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1、1. 拉格朗日变数 (a, b, c) 给出的流体运动规律为1) 求以欧拉变数描述的速度场； 2) 问流动是否定常； 3) 求加速度。解: 1) 设速度场的三个分量是,消去以上表达式中的拉格朗日变数,2) 欧拉表达式中包括变量t , 是不定常流动 。 3）在欧拉参考系中求加速度 在拉格朗日参考系中求加速度,1) 涡量2) 应变率张量 3) 旋转张量4) 变形速度 和旋转速度2.设平面剪切运动的速度分布为试求: 解: 1 )2 )3 )4 )5 )以上结果表明一个平面剪切运动可以分解为一个剪切变形运动和一个旋转 运动,可以用下图直观的表示。3. 一流场中流体的密度为1,速度分布为求在体积 中质量
2、随体导数。其中a 为常数, 解: 4.流体内某处的应力张量可表示为试求作用于平面 外侧（离开原点一侧）的应力矢量 及应力矢量的法向和切向分量。解: 求该平面外侧的法向单位矢量， 5.圆球表面应力如下, 求圆球所受的力，以上表达中， 为无穷远处压强和流体速度 ， 为动力粘性系数 ， a 为圆球半径。球坐标和直角坐标关系, 解: 又解 :6. 试求图示圆柱坐标系微元体所受表面力的合力。计算中可取每个表面中心的应力作为该表面的平均应力。已知单位矢量 和 均是的函数，且, ,微元体中心的应力张量已知。 解: 同理 整理得 7. 给定一流场的速度分布和密度分布为:其中 , k为非零常数。1). 在流场中
3、某点的流体密度随时间的变化率 ； 2). 流体质点密度在运动过程中随时间的变化率 ； 3). 在体积 中流体质量的随体倒数。 解: 1)2)3)在体积 中流体质量为 ， 所以 以上计算中用到如下式子，1. 教科书(1.6)在下边习题求解中会用到以下公式，请参阅有关资料。 柱坐标与直角坐标A(r, , z)XZrY球坐标与直角坐标2. 试对柱坐标形式的微六面体,建立运动方程.解: 系统总动量变化率 = 控制体内动量变 化率 + 经控制面净流出的动量流率 控制体内动量变化率:经控制面净流出的动量流率r 方向 方向Z 方向系统总动量变化率柱坐标中于是微元体所受的表面力微元体所受的重力依据动量定理3.
4、 小球在理想流体中作缓慢匀速直线运动，试给出小球表面流体速度 所必须满足的边界条件 解： 取固定坐标系如图,球面方程为 令物面边界条件为 ,式中:又解: 取运动坐标系 固结在小球上 , 球面方程令流体相对于动坐标系速度 动坐标系和固定坐标系间关系为, 将以上两式代入物面条件得：4. 试写出自由表面波动时的运动学边界条件 解： 5. 分别写出绕流固体圆球，圆球状液滴，圆球状汽泡时的边界条件 ： 解： 1) 固体圆球： 2) 液滴 为有限值 3)气泡 请注意上述情况均为轴对称运动。（水平方向 =0）6. 从N-S方程出发，作出适当的假定。推导以下各方程。设不可压缩流体 . (a) (b) (c)
5、（a）设解： (b) 方向的N-S方程c)对 y 求偏导对 x 求偏导求导后的两式相减7. 方程简化：两无穷大平板间的充分发展流动（层流）. 解： yU边界条件：8. 圆管内的充分发展流动（层流）. 解：连续方程式中边界条件 ：为有有限值解： 轴对称流动 ;9 圆管进口段，多孔壁，层流定常流动,式中边界条件1. 试对柱坐标形式的微六面体,建立运动方程.解:系统总动量变化率 = 控制体内动量 变化率 + 经控制面净流出的动量控制体内动量变化率:经控制面净流出的动量r 方向 方向Z 方向系统总动量变化率柱坐标中于是微元体所受的表面力微元体所受的重力依据动量定理2. 教科书(1.6)在下边习题求解中
6、会用到以下公式，请参阅有关资料。 柱坐标与直角坐标A(r, , z)XZrY球坐标与直角坐标3. 小球在理想流体中作缓慢匀速直线运动，试给出小球表面流体速度 所必须满足的边界条件 解： 取固定坐标系如图,球面方程为 令物面边界条件为 ,式中:又解: 取运动坐标系 固结在小球上 , 球面方程令流体相对于动坐标系速度 动坐标系和固定坐标系间关系为, 将以上两式代入物面条件得：4. 试写出自由表面波动时的运动学边界条件 解： 5. 分别写出绕流固体圆球，圆球状液滴，圆球状汽泡时的边界条件 ： 解： 1) 固体圆球： 2) 液滴 为有限值 3)气泡 请注意上述情况均为轴对称运动。（水平方向 =0）6.
