标的对称性。DFT中的复序列 和频 域 都是在0到N-1的范围内，因而它的对称是在 主值范围内的对称，称为周期共轭对称 和周期
9、共轭反对称 ,它们的对称关系如下：20 严格说上式当n0时有 出现，已经超过主值范围， 所以一般补充认为N点的值就等于在0点的值。设任意有限长复序列可以分解成周期共轭对称分量和周期 共轭反对称分量之和：其中易证当 是实数序列时，共轭可以去掉,得：21 同理，频域序列也可以分解成周期共轭对称分量和周期 共额反对称分量之和：周期共轭对称分量的含义是模数相等，幅角相反，周期共 额反对称分量的含义是实部相反，虚部相等。易证明DFT的共轭对称性可以用下式表示：22 【例9-3】已知 ,若 是实序列，并且 ，试证明 也是实偶对称的。证明：由于 偶对称，则 ，由式（97）知 ，即 为实序列。由于 是实序列，
10、则 ，因而 ，即 为偶对称。证毕。6.帕塞瓦尔（Parseval）定理帕塞瓦尔（Parseval）定理是序列的能量定理,若 则有(9-7)23 证明：计算序列的能量可以从时域或者频域入手。【例2-4】已知 ，N=6，不求它的DFT结 果，来计算下值：24 （1） （2） （3） 解:（1）利用正变换公式 ， 令k0，得 即所有序列值之和。 （2）利用反变换公式 ，令n0，得（3）利用帕塞伐尔定理 ，得表2.3列出了N点DFT的主要性质。表2.3DFT的性质表26 第四节 频域分析 （Frequency Domain analysis） 离散傅立叶变换作为傅立叶变换的一种近似而得到 广泛应用，它
11、的快速算法保证了DFT在实时信号处 理中的应用。下面介绍频谱分析中常用的几种。 1.幅度谱 N点长序列 的DFT结果 ,是离散的复序列，可 以用下式表示： (9-8)离散傅立叶变换的模 ,表示信 号 的各复指数信号的频率分量（ ）的相对大小。例如，在k0附近小范围以外 , 那么 所呈现的仅是相当低的频率。27 如果序列 是实序列，根据例题2-4，则 偶对 称， ，即模数相等 ，幅 角相反 .这时画出的幅度谱就是 偶对称的，往往只需要画一半即可。画幅度谱时，采用对数坐标也是很常用的，即幅 度大小用 来代替，这时纵坐标的单位就 是分贝（dB），0分贝对应模等于1，20分贝就对 应10倍的增益，20
12、分贝对应于衰减0.1，等等。【例2-6】已知信号 ,N取一 个周期的大小，画出该信号的幅度谱并解释该图。 解：信号的第一个成分的周期为， 28 第二个成分的周期为， 因而的周期为N32。 幅度谱为：29 因此信号的幅度谱如图2.6所示。图2.6 信号的幅度谱由幅度谱可以看出信号只在k3，5，27，29有大小 ，它代表的含义是信号所包含的各个复指数频率分量 的大小，即只有四个复指数频率分量存在：30 k3，29的复指数分量大小是k5，27的复指数分量 的一倍。这些和 信号的幅度、频率信息相符合， 但是没有给出该信号的相位信息。由于幅度谱的偶对 称性，往往只画出一半的幅度谱即可。2.相位谱表示相位
13、角， ，它的大小 不会影响各复指数频率分量的大小，但能提供 这些频率的初始相位信息。 对信号 的性 质有着显著的影响,因此一般包含了信号的大量 信息,用相同的幅度谱和不同的相位谱得到的信 号完全不同。 如果序列 是实序列， ，即相位 谱是奇对称。31 【例2-6】画出例题2-6的相位谱并解释该图。解：因为相位谱为：因此信号的相位谱如图2.7所示，纵坐标表示相位角 除以 的大小，由相位谱可以看出信号只在k3，5 ，27，29有值，它代表的含义是信号所包含的各个 复指数频率分量的初相位， 32 例如k5表示信号的复指数频率分量 为 的初相位为 .这些和信号 的相位信息 相符合，但是没有给出该信号的幅度信息 。由于相位谱的奇对称性，往往只画出一 半即可以得
