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1、线性代数数学建模案例 （1）网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力 分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众 多领域。当科学家、工程师和经济学家研究某种网络 中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市 规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交 通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家 分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者 的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数 百甚至上千未知量和线性方程。 一、网络流模型、网络流模型 一个网络由一个点集以及连接部分或全部点 的直线或弧线构成。 网络中的点称作联结点( 或节点)，网络中的连接线称作分支. 每一分
2、支 中的流量方向已经指定，并且流量(或流速)已 知或者已标为变量。网络流的基本假设是（1）网络中流入与流 出的总量相等；（2）每个节点上流入和流出 的总量也相等。例如，上面两图（a）、（b） 。 流量在每个节点守恒。 在类似的网络模式 中，每个结点的流量都可以用一个线性方程来 表示。 网络分析要解决的问题是：在部分信息(如 网络的输入量)已知的情况下，确定每一分支中 的流量。 城市道路网中每条道路、每个交 叉路口的车流量调查，是分析、评价及改 善城市交通状况的基础。根据实际车流量 信息可以设计流量控制方案，必要时设置 单行线，以免大量车辆长时间拥堵。 案例1 交通网络流量分析问题交通网络流量分
3、析问题 下图为某城市的局部单行示意图【问题描述】： 某城市单行线如下图所示 , 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行 驶的车流量(单位: 辆). 5001234400300100200300x1x2x3X4图3 某城市单行线车流量示意图现在需要解决的问题如下： （1） 建立确定每条道路流量的线性方程组. （2） 为了唯一确定未知流量, 还需要增添 哪几条道路的流量统计? （3） 当x4 = 350时, 确定x1, x2, x3的值. （4） 若x4 = 200, 则单行线应该如何改动 才合理? 。【模型假设】：（1） 每条道路都是单行线（2） 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相 等. 【模型
4、建立】 根据图3和上述假设, 在, , , 四个路口进出车辆数目分别满足：500 = x1 + x2 400 + x1 = x4 + 300 x2 + x3 = 100 + 200 x4 = x3 + 300 n【模型求解】根据上述等式可得如下线性方 程组。其增广矩 阵(A, b) =由此可 得即 ：n为了唯一确定未知流量, 只要增添x4统计的值即可 . 当x4 = 350时, 确定x1 = 250, x2 = 250, x3 = 50.若x4 = 200, 则x1 = 100, x2 = 400, x3 = 100 A = 1,-0.6,-0.5;-0.3,0.9,-0.1;-0.2,-0.
5、1,1; b = 60000;100000;0; x = Ab Matlab执行后得x =1.0e+005 *1.99661.84150.5835n可见煤矿要生产199660元的煤, 电厂要生产 184150元的电恰好满足需求. nMatlab实验题 某乡镇有甲、乙、丙三个企业. 甲企业每生产1元 的产品要消耗0.25元乙企业的产品和0.25元丙企业的 产品. 乙企业每生产1元的产品要消耗0.65元甲企业 的产品, 0.05元自产的产品和0.05元丙企业的产品. 丙企业每生产1元的产品要消耗0.5元甲企业的产品和 0.1元乙企业的产品. 在一个生产周期内, 甲、乙、丙 三个企业生产的产品价值分
6、别为100万元, 120万元, 60万元, 同时各自的固定资产折旧分别为20万元, 5万 元和5万元. (1) 求一个生产周期内这三个企业扣除消耗和折 旧后的新创价值. (2) 如果这三个企业接到外来订单分别为50万元, 60万元, 40万元, 那么他们各生产多少才能满足需求? 相关内容见线性代数课件的第3.7节的“ 人口迁移模型”，以及4.5节的“离散动态系统模型” 。除了上述例子，现实生活中还有很多，可 以通过建立形如 的差分方程的例子。四、线性差分方程建模及求解四、线性差分方程建模及求解【模型准备】某试验性生产线每年一月份进行熟练工 与非熟练工的人数统计， 然后将熟练工支援其 他生产部门
7、, 其缺额由招收新的非熟练工补齐 。 新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核 有成为熟练工. 假设第一年一月份统计的熟练 工和非熟练工各占一半， 求以后每年一月份统 计的熟练工和非熟练工所占百分比。 案例四 人员流动问题人员流动问题 【模型准备】金融机构为保证现金充分支付, 设立 一笔总额5400万的基金, 分开放置在位于A城和B城的 两家公司, 基金在平时可以使用, 但每周末结算时必须 确保总额仍然为5400万. 经过相当长的一段时期的现 金流动, 发现每过一周, 各公司的支付基金在流通过程 中多数还留在自己的公司内, 而A城公司有10%支付基 金流动到B城公司, B城公司则有12%支付基金
8、流动到 A城公司. 起初A城公司基金为2600万, B城公司基金为 2800万. 按此规律, 两公司支付基金数额变化趋势如何 ? 如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于 2200万, 那么是否需要在必要时调动基金? 案例五 金融公司支付基金的流动金融公司支付基金的流动 n在Matlab命令窗口输入以下命令 syms k %定义符号变量 P*1,0;0,0.78(k+1)*P(- 1)*2600;2800 nMatlab执行后得ans = 32400/11-3800/11*(39/50)(k+1) 27000/11+3800/11*(39/50)(k+1)【模型准备】设有A, B, C三个政
9、党参加每 次的选举, 每次参加投票的选民人数保持不变. 通常情况下, 由于社会、经济、各党的政治主 张等多种因素的影响, 原来投某党票的选民可 能改投其他政党 。案例六 选举问题选举问题【模型假设】 （1）参与投票的选民不变, 而且没有弃权票 ；（2）每次投A党票的选民, 下次投票时, 分别有 比例的选民投A, B, C政党的票; 每次投B党票的选民, 下次投票时, 分别有 比例的选民投A, B, C各 政党的票; 每次投C党票的选民, 下次投票时, 分别有 比例的选民投A, B, C各政党的票 。（3） 表示第k次选举时分别投A, B, C各党的选民人数 。【模型建立】 根据假设可得 , n其中r1 + r2 + r3 = s1 + s2 + s3 = t1 + t2 + t3 = 1 。 令A = Xk =n上式可以表示为： n如果给出问题的初始值, 就可以求出任一次选 举时的选民投票情况.
