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1、第四节 多元线性回归分析 前面讨论了两个变量的回归问题，但在很多 工程技术实际问题中，和y有关的变量一般不只 一个，而是多个。 比如: y和x1 ,x2 ,x3xp个变量有关。即研究y和x1 ,x2 ,x3xp个变量之间的相 关关系问题就叫多元回归问题。在多元回归中我们重点讨论多元线性回归问 题。因为很多多元非线性回归问题可以采用变量 变换法，把它转成多元线性回归问题处理。一、多元线性回归分析1.多元线性回归的数学模型设:y与p个变量x1,x2,x3xp的关系是线性相关关系。通过试验测得n组观测值:(yi ,xi1,xi2,xi3xip)i=1,2,3n如下表所示.变变量 试试号x1x2xjx
2、py1x11x12x1jx1py12x21x22x2jx2py2 ixi1xi2xijxipyi nxn1xn2xnjxnpyn设这批数据有如下的结构:(这就是多元线性回归的数学模型)其中:0 ,1 ,2 ,3 ,p是p+1个待估参数。x1,x2,x3xp是p个可以精确测定或可控的一 般变量。 1,2,3n是n个独立且服从同一正态分布的 随机变量。2.多元线性回归参数的最小二乘估计 设0,1，2，p的最小二乘估计为 :b0,b1,b2,bp则回归方程为:令:由或叫正规方程组j=1,2,3.pi=1,2,3n上式简化整理得:.(1)其中(j=1,2,3p)(i=1,2,3n)(j、k=1,2,3
3、p)令:式1变为:(2)例.根据经验认为在人的身高相等的情况下 ，血压的收缩压y与体重x1 、年龄x2有关，为 了了解其相关关系，现收集了13个男子的下 述数据，求回归方程。序 号x1x2yi1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13152 183 171 165 158 161 149 158 170 153 164 190 18550 20 20 30 30 50 60 50 40 55 40 40 20120 141 124 126 117 125 123 125 132 123 132 155 1471.设回归方程形式为:2.为了计算简化，作变量线性变换令: x1=x1
4、-150x2=x2/10yi=yi-120.序号x1x2yi x1=x1-150 x2=x2/10 yi=yi-120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13152 183 171 165 158 161 149 158 170 153 164 190 18550 20 20 30 30 50 60 50 40 55 40 40 20120 141 124 126 117 125 123 125 132 123 132 155 1472 33 21 15 8 11 -1 8 20 3 14 40 355 2 2 3 3 5 6 5 4 5.5 4 4 20 21 4 6 -
5、3 5 3 5 12 3 12 35 27209 16.08 5439 - -50.5 3.88 219.25 658.5 130 10 2812 3687 43.35和平均平方和x1与各变变量乘积和x2与各变变量乘积和3.由:j=1,2 ; k=1,2 ; i=1,213如当j=1,k=1时2078.923同理求得:l12=l21=-153.3846 l22=23.0769 由:得:l1y=1607 , l2y=-71.5则:.即回归方程为:(1)(2)3.多元线性回归的统计检验 包括:1)回归方程检验;2)回归系数检验。1) .多元线性回归方程的显著性检验 .统计量:当时，回归方程显著。下
6、面对上例回归方程2作显著性检验。由于 对式2的检验等价于对回归方程1作检验。因 此对式1检验即可。检验过程如下: .所以回归方程显著。2.归系数bj的显著性检验 在多元回归问题中，多元线性回归方程显 著，并不意味每一个变量x1,x2.xp都对y影 响重要。因此我们希望分清哪些因素对y影响 是主要的，哪些是次要的，从而剔除那些次要 因素，重新建立更简单的回归方程，以利于对 y进行预报和控制。令:统计量:cjj:C的主对角线上的元素. 当 FjF(1,n-p-1) 时时，xj对对y在水平上显著。如果其中有k个xj不显著，即应先去丢最 不显著的那个，重新求回归方程，再作检验 ，直到回归方程中所有的x
7、j都显著为止。对于上例: c11=0.0009439 ,c22=0.085033b1=1.0683 , b2=4.0022Q=81.3992 , n-p-1=10同理:F1F0.01(1,10)=10.0F2 F0.01(1,10)=10.0说明x1 ,x2对y有显著影响。3.利用回归方程进行预报(测)和一元线性回归一样，当经过检验得知回 归方程显著，且方程中各个变量也显著时，可 利用回归方程进行预报和控制。由于控制较复 杂，所以这里只预报问题。当给出x1,x2,x3时，y0的近似预测区间为:95%的预测区间:99%的预测区间:其中:例.上海市青浦县是个低洼河网地区，正确预 报讯期当地每天的最
8、高水位，对农业生产有重要 意义，经分析，知最高水位y与下述五个变量有 关:x1为昨天当地最高水位，x2为上游水文站昨 日最高水位，x3为上游水文站前日最高水位，x4 为黄浦公园当日最高潮位，x5为当地昨日雨量。 其回归方程如下:今测得五个变量的值分别为: x1=2.40 , x2=2.54 ,x3=2.53 , x4=3.98 , x5=8.0求今日最高水位95%的预测区间。由回归方程及给出的数据得:95%的预测区间为:4.多项式回归设x和y具有如下相关关系,即回归方程为:求法:先令:(1)(2)式1变为:式2变为:这样就变成了多元线性回归问题，其求法 和前面的相同。构建表格如下表所示yxX1
9、=x X2=x2XP=xpy1x1X11X12X1py2x2X21X22X2p. . . . . ynxnXn1Xn2Xnp对于只要令:(1)式1变为:和多元线性方程一样求。第七章 回归设计与分析前面已讲了回归分析，但由于试验未作设 计，数据只能被动处理。随着生产的发展，特 别是寻求最佳工艺和配方及建立各种数学模型 的需要，人们要求以较少的试验，建立较好的 回归方程，就要求摆脱古典回归分析的被动局 面，主动地把试验安排、数据的处理和回归方 程精度统一起来加以考虑和研究，于是发展起 了最优试验设计和应用这一数理统计分支研究。最优试验设计内容很多，这里主要讲述回 归正交设计和二次回归旋转设计。第一