7、 从N-S方程出发，作出适当的假定。推导以下各方程。设不可压缩流体 . (a) (b) (c) （a）设解： (b) 方向的N-S方程c)对 y 求偏导对 x 求偏导求导后的两式相减7. 方程简化：两无穷大平板间的充分发展流动（层流）. 解： yU边界条件：8. 圆管内的充分发展流动（层流）. 解：连续方程式中边界条件 ：为有有限值9 圆管进口段，多孔壁，层流定常流动,解： 轴对称流动 ;式中边界条件1. 液体在两头开口的等横截面 U 形管中振荡，液柱长 L ，液面上方为大 气压强 ，忽略粘性摩擦力和表面张力，求液柱运动规律。液体是不可压缩的，故液体在同一瞬时的速度 处处相等，只 是时间的函数
8、，且等于是液面至平衡位置的距离 。沿液柱从1到2选 为流线 长度，在1至2的一根流线上 速度势为，解 ：12势流伯努利方程 因为由初始条件振动周期，速度2. 在原静止的理想无界均质不可压缩流体中有一半径为 a 的气球，初 始时刻气球内部压强为 p0，气球表面的速度为零，若不考虑质量力和 表面张力的作用，无穷远处的压强为零，试在等温条件下确定气球半径 随时间的变化规律。解 ：3. 证明在有势外力场作用下,理想不可压缩均质流体,在下两种运动中 涡量 满足方程,(1).平面流动时有 ;(2). 轴对称流动时有 ,其中 r 是空间点到对称轴的距离证明:4 .(5.8) 设圆球沿x轴正向以变速度 U(t
9、) 运动。取动坐标系固连于圆球中心， 则问题化为均匀来流绕流圆球（来流沿x轴 负向），流动势函数为，对于图示的绝对坐标系（静止坐标系）则， 式中, 势流伯努利方程， 把 和 表达式代入 ，并令 ，由上式知圆球表面压强分布是关于x轴对称的，流体作用在圆球 的合力沿x轴方向。在圆球表面积分， 上式求得的虚拟质量 ；与5.15节结果完全相同。第一章 练习题(1) 求其加速度的欧拉描述； (2) 先求矢径表示式 ,再由此求加速度的拉格朗日描述； (3) 求流线及迹线。1.1 设速度场1.2 设求应变率张量及旋转张量。1.3 在P点的应力张量如下求 (1) P点与单位法向矢量垂直的平面上的应力矢量 ；(
10、2) 垂直于该平面的应力矢量分量 ； (3) 与 之间的夹角。求各切应力。1.4 设流动速度分布为粘度系数为1.5 (教科书 2.3 )已知流场 （1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量, （2）求涡量 ，然后求式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。1.6 (教科书 2.6) 计算下列二维流场在任意点 的涡量，(1). (2)上式中 和 是柱坐标变量， ， 为常数。1.7 (教科书1.8)第一章(1) 求其加速度的欧拉描述； (2) 先求矢径表示式 ,再由此求加速度的拉格朗日描述； (3) 求流线及迹线。1.1 设速度场1.2 设求应变率张量及旋转张量。1.3 在P点
11、的应力张量如下练习题求 (1) P点与单位法向矢量垂直的平面上的应力矢量 ；(2) 垂直于该平面的应力矢量分量 ； (3) 与 之间的夹角。求各切应力。1.4 设流动速度分布为粘度系数为1.5 (教科书 2.3 )已知流场 （1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量, （2）求涡量 ，然后求式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。1.6 (教科书 2.6) 计算下列二维流场在任意点 的涡量，(1). (2)上式中 和 是柱坐标变量， ， 为常数。1.7 (教科书1.8)第二章教科书: 1.4, 1.7, 1.8, 1.9 (增加 证明大于零), 1.106. 证明方程可简
12、化为7. 流体在弯曲的变截面细管中流动,设 A 为细管的横断面积, 在 A 断面上的流动物理量是均匀的,试证明连续方程具有下述形式,式中是 u 速度, dS 是流动方向的微元弧长.8. 试证明对于滞止焓 h0 有以下方程成立滞止焓9.一个物质体系V 分为V1和V2两部分, 是V1和V2的分界面, S 是V的 边界曲面, 设交界面以速度 运动,在 两侧物理量 F 有一个跃变. 试导出推广的雷诺输运公式式中 和 分别是 S 和 的法向单位矢 量,其指向如图所示, F1 - F2 为 两侧 F 函数的跳跃.V1V2S10. 设物体表面是不可穿透的,且表面形状在初始时刻可用 F(x,y,z)=0 来表
13、示,如果此物体从初始时刻开始做下列不同运动: (1). 以速度 U 做等速运动, 速度沿 X 轴的负方向; (2). 以速度V= f (t) 做变速直线运 动,速度沿 X 轴的正方向.试写出在静止坐标系中粘性流体在物面上 的速度,物面在运动过程中的表达式,并计算速度在物面法线上的分量 .第一章(1) 求其加速度的欧拉描述； (2) 先求矢径表示式 ,再由此求加速度的拉格朗日描述； (3) 求流线及迹线。1.1 设速度场1.2 设求应变率张量及旋转张量。1.3 在P点的应力张量如下练习题求 (1) P点与单位法向矢量垂直的平面上的应力矢量 ；(2) 垂直于该平面的应力矢量分量 ； (3) 与 之
14、间的夹角。求各切应力。1.4 设流动速度分布为粘度系数为1.5 (教科书 2.3 )已知流场 （1）沿下边给出的封闭曲线积分求速度环量, （2）求涡量 ，然后求式中A是 (1) 中给出的矩形面积， 是此面积的外单位法线矢量。1.6 (教科书 2.6) 计算下列二维流场在任意点 的涡量，(1). (2)上式中 和 是柱坐标变量， ， 为常数。1.7 (教科书1.8)5. 证明方程可简化为6. 流体在弯曲的变截面细管中流动,设 A 为细管的横断面积, 在 A 断面上的流动物理量是均匀的,试证明连续方程具有下述形式,式中是 u 速度, dS 是流动方向的微元弧长.7. 试证明对于滞止焓 h0 有以下方程成立滞止焓第二章教科书: 1.4, 1.7, 1.9 (增加 证明大于零), 1.108.一个物质体系V 分为V1和V2两部分, 是V1和V2的分界面, S 是V
