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1、课题课题：必修：必修1.1.2 余弦定理余弦定理三维目标：三维目标： 1、知识与技能、知识与技能 （1）通过对任意三角形边长和角度关系的合作探索，掌握余弦定理的内 容及其证明方法；（2）能运用余弦定理与三角形内角和定理及相关的三角知识解斜三角形的两类基本问题；（3）通过简单运用，初步理解公式的结构及其功能，为下一步学习打好 基础。 2 2、过程与方法、过程与方法 引领学生从已有的几何、三角知识出发,共同探究在任意三角形中，边与角的关系，引导学生通过观察、分析、实践、交流，用各种方法推证余弦定理及其推论，在体验知识的运用过程和合作探究过程的同时，不断认识三角、向量知识的工具性作用及所带来的分类讨
2、论思想、转化思想及数形结合思想；通过用向量推导三角公式，体会向量的强大威力，锻炼自己的抽象思维能力和推理论证能力；通过公式的推导与应用，进一步体会三角知识的本质联系以及数学工具 应用的广泛性与重要性； 培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、 严谨的思维习惯以及解题的规范性。 3、情态与价值观、情态与价值观 （1）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（2）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和 广泛性
3、，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意 识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗。 （3）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、 善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与 意识和合作精神；教学重点：教学重点：用向量法推导余弦定理及其基本应用 教学难点：教学难点：余弦定理的探索、推导以及综合运用。 教教 具：具：多媒体、实物投影仪 教学方法：教学方法：合作探究、分层推进教学法合作探究、分层推进教学法 教学过程：教学过程：一、双基回眸一、双基回眸 科学导入：科学导入： 同学同学们们，上一，上一节课节课我我们们学学习习了正弦定理，通了
4、正弦定理，通过过初步运用，我初步运用，我们进们进一步感受一步感受 到了三角知到了三角知识识的的强强大威力和无限魅力大威力和无限魅力 请请同学同学们们回回顾顾一下正弦定理所一下正弦定理所带带来的三角公式：来的三角公式：若在若在ABC中，已知中，已知bACcAB ,和角和角A即已知两即已知两边边及及夹夹角，怎角，怎样样求另求另 一一边边BC？能直接用正弦定理求？能直接用正弦定理求吗吗？显显然不能，能否然不能，能否还还有其它的关于有其它的关于边边角的公式角的公式 呢？有了正弦定理，是不是呢？有了正弦定理，是不是应该还应该还有余弦定理呢？有余弦定理呢？今天，我今天，我们们一起探一起探讨这讨这个个问题问
5、题 二、二、 创设情境创设情境 合作探究：合作探究： 【创设情境创设情境】下面，我下面，我们们就来解决上面提出的就来解决上面提出的问题问题： ：在在ABC中，已知中，已知bACcAB ,和角和角 A即已知两即已知两边边及及夹夹角，怎角，怎样样求另一求另一边边BCCb aA c B【分析分析】联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即si nsi nab ABsi nc C用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 【合作探究合作探究】 A如图 设C
6、 Ba，C A b ，ABc，那么cab，则 bc22222cc cababa ab ba b aba b C aB 从而 2222coscababC 同理可证 2222cosabcbcA2222cosbacacB于是得到以下定理【继续探究继续探究】 这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（引导学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：余弦定理：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它 们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC222 cos2bcaAb
7、c222 cos2acbBac222 cos2bacCba【开拓视野开拓视野】 （根据班级学生实际情况，可与学生交流一下下面的两种推导方法，一是进一步巩固相关知识的运用；而是感受各种数学思想方法的本质和联系。 ） 几何法：几何法：在ABC中，已知a，b和角C，求c。 （即用a、b、C表示c）分两种情况讨论(证明过程略)得出余弦定理：2222coscababC（当C为锐角、直角或钝角时都成立，特别是当C为直角时即表现为勾股定理的形式）坐标法：坐标法：利用两点间的距离公式推导出余弦定理：2222coscababC（这里点B的坐标对角C是锐角、直角或钝角都成立）同理，可得：2222cosabcbcA
8、， 222 cos2bcaAbc，cO( ,0)A b( cos, sin)B aC aC( )CxyabACBabcACBabcDD (1)(2)2222cosbacacB， 变形222 cos2acbBac，2222coscababC； 222 cos2abcCab。【点评】从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。【思考】勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（引导学生总结）若ABC 中，C=090，则cos0C，这时222c
9、ab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。三、互动达标三、互动达标 巩固所学：巩固所学：问题问题.1.1 在三角形 ABC 中，已知 b=60cm,c=34cm，A=410.解三角形（角度精确到 10,边长精确到 1cm）:【分析分析】直接运用正弦定理求出其它元素即可【解析解析】82.1676cos2222Abccba 所以，)(41 cma 再用正弦定理求出5440. 0sinC 00106,33,BCbc【点评点评】此问题是一个最基本的问题，第一步直接利用余弦定理求出一条边，然后再运用正弦利用正弦定理求出其它
10、的元素。此题是一个运用两定理的基本问题。关于这方面的综合题，两个定理经常要结合起来运用。对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。问题问题.2 例 2在ABC 中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形【分析分析】显然，可显然，可直接运用余弦定理的推论来求解。【解析解析】由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.6 2 87.8 161.70.5543, 056 20A；cos2222cabBca222134.6161.787.8 2 134.6 161.70.8398, 032 53B；0000180() 180(56 2032 53
11、)CA B 090 47. 【分析分析】解决这类基本问题关键是运算能力，所以要通过这些题目培养运 算能力。 四、思悟小结：四、思悟小结： 知知识线识线： ： （1）余弦定理及其推论； （2）相关的三角公式和性质； （3）向量性质的运用。 思想方法思想方法线线： ：（1）公式法； （2）等价转化思想； （3）分类讨论思想方法。 题题目目线线： ：（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）利用余弦定理解决的基本问题已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。五、针对训练五、针对训练 巩固提高：巩固提高： 【小试牛刀小试牛刀】在三角形 ABC 中，已知下列
12、条件，解三角形（角度精确到0.10,边长精确到 0.1cm）: (1) a=2.7cm , b=3.6cm , C=82.20.(2) b=12.9cm ,c=15.4cm , A=42.30.(3) a=7cm , b=10cm ,c=6cm.(4) a=9.4cm , b=15.9cm ,c=21.1cm.【巩固提高巩固提高】1.在ABC中，一定成立的等式是： A BC D2.在ABC 中，60 ,7 6,14Bba，则A= 。3.如果在ABC中，3a，7b，2c，那么 B 等于：A6B4C3D324.在ABC中，9a，10b，12c，这个三角形是_三角形。5.钝角三角形的三边长为2, 1,aaa，其最大角不超过0120，则a的取值范 围是：A30 a B323 a C32 a D251 a6.在ABC中，已知45,26, 32Bca，求b和角 A.说明：试用两种方法来解决这个问题。7.在ABC中，已知21,29,20cba，解三角形。8.在ABC中，已知bccba222，求角 A.10.已知ABC 中，acosA=bcos B，请判断三角形的形状【作业作业】 【巩固提高巩固提高】中第中第 5 题题（提示一下，主要为了训练解不等式）课本：课本： 第第 10 页页 A 组组 3 （1） 4 （1）
