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1、第4章 二元关系和函数Relation在高等数学中，函数是在实数集合上进行讨论的， 其定义域是连续的。本章把函数概念予以推广定义域为一般的集合，支持离散应用。把函数看作是一种特殊的关系：单值二元关系。4.6 函 数 的 定 义 与 性 质函数定义定义 设 F 为二元关系, 若 xdomF 都存在唯一的 yranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的函数值. 例1 F1=, F2=, F1是函数, F2不是函数 4.6 函 数 的 定 义 与 性 质函数与关系的区别从A到B的函数f与一般从A到B的二元关系R
2、有 如下区别：A的每一元素都必须是f的序偶的第一坐 标，即dom(f)=A；但dom(R)R若f(x)=y，则函数f在x处的值是惟一的 ，即(f(x)=y)(f(x)=z)(y=z)，； 但(xRy)(xRz)得不到y=z4.6 函 数 的 定 义 与 性 质例1 设A=1,2,3,4,5，B=6,7,8,9,10，分别 确定下列各式中的f是否为由A到B的函数。 (1)f=(1,8),(3,9),(4,10),(2,6),(5,9) (2)f=(1,9),(3,10),(2,6),(4,9) (3)f=(1,7),(2,6),(4,5),(1,9),(5,10),(3,9) 解 （1）能构成函
3、数，因为为符合函数的定义义条件 。（2）不能构成函数，因为为A中的元素5没有像 ，不满满足像的存在性。（3）不能构成函数，因为为A中的元素1有两个 像7和9，不满满足像的惟一性。 4.6 函 数 的 定 义 与 性 质函数相等定义 设F, G为函数, 则 F = G FGGF 一般使用下面两个条件：(1) domF = domG (2) xdomF = domG 都有 F(x) = G(x) 实例 函数F(x)=(x21)/(x+1), G(x)=x1 不相等, 因为 domFdomG. 4.6 函 数 的 定 义 与 性 质从A到B的函数定义 设A, B为集合, 如果f 为函数 domf =
4、 Aranf B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：AB. 实例 f：NN, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：NN, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数 4.6 函 数 的 定 义 与 性 质B上A定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA, 读作“B上A”，符号化表示为 BA = f | f：AB 计数：|A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm.A=, 则 BA=B=. A且B=, 则 BA=A= .4.6 函 数 的 定 义 与 性 质实例例2 设 A = 1, 2, 3, B = a, b, 求BA. 解 BA = f0, f1, , f
5、7, 其中 f0=, f1=, f2=,， f3=, f4=,， f5=, f6=, f7=, 4.6 函 数 的 定 义 与 性 质函数的像定义 设函数 f：AB, A1A.A1 在 f 下的像： f(A1) = f(x) | xA1 函数的像 f(A) = ranf 注意：函数值 f(x)B, 而像 f(A1)B. 例3 设 f：NN, 且令A=0,1, B=2, 那么有 f(A) = f(0,1) = f(0), f(1) = 0, 24.6 函 数 的 定 义 与 性 质函数的性质定义 设 f：AB, （1）若ranf = B, 则称 f：AB是满射的. （2）若任意x1， x2 A
6、而且不相等，都有f(x1)与 f(x2)不相等, 则称 f：AB是单射的. （3）若 f：AB既是满射又是单射的, 则称 f： AB是双射的f 满射意味着：y B, 都存在 x使得 f(x) = y. f 单射意味着：f(x1) = f(x2) x1= x2 4.6 函 数 的 定 义 与 性 质注意：由单射的定义可知，设X和Y是有限集 合，若存在单射函数f:XY，则 |X|Y|。由满射的定义可知，设X和Y是有限集 合，若存在满射函数f:XY，则 |X|Y|。由双射的定义可知，设X和Y是有限集 合，若存在双射函数f:XY，则 |X|=|Y|。4.6 函 数 的 定 义 与 性 质实例例4 判断
7、下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么?(1) f：RR, f(x) = x2+2x1(2) f：Z+R, f(x) = lnx, Z+为正整数集(3) f：RZ, f(x) = x(4) f：RR, f(x) = 2x+1(5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集.4.6 函 数 的 定 义 与 性 质解 (1) f：RR, f(x)=x2+2x1 在x=1取得极大值0. 既不单射也不满射.(2) f：Z+R, f(x)=lnx单调上升, 是单射. 但不满射, ranf=ln1, ln2, .(3) f：RZ, f(x)= x满射, 但不单射, 例如 f