10、节 一次回归正交设计回归正交设计-是把正交试验设计、回归数据处理和回归精度统一起来的回归设计与分析方法。一次回归正交设计是利用回归正交设计原理 建立回归方程,变量的最高次数为一次。其回归 的模型为: 或(1)(2)1.一次回归正交表一次回归正交设计表是把二水平正交表的 “1”和“2”分别改为“+1”和“-1”即可。如列号 试试号1231111212232124221列号 试试号123111121-1-13-11-14-1-11代换后两表无本质差别，但代换后可明显看出正 交表的正交性，即每列数字之和为零。每两列对 应数字积之和为零。一次回归正交试验设计用一次回归正交表来安排试验，结果和用原正交表
11、的没有 什么差别，但这时回归系数的计算很简便， 且回归系数间不存相关性。2.一次回归正交设计与分析一次回归正交设计与分析步骤:(1)先根据经验选择p个与y有关的因素xj ,确 定xj的变化范围，用x1j和x2j分别表示xj的下 限和上限 ,分别叫因素的下水平和上水平。(2).编码令:-xj 的零水平。-xj变化区间。对因素取值作如下线性代换(即偏码)(k=0,1,2; j=1,2p)从而建立xj与zj取值的一一对应关系为:下水平零水平上水平.下水平零水平上水平一般叫xj为自然变量，zj为规范变量。偏码 的结果用下表所示。 规规范变变量zkj自然变变量xkj x1x2.xp 下水平(-1)x11
12、x12.x1p 上水平(+1)x21x22.x2p 变变化区间间j12.p 零水平(0)x01x02.x0p这时用zkj直接建立回归方程如下:或(3)(4)(先求式3 、4,后转换成式1 、2)(3)构建试验方案根据因素的多少及是否考虑交互作用选择 合适的二水平正交表，按表头安排试验并实 施。同时,为了把方程建立得更好，还须安排 零水平重复试验。例如:如果考虑三因素x1 、x2 、x3,并考 虑它们的交互作用x1x2 、x1x3 、x2x3,这时选 用L8(27)进行试验设计并加上两个零水平试 验。即经过编码的三因素一次回归正交设计 计划如下:列 试试号123456 z1z2z1z2z3z1z
13、3z2z3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 01 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 01 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 01 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 01 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 01 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0基本试验点零水平试验点考虑b0的计算，可在上表第一列加z0列, z0列中各数值全为1 ,同时在上表最右边加 上y列，就得了一个完整的三因素一次回归 正交分析表。如下:试试 号z0z1z2z1z2z3z1z3z2z3y1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 1 1
14、1 1 1 1 1 11 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 01 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 01 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 01 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 01 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 01 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0y1 y2 y3 y4 y5 y6y7 y8 y9 y10(4)参数的最小二乘估计试试号z0z1z2z3z1z2z1z3z2z3y 1 2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 -1 -1 -1 -11 1 -1 -1 1 1 -1 -11 -1 1 -1 1 -1 1
15、-11 1 -1 -1 -1 -1 1 11 -1 1 -1 -1 1 -1 11 -1 -1 1 1 -1 -1 1y1 y2 y3 y4 y5 y6y7 y81).不加零水平试验点的参数估计回归方程的型式为:即(i=1,2n)则:即b的系数结构矩阵为:设结果:(5)(6)由于即由于.(7)其中zij表示zj列元素，(zkzj)i表示zkzj列元素。注:引入交互作用项后，回归方程不再是线性 的，但交互作用项同因素一样在正交表上占 一列，因此其回归系数计算方法和因素的一样 。2).加零水平试验点的参数估计如果在试验中加了m个零水平试验点,除b0 外，其他各回归系数的估计均不变，而(5)回归方程
16、及回归系数的方差分析由于一次回归正交设计消除了各回归系 数间的相关性，各因素的偏差回归平方和为:1).没有重复试验情况.(8)(9)自由度注:对回归系数检验，当回归系数不显著时,直接 把它去丢，同时回归方程不必重新求。如:(注:没有交互作 用时，f回=p)一次回归正交设计的方差分析表方差来源自由度f平方和S均方MSF z1 z2 . . zp z1z2 z1z3 . . zp-1zp1 1 . . 1 1 1 . . 1U1 U2 . . UP U12 U13 . . UP-1PU1 U2 . . UP U12 U13 . . UP-1PU1/MSe1 U2/MSe1 . . UP/MSe1 U12/MSe1 U13/MSe1 . . UP-1P/MSe1 回归归fU=p(p+1)/2UM