8、(1.5)=f(1.2)=1.(4) f：RR, f(x)=2x+1满射、单射、双射, 因为它是单调的并且ranf=R.(5) f：R+R+, f(x)=(x2+1)/x 有极小值f(1)=2. 该函数既不单射也不满射. 实例（续）4.6 函 数 的 定 义 与 性 质构造从A到B的双射函数有穷集之间的构造例5 A=P(1,2,3), B=0,11,2,3 解 A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3. B= f0, f1, , f7 , 其中 f0=, f1=, f2=, f3=, f4=, f5=, f6=, f7=,.令 f：AB, f()=f0, f(1)=f1, f(2)
9、=f2, f(3)=f3, f(1,2)=f4, f(1,3)=f5, f(2,3)=f6, f(1,2,3)=f74.6 函 数 的 定 义 与 性 质实数区间之间构造双射构造方法：直线方程 例6 A=0,1 B=1/4,1/2构造双射 f :AB构造从A到B的双射函数（续）解 令 f：0,11/4,1/2 f(x)=(x+1)/4 4.6 函 数 的 定 义 与 性 质构造从A到B的双射函数（续）A 与自然数集合之间构造双射方法：将A中元素排成有序图形，然后从第一个元素开始按照次序与自然数对应例7 A=Z, B=N，构造双射 f：AB 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应： Z：0 1
10、 1 2 2 3 3 N：0 1 2 3 4 5 6 则这种对应所表示的函数是： 4.6 函 数 的 定 义 与 性 质常函数、恒等函数、单调函数1. 设f：AB, 若存在 cB 使得 xA 都有 f(x)=c, 则称 f：AB是常函数.2. 称 A 上的恒等关系 IA为 A 上的恒等函数, 对所有的 xA 都有 IA(x)=x.3. 设 f：RR，如果对任意的 x1, x2R，x1, , ， a,b = , , (2) 给定集合 A， A 上不同的等价关系确定不同 的自然映射, 其中恒等关系确定的自然映射是双 射, 其他的自然映射一般来说是满射. 例如A=1, 2, 3, R=,IAg(1)
11、 = g(2) = 1,2, g(3) = 34.6 函 数 的 定 义 与 性 质函数复合的定理定理 设F, G是函数, 则F G也是函数, 且满足(1) dom( FG)= x | xdomG G(x)domF(2) xdom(F G) 有FG(x) = F (G(x)推论1 设F, G, H为函数, 则 (FG)H 和 F(GH) 都是函数, 且 (FG)H = F(GH) 推论2 设 f： BC, g： AB, 则 fg：AC, 且xA 都有 fg(x) = f (g(x).4.7 函 数 复 合 和 反 函 数函数复合运算的性质定理 设g ：AB, f ：BC. (1) 如果f,g都
12、是满射, 则 fg：AC也是满射. (2) 如果 g, f 都是单射, 则f g:AC也是单射. (3) 如果 g, f 都是双射, 则 fg：AC也是双射. 证 (1) cC, 由 f：BC 的满射性, bB 使得 f(b)=c. 对这个b, 由 g：AB 的满射性，aA使得 f(a)=b. 由合成定理 fg(a)= f ( g(a)=f(b)=c从而证明了 fg：AC是满射的. 函数复合运算的性质(2) 假设存在 x1, x2A使得 fg(x1) = f g(x2)由合成定理有 f (g(x1)= f (g(x2). 因为 f：BC是单射的, 故 g(x1)=g(x2). 又由 于 g：A
13、B也是单射的, 所以 x1=x2. 从而证 明 fg：AC是单射的.(3) 由 (1) 和 (2) 得证.定理 设 f: AB，则f = fIB = IAf 定理 设f:XY，g:YZ，那么 （1）若gf是单射，则f是单射。 （2）若gf是满射，则g是满射。 （3）若gf是双射，则f是单射，g是满射。函数复合运算的性质反函数存在的条件任给函数 F, 它的逆F 1不一定是函数, 是二元关系 . 实例：F=,， F 1=, 任给单射函数 f：AB, 则 f 1是函数, 且是从 ranf 到 A的双射函数, 但不一定是从 B 到 A 的双射函 数. 实例：f : N N, f(x) = 2x, f 1 : ranf N, f 1 (x) = x/2 反函数定理 设 f：AB是双射的, 则f 1：BA也是双射函数. 证 因为 f 是函数, 所以 f 1 是关系, 且 dom f 1 = ranf = B , ran f 1 = domf = A, 对于任意的 yB = dom f 1, 假设有x1, x2A使得 f 1f 1 成立, 则由逆的定义有 ff 根据 f 的单射性可得 x1 = x2, 从而证明了f 1是函数，且是 满射的. 下面证明 f 1 的单射性. 若存在 y1, y2B 使得 f 1 (y1) = f 1 (y2) = x, 从而有 f 1f 1
